基于数学高考真题的习题教学以一道高考题的教学设计为例

基于数学高考真题的习题教学以一道高

考题的教学设计为例

内容和内容解析

内容

2020年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题

内容解析

2020 年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题是以函数为背景，考查具体函数性质的题目。我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识。函数的性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”。研究函数的性质可以让学生在运动变化的过程中发现规律，掌握研究函数性质的一般方法，积累基本活动经验。在高中数学课程中，函数的性质—单调性与奇偶性是人教 A 版《普通高中教科书·数学必修》第一册第三章第二节“函数的基本性质”中的内容，是函数的概念与表示的进一步拓展与深化。函数的单调性反映了函数的增减变化规律，是函数在定义域某个子区间上具有的性质，刻画函数“局部”的性质；奇偶性反映了函数的对称性，是函数在整个定义域上具有的性质，刻画函数“整体”的性质，通过研究函数单调性和奇偶性，体现了研究函数可以从局部到整体的思想。本节课按照研究具体函数的一般思路，概括起来就是：具体函数—函数的性质—函数图像—函数的应用。在方法上，加强通过代数运算和图像直观揭示函数性质的引导与明示；在思想上，构建从具体到抽象，从特殊到一般的过程，让学生经历由数—形—数的过程，深刻体会数形结合的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点:判断具体函数的奇偶性和单调性，会作函数的图像。

二、教学目标设置

1.通过具体函数，使学生会用多种方法判断函数的单调性和奇偶性，体会不同方法的区别与联系，同时理解函数单调性和奇偶性的概念；

2.让学生通过函数的性质，作出函数图像，分析图像的共同特征，发现图像的变化规律，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；

3.让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的过程，体会由数研究形，再由形研究数的过程，体现数形结合的思想以及知识的迁移过程与数学逻辑的严谨性，提升学生的直观想象，数学抽象，逻辑推理素养。

三、学生学情分析

学生已有认知基础

从学生的已有认知基础来看，学生已经学习了函数的单调性和奇偶性，对判断具体函数的单调性和奇偶性的方法比较熟悉，有一定的知识储备。

达成目标所需要的认知基础

本节课作为对高考题的研究，如果只满足于试题的正确答案或一题多解，而忽略对其本质的研究，将会削弱试题的功能与价值。虽然学生比较容易判断出该函数的单调性和奇偶性，但本节课的目的是让学生利用函数的性质作出函数图像，分析函数图像的特征，再通过改编题目，探究这类函数具有的共同的特征，发现这类函数的变化规律，从而培养学生的创新思维。因此需要学生具备较好的归纳、研究问题、以及操作实施的能力，并且主动参与探索过程。

基于以上分析：确定本节课的教学难点：从特殊到一般探究函数图像的变化归律，从数—形—数总结函数图像的变化规律。

突破难点的策略：引导学生类比从特殊函数图像作法过渡到一般函数图像作法；再引导学生从“数”与“形”两个方面加深对函数本质的认识。

四、教学策略分析

本节课从研究函数的一般思路：具体函数—函数的性质—函数图像—函数的应用出发，在教法上采用以学生为主体的探究式教学方法，通过设置各种问题情境，引导学生自主探究函数图像的变化规律，整节课从特殊到一般，以数—形—数为研究主线，引导学生发现问题，并解决问题。在学法上，采用设问—探究—归纳—定论层层递进的方式来突出重点和突破难点，由浅入深，循序渐进，培养学生的探究精神，注重学生的学习过程培养，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台。

在教学手段上，为了形象直观的反映图像的变化规律，利用几何画板软件动态研究，使学生更好地利用图形直观与数形结合的方法，感悟函数的变化规律。

五、教学过程设计

（一）试题呈现与解法探究

引导语：函数是高中数学课程的重要内容，也是高考命题的热点。因此研究函数及其性质，为解决其他问题奠定基础。本节课我们从 2020 年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题出发，探讨这道高考题的解法，挖掘背后隐藏的内涵。

（2020.全国卷Ⅱ.理 9）

分析：本题以含绝对值的对数型函

数为载体，考查函数的奇偶性和单调性，

具有一定的综合应用能力，属于中档题。

解法1：先用定义法判断函数奇偶性，再将函数去掉绝对值符号，可以用复合函数的单调性口诀“同增异减”判断函数的单调性。

【设计意图】让学生

动手操作，回忆判断

函数奇偶性，单调性

的方法，提高学生利

用代数运算解题的能力，同时发现学生解题过程中的问题。

【设计意图】让学生意识到特殊值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，本题目通过取特殊值来判断一般规律，是最好的解题策略，可以为考试节约时间。

【设计意图】复习巩固用定义法判断函数的单调性，它是判断和证明函数单调性最基本的方法，帮助学生理解函数单调性的定义，体现学生思维的严谨性。定义法适用一些简单特殊函数或者抽象函数的单调性问题，对于其他较复杂的函数，用定义法证明单调性过程可能很复杂甚至可能无法证明。

【设计意图】利用导数判断函数单调性是高中重要内容，是解决其他问题的基

础，让学生进一步理解复合函数求导法则，体现分类讨论的思想。

【总结】

1.通过以上四种解法的对比，显然利用特殊值法求解，无论从思维量还是运算量，都要简单得多，更能为高考节约时间。但也仅限于处理小题，也许正是命题专家的意图之一。但在平时的教学中，我们更应该注重解法的多样性，掌握基本知识和基本方法，增加知识储备，提高数学思维能力。

2.从本题出发，大家回忆研究函数的一般思路是什么？函数—函数的性质—函数图像—函数的应用

拓展延伸

【设计意图】本环节加强学生动手操作能力，经历

用函数的性质，极限的思想以及代数运算画出函数

图像的过程，由“数”得“形”，再从“形”的角度获得对函数图像的局部与整体的直观认识。

【设计意图】引导学生从“形”到“数”分析函数图像单调性和对称性，提升学

生的运算能力和思维能力，体现思维的严谨性。

思考：那如果改变的系数，函数的图像又发生怎样的变化呢？

思

考：

函数

图像还具有对称性吗？

总结：通过讨论常数以及

系数的变化，概括函数

的变化情况.

函数可化为

改变常数，图像左右平移或单调变化；

改变的系数，图像上下平移；

图像仍然是中心对称图形，对称中心为

探究5：变式应用

（四）追根溯源，探寻本质

本题目整体上看是以函数为背景，考查函数的性质，对学生而言，不算难题，但仔细研究会发现该题目不仅涉及了对数函数，而且涉及含绝对值的反比例型函数，该题目具有一定的综合性。受该题的启发，在人教 A 版《普通高中教科书·数学必修》第一册第 131 页练习 1 第（4）题与第 161 页拓广探索 11 题

可以看到该题目的影子，教材第 131 页练习 1 第（4）题是真数含有绝对值求

函数定义域，第 161 页拓广探索 11 题是构造两个对数型函数的和求定义域和

奇偶性这两个题目都研究了函数最基础的知识，其实我们可以将 11 题进行多种

形式的改编。

由此可以看出本道高考题是在教材的基础上进行了数学核心素养之数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等综合能力的考查，学生单看每一个知识都很

熟悉，但是把知识融合在一起后，对这个函数的探究还是有一定的难度，所以在

教学过程中，我们更应该多关注教材，多研究教材，挖掘教材更深层的东西，少

搞题海战术，真正做到少讲、精讲，减少学生的学习负担。同时我们多研究高考题，把握高考方向，真正做到提高学生的综合能力与核心素养。

（五）学生的困惑及本设计预期目标

本道高考题站在学生的角度，要选出答案是比较容易的，但学生可能也就停

留在解题的基础上，不会更深层次去研究这道题。所以本节课从研究函数的一般

思路出发，不断引导学生去探究这道题，在这过程中，发现学生利用函数的性质

作函数图像有一定的困难，因为这个过程中涉及到代数运算与极限思想，在变式

作图过程中，学生不会很好地联系已知题目，所以在教学中采用了不断提问的方式，逐步引导学生完成函数图像的作法，学生比较容易发现图像的变化规律，但

在得出函数图像的变化规律后，学生却只能通过“形”来描述图像的特征，教师

又逐步引导通过“数”的角度给予说明，在这里又需要学生有一定的运算功底以

及数学思维能力，所以整个过程从“数”到“形”再到“数”帮助学生更好地运

用数形结合的思想解决问题。

因此本堂习题课通过构建探究问题串从具体到抽象，从特殊到一般，让学生

在循序渐进的体验式教学中逐步收获知识，深化数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养能力的培养和挖掘，提升数学解题能力。

陈陆巧老师瑞安市高一数学有效习题教学研讨会

立意高选题精效果好 -----瑞安市高一数学有效习题教学研讨会简讯为了进一步优化教学策略，提高习题课教学的针对性和实效性，帮助教师建立习题教学的选题、讲题理念，以“有效教学”为主题瑞安市高一数学有效习题教学研讨会于2012年5月11日在瑞安市第五中学举行。本次会议由瑞安市教研室组织，要求全市高一数学教师参加，并邀请瑞安中学陈陆巧老师开设专题讲座《数学有效习题教学策略与数学竞赛》。瑞安市50多位数学教师参加本次会议，研讨会由瑞安市高中数学教研员吴直爽老师主持。上午会议首先由市九中李运祥老师开出《等差数列前n项和的性质探究》研讨课，课堂教学过程中李老师充分调动学生积极参与教学过程，体现以学生为主体教师为主导的教学理念。本节课能在知识点交汇处设计问题，激起学生求知欲，并且所选习题有很好示范性层次性，思维训练量较大，课堂气氛比较活跃。第二节课是市五中李新平老师开出《解三角形中不定形问题探究》研讨课，这节课教学设计精心独匠、层层深入、环环相扣，集知识方法思想及思维训练于一体精品课例。这节课教学过程从解三解形基本量引入课题，简单自然并下面解决问题作好铺垫，接着改变其中一个定量为变量，求这个变量的范围，再到求周长与面积的范围，最后改变已知条件，给出两个边或一边及邻角，问题又是如何，从而将课堂与思维推向高潮。从一个问题出发，到解决一类问题，再到会一片问题，其中渗透数形结合思想和函数方程思想，同时让体验了数学思想在解决问题指导性作用。第三节是瑞安塘下中学徐玲华老师开出《“分分合合”-----平面向量基本定理的应用》研讨课，本节课由一个简单向量表示求和问题展开，通过改变点P位置，去研究如何选择基底向量表示目标向量方法。这节课从一个小问题逐步展开，层层深入，最后回归到一道高考题，设计独到；用英语what why how wh o四w法总结解决问题方法，能很好引起学生兴趣。下午，与会者聆听了竞赛专家陈陆巧老师专题讲座《数学有效习题教学策略与数学竞赛》。他根据自己几十年教学积累，并结合上午三节课情况，用形象语言与生动例子，从三方面阐述自己见解：高中数学习题课有效教学策略；近几年浙江省高中数学竞赛概况；数学题由课内到课外的演变和拓展。陈老师教导我们，要让学生走出题海，教师必须走入题海，研究问题要做到“要知其然—知其所以然—知其以所然”。听了陈老师的精彩讲座，与会者豁然开然，受益匪浅。接下来,三位老师分别对上午三节课进行简要点评,其他教师也踊跃发言,各抒已见.最后高中数学教研员吴直爽老师对上午三节课给出指导性意见.吴老师指出:三节课整体上设计有创意,立意高,选题精,能适时提炼方法。德国数学教育专家说：“思维着的教学活动，决定着教学的质量”。这三堂习题课都凸显探究

基于SEC模式的高考数学试题与课程标准的一致性研究——以2021年高考理科数学全国卷与新高考卷为例

基于SEC模式的高考数学试题与课程标准的一致性研究 ——以2021年高考理科数学全国卷与新高考卷为例摘要：经过多年的改革与发展，我国高考已成为衡量学生综合素质的重要方式之一。其中，数学科目作为高中阶段重点培养的学科之一，在高考中占据着重要的地位。本研究以 2021年高考理科数学全国卷与新高考卷为例，结合SEC模式，对试题与课程标准之间的一致性进行了探讨和分析。通过研究发现，试题与课程标准之间存在一定的一致性，但也存在一些问题与挑战。本研究旨在为高考数学试题与课程标准的进一步对接提供参考和借鉴。关键词：高考数学试题；课程标准；一致性；SEC模式；新高考引言：高考数学试题与课程标准之间的一致性是当前高中数学教育发展的关键问题之一。高考试题的设计直接影响着学生的学习和评价，而课程标准则是制定教学计划、课程教材等的基础。因此，试题与课程标准之间的一致性研究对于提高教学质量和加强评价体系具有重要意义。方法与过程：本研究选取了2021年高考理科数学全国卷与新高考卷作为研究对象，采用SEC模式对试题与课程标准之间的一致性进行研究。SEC模式是一种常用的研究方法，包含了三个要素：Subject（学科核心观念），Epistemology（知识体系）和Context（社会背景）。通过对试题的内容与SEC模式中的三个要素进行对比和分析，可以评估试题与课程标准的一致性。

结果与讨论：基于对2021年高考理科数学全国卷与新高考卷的分析，本研究发现试题与课程标准之间的一致性表现出以下几个方面：首先，试题与课程标准在学科核心观念上存在一定的一致性。试题中的重点和难点涉及到了课程标准中的核心观念，并对学生的理解和应用能力进行了考查。其次，在知识体系上，试题与课程标准之间也有相应的一致性。试题内容涵盖了课程标准要求的基本知识点和基本技能，考查了学生对知识的整合和运用能力。最后，在社会背景上，试题与课程标准之间的一致性体现在提倡学生掌握实际应用能力和解决实际问题的能力上。试题中的一些应用题和综合题目旨在培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。然而，本研究也发现试题与课程标准之间存在一些不一致性或挑战性问题。一方面，试题中的某些内容过于注重计算和机械运算，而缺乏对问题的分析和解决能力的考查。另一方面，试题的设计有时候过于追求简洁和直观，不能够涵盖课程标准的所有要求。结论与建议：本研究通过对2021年高考理科数学全国卷与新高考卷的分析，发现试题与课程标准之间存在一定的一致性。然而，也存在一些不一致性或挑战性问题。为了进一步提高试题与课程标准的一致性，我们提出以下几点建议：首先，试题设计要更加注重学生对问题的分析和解决能力的考查。通过引入更多的应用题和综合题目，培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。其次，试题应该更加全面地涵盖课程标准的要求。同时，

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新高考背景下高中数学大单元教学的策略摘要：在新高考政策的背景下，数学作为三门必选科目之一，其所占分值比例相对较高，仍然占据着无可撼动的至关重要地位。因此，教师要加强对学生学习方法及思维方式的指导与训练，帮助他们更好地适应高中阶段的数学课程学习。因为高中数学教学任务的重要性不可低估，所以必须高度重视。因此，教师要重视对数学学科核心素养的培养，以提升学生的解题能力和思维水平，从而为后续学习打下坚实基础。在新高考的背景下，试卷不仅仅是对学生知识储备的评估，更是对学生横向、纵向和深度掌握知识的考察。关键词：新高考；高中数学；大单元教学；策略引言在新高考的背景下，数学教师应当注重培养学生的问题发现、分析和解决能力，同时积极促进学生逻辑思维、建模等多方面的能力发展。因此，教师要积极转变传统教学模式，将教学内容划分为若干个相对独立且相互联系的学习小模块，通过合理地安排每一个学习小专题来引导学生深入探究数学知识。通过采用大单元教学方法，高中数学教学可以更好地实现知识的整合和串联，从而提高学生对重点问题的全局视角，深化学生对各知识点的理解和掌握，使其深刻领悟数学思想的精髓，进而培养他们的数学核心素养，提高数学课堂教学的实际效果。一、新高考政策对高中数学教学的影响在国家教育史上，高考政策的改革并非史无前例，随着育人政策的不断完善、教学环境和教育目标的转变，高考政策也在不断优化，成为国家重要的人才选拔渠道。新高考的实施是为了适应时代发展的需要，也符合社会进步的需求。高中数学教育质量的提升面临着新的挑战，因为新高考政策不仅对考试学科进行了规划，而且对其提出了全新的要求。新高考政策不仅体现了公平与效率相结合，而

数学高考真题试卷讲解教案设计

数学高考真题试卷讲解教案设计教案标题：数学高考真题试卷讲解教案设计教学目标： 1. 通过对数学高考真题试卷的讲解，帮助学生深入理解高考数学考试的题型和要求。 2. 引导学生掌握解题的基本方法和技巧，提高解题能力。 3. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。教学内容： 1. 真题试卷讲解：选择数学高考真题试卷中的若干典型题目进行详细讲解，包括解题思路、解题步骤、解题技巧等。 2. 解题训练：针对每个题型，设计一些类似的练习题，让学生进行解题练习，巩固所学知识和技能。教学步骤：一、导入（5分钟） 1. 引入数学高考的重要性和对学生未来发展的影响。 2. 提问学生对高考数学的认识和理解。二、真题讲解（30分钟） 1. 选择数学高考真题试卷中的一道典型题目进行讲解，包括题目背景、解题思路、解题步骤等。 2. 引导学生思考解题的关键点和技巧。 3. 学生跟随讲解过程，逐步理解解题方法。三、解题训练（25分钟）

1. 设计一些类似的练习题，让学生进行解题练习。 2. 学生独立完成练习题，教师巡视指导，及时纠正错误。 3. 学生互相交流解题思路和方法，促进彼此之间的学习和进步。四、总结（10分钟） 1. 教师对本节课的教学内容进行总结，强调解题的基本方法和技巧。 2. 学生对本节课的学习进行反思和总结，提出问题和困惑。教学资源： 1. 数学高考真题试卷 2. 解题训练练习题 3. 教师讲解用的PPT或白板笔记教学评估： 1. 教师观察学生在解题训练中的表现，评估学生的解题能力和掌握程度。 2. 学生之间的互相交流和合作，评估学生的学习态度和团队合作能力。 3. 学生的课后作业完成情况，评估学生对本节课内容的理解和掌握程度。教学延伸： 1. 鼓励学生自主学习，多做高考真题，提高解题能力。 2. 提供更多的解题技巧和策略，帮助学生更好地应对高考数学考试。 3. 组织模拟考试，让学生在实际考试环境中进行练习和测试。

高等数学习题集教学设计

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1.课堂讲授：通过讲解理论知识和解题技巧，帮助学生建立正确的数学思维体系，举例说明各种概念、定理和公式，帮助学生理解并掌握其应用方式。 2.实例演练：通过实例讲解、板书演示和小组讨论等形式，帮助学生深入理解概念、原理和方法，提高运用所学知识解决实际问题的能力和水平。 3.思考引导：通过设计教育游戏、数学竞赛、优秀案例分享等形式，激发学生的兴趣爱好，拓展学生的视野和思维，培养学生自主思考和发现问题的能力。 4. 教学进度安排本教学设计的教学进度具体安排如下：教学内容课时数常见函数的形式、性质与应用 2 极限的定义、性质与计算方法 4 导数的定义、性质、应用和计算方法 5 不定积分的定义、性质、应用和计算方法 4 定积分的定义、性质、应用和计算方法 4 微积分基本定理和牛顿莱布尼兹公式 3 级数的概念、收敛性的判定和求和公式等 3 思考引导 2

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基本公式等。这就要求学生储备足够的基础知识，夯实对主干知识的认识和把握；要求教师在教学中高度重视主干知识，重视学生的基础能力培养。（二）出现新题型题目，具有灵活性解答题方面，新高考数学删除了部分选考题，增加了新题型题目，即：从三个条件中选择一个条件作答题目。这既是题型的灵活创新，也是对学生创新能力、开放思维的严格考查，有利于学生根据自身实际选择擅长解答的习题类型选择条件并进行解答，能够在一定程度上提高考试得分率。（三）试题设计多层次，凸显层次性新高考背景下的高考数学题目具有明显的多层次、高落差特点。在注重基础的前提下，新高考为充分发挥人才选拔功能，分层设计了难度与深度差异突出的题目，以区分学生数学综合素养的差异，使试题具有层次性，提高了对高中数学分层教学的要求。（四）试题涉猎较广泛，突出综合性新高考中的数学试题，较为重视与生活实际的联系，并且重视知识点之间的关联与整合，使部分题目具有突出的综合性，既体现了育人的价值导向，也加强了对学生综合能力的考查，要求学生具备在综合题目中挖掘隐含条件的能力。二、新高考视角下高中数学课堂教学设计路径（一）基于“四层四翼”设计教学方案在新高考背景下,高中数学教师需要基于“四层四翼”设计课堂教学方案,其中,“四层”是指核心价值、学科素养、关键能力、必备知识,“四翼”指基础性、综合性、应用性及创新性。在“四层四翼”的指导下,教师可以让课堂教学设计适应高考要求,提高教学内容与考试内容的契合性,优化学习效果。在“数列”学习中,第一节的内容是“数列的概念”,在学习这部分内容时,教师可以结合“四层四翼”设计教学方案。 1.利用情境初步展示数列

从大题小做到小题大做-最新资料

从大题小做到小题大做、大题小做与小题大做的内涵 1.大题小做：《词源》释义指把大题目作成小文章。比喻把重大的问题当做小事情来处理。本文特指针对数学高考压轴试题中的解答大题，按题型归类、整合，探寻出相应的解答流程，将目标最小化，以特有的小题解答形式呈现在答题卡上，进而使学生高效得分。 2.小题大做：《词源》释义指拿小题目作大文章。比喻不恰当地把小事当作大事来处理，有故意夸张的意思。本文特指针对数学高考压轴试题中的技巧选择题、填空题，从大处着眼，从小处入手，深钻广研，一题多变，触类旁通，建构解构，形成一类解决问题的解题经验。二、大题小做与小题大做的教学设计的两个重要前提一）把握高考命题的趋向，将教学研究贯穿始终 1.对课程标准、考试说明、考试大纲、教材的研究； 2.对高考试题的研究； 3.对课堂教学模式的研究； 4.对文、理科数学教学要求的研究。二）依据教材体系展开下面两个方面的复习 1.数学基础知识（这是明线）重“面”——全面复习，重视教材

抓“点”一一抓住重点，突破难点连“线”一一理清线索，形成网络以基础题、中档题为主，夯实基础知识。另外，要“螺旋上升”，要有深度和广度的拓展，兼顾知识、方法、能力三个层次。重新审视知识结构。努力构建新的知识网络，对旧教材中的旧东西、旧重点要“放得下”，会忍痛割爱。在充分学习研究新课标的基础上，对各模块内容重新组合。 2.数学思想与方法（这是暗线，渗透在教学过程中） 1）函数与方程的思想（2）数形结合的思想（3）分类与整合的思想（4）化归与转化的思想（5）特殊与一般的思想（6）有限与无限的思想（7）必然与或然的思想（8）推理与类比的思想。代数变换有：配方法、换元法、待定系数法、公式法、比值法等。几何变换有：平移、对称、伸缩、分割、补形等。逻辑推理主要有：综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法。三、大题小做与小题大做的教学设计的三个重要维度 1.找准目标，分层推进普通高中有各种各样的层次，各自的目标，从复习的起点、难度控制、方法与策略都应有所不同。 2. 夯实基础，提高能力数学试题有区分度是必然的，但基础题仍然是试题的主要构

高中数学核心素养理念下的教材习题教学优秀教案

高中数学核心素养理念下的教材习题教学摘要：本文利用选修2-1教材中的一道习题，通过层层设问，引导学生在一道习题的证明过程上通过一次次的局部修改得到一系列问题的证明和思考，从而深入探究直线与抛物线相交后抛物线过定点的特征，进而猜测逆命题成立，再由特殊到一般，再变动直角顶点位置，最后类比椭圆和双曲线，得到相应结论，整个教学设计让课堂向课后延伸，让思维自由绽放。让学生以后在圆锥曲线问题中遇到垂直问题、定点问题会积累一定经验，对学生数学思维的提高有所启发和帮助。关键词：抛物线；垂直；定点；数学思维，核心素养。一、课堂教学过程〔一〕习题引入：数学书选修2-1第73页抛物线习题：直线y=x-2与抛物线y 2=2x 相交于点A 、B ，O 是坐标原点，求证：OA ⊥OB. 学生独立证明：设A （x 1，y 1）, B （x 2，y 2）由{y =x −2y 2=2x ⇒y 2=2(y +2)⇒y 2−2y −4=0, y 1+y 2=2，y 1﹒y 2=−4， ∵OA → ﹒OB → =x 1x 2+y 1y 2=y 122﹒y 122 +y 1y 2=0 ∴OA ⊥OB. 〔二〕提出问题：问题1：抛物线的顶点只对这一条弦的张角是直角吗？结论：由该抛物线关于x 轴的对称性可以得到不只一条，如下列图，直线斜率互为相反数时都成立。问题2：通过直观观观察看这些弦有没有共同特点呢？结论：两条直线都过x 轴上同一点〔2，0〕. 〔三〕自主探究问题3：有过x 轴上同一点〔2，0〕这个特点的弦是否就能满足OA ⊥OB 呢？学生通过思考可以再找到一条比拟特殊的直线x=2，此时易证交点A （2，2）, B （2，−2），也满足OA ⊥OB 。

(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d 时，方法一： 21a a d =+ 3212a a d a d =+=+ 4313a a d a d =+=+………………… 由此得到方法二：有等差数列定义知： 1n n a a d --= 所以有 12n n a a d ---= 23n n a a d ---= ……………

以课本例习题为题才是好数学教学

以课本例习题为题才是好数学教学 2011年高考数学陕西卷第18题，题目是“叙述并证明余弦定理”，这道题是数学高考命题的突破，其导向是高考命题可以出课本上的原题.这无疑是在对教师暗示了一种教学导向，有利于改进教学方法、减轻师生负担，同时要狠抓课本、深入研究课本、挖掘隐含在课本中的数学思想和潜在价值，通过对课本的研究而培养学生的数学思维品质.笔者通过对课本例题、习题的合理设计以及对其再开发、加工等提出了自己的一点看法. 一、例题、习题的功能数学例题、习题的功能可以概括为：一是巩固消化知识，二是训练基本技能，三是开发智力、启迪思维，培养分析问题和解决问题的能力.这三者是相辅相成，密不可分的.事实上，脱离了对基本知识的学习、基本概念的理解和基本理论与方法的掌握运用，解决问题就成为了一句空话. （一）、例题的典型性、示范性、代表性与针对性课本上的例题、习题不仅蕴含着许多数学思想方法、解题技巧，而且还覆盖了很多人文科学知识、社会历史文化背景等，学生在解题的过程中即能够学到数学知识和消化数学知识，也能够了解社会，陶冶情操.在数学教学过程中，无论是对基本概念的理解，基本理论的的运用，以及解题格式步骤，例题都起着重要的示范作用.例题也是学习新知识、巩固课堂所学知识必不可少的重要内容，也是检查对课本知识掌握程度的良好尺度.例题的选择要有针对性，一要针对本节内容，二要针对不同层次的学生，三要针对学生的认知基础. （二）、习题的精简性、多样性与灵活性习题是传授知识、巩固知识、提高思维水平、培养学生研究创新意识、积淀素养的载体.课本中的习题都是经过精心挑选的，都是数学中的“精品”.具有很强的典型性和代表性，有些习题本身是很有用的公式和定理，它们作为课本教材内容的补充和延续.为了适应中学数学教学从单纯地传授知识，转变为既传授知识又培养能力的要求，课本习题注重了多样性与灵活性.课本中的例题、习题应与课堂教学紧密配合，不断促进学生思维. （三）、目前教师对课本例题、习题的态度目前有好多教师“依纲靠本，高考指挥棒”体现了对学生前途负责，脱离课本搞教学的现象很普遍.教师迫于考试压力拼命补充课外的习题，让学生通过大量的、单调的重复练习来熟悉某个或某几个方法和技巧，而对课本的例题、习题的讲解往往匆匆忙忙，一笔带过，忽视了课本例题、习题的重要性.现在高中数学教学侧重公式、定理的应用，基本上是以讲题、解题为主，“深挖洞、广积粮”式的教学.在不少学生和教师看来，数学就是做题，学生

基于问题驱动的高三数学教学复习课教学设计--以“不等式成立问题探究”为例

基于问题驱动的高三数学教学复习课教学设计 --以“不等式成立问题探究”为例摘要：在高三数学复习过程中，经常会遇到恒成立、能成立、恰成立问题，从而求参数的值或参数的取值范围．这类问题常涉及分类讨论思想、函数方程思想、分离变量法等方法．本文以问题驱动进行教学设计，探讨如何对这部分内容进行有效复习，提高教学复习质量。关键词：问题驱动恒成立不等式不等式作为高中数学学习基础章节为后续学习提供了必要的支持，例如函数单调性研究学习中涉及了作差比较的方法，而在解决二次函数问题时，经常将二次函数问题转化为不等式问题，往往可以起到“柳暗花明又一村”的效果。而不等式恒成立、能成立、恰成立问题，由于蕴含数学思想深刻，涉及的解题方法灵活多变，一直是高三数学复习的难点，为此，我根据以往教学经验对这部分内容的教学进行重新思考，追溯困难的原因，结合问题驱动理论对以往的教学进行设计，希望能提高这部分教学质量。为何不等式问题会造成学生复习困难，究其原因，我大致把它归结为为2点：（1）学习过程不深入。我们回顾高一不等式学习不难发现，不等式章节内容主要分成三块，不等式性质，不等式解法，基本不等式，三者是有本质区别的，其中第三部分内容基本不等式是高中正式接触到的恒成立不等式，里面蕴含了恒成立思想，所以第三部分内容学习除了熟练掌握公式之外，也要对恒成立思想进行领悟，领悟的不到位

恰是造成好多学生到了高三感到不等式问题不好理解的根源，甚至部分学困生认为恒成立和解不等式没有本质差别，所以一旦遇到不等式成立问题就会感到困难。（2）解题方法掌握不明确大多学生进入高三，对于不等式内容解题水平仅仅停留在利用不等式性质比较大小，会解一元二次不等式，绝对值不等式，分式不等式，套用基本不等式求某些最值问题等等，这些基本都是对于不等式恒成立问题的解决方法： (1) 分离参数法 (2)分类讨论法 (3) 数形结合法 (4) 变更主元法虽然在高三会遇到很多有关不等式成立问题，好多学生经常是半猜半做，方法也是凭借印象。一.问题驱动的数学教学设计理论教学目标需要问题来驱动，教学过程需要问题来激活，教学质量需要问题来表达，只有围绕问题并基于问题解决的教学设计才是生动的，有主题的教学设计。问题及问题解决是教学设计的逻辑生长点[1]，高三复习时间紧，以问题驱动的教学设计无疑目标明确，针对性强，但复习课不能成为简单成为习题课，答疑课，应该结合学情，设计好的数学问题，让数学问题成为复习教学的“心脏”。复习课遇到的数学问题简单可分为这几类：第一类是落实课标基本知识与技能，这一类主要靠平时练习，第二类是蕴含数学思想方法的，这可要“悟”，一般认为数学知识的理解，方法的掌握，数学技能形成是感悟数学思想的必要条件，而非充分条件，感悟数学问题背后的思想一直以来是学生学习困难的所在，换句话来说，对教师来说如何通过教学设计引导学生领悟也是教学难点所在。[2]一节高质量的复习课无法覆盖所有知识点，题型，但却会引领学生把握复习的重难点，复习的策略与方法。好的数学问题能使学生产生知识需求，享受在感知，领

高中数学以问题为主导的习题课教学模式[1]

高中数学以问题为主导的习题课教学模式务求高效、实效---- 高中数学组“问题是数学的心脏〞，教会学生解题是中学数学教学的首要任务。同时，由于数学知识严密的逻辑性与高度的概括性，在例、习题中, 还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存在着可开掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的.习题课是以稳固知识、训练技能技巧、开展思维为主要任务的课。因此，习题课的设计要按照整体、有序和适度原那么，做到有目的、有实效、有层次，逐步提高,防止简单的机械重复和单一模式化••需要注意的是，习题课中不仅要求学生得到正确的计算结果，更要重视计算过程，注重思维训练，让学生有所“悟〞•对于“悟〞，分三个方面：其一是要明确每一道习题考查课本上的哪些根底知识；其二是让学生做完一道习题后，反思一下, 到底解题关键、困难在哪里，通过做一道题可总结哪些经验，汇滴水而得江河，逐步提高解题能力；其三是引导学生观察、比拟，揭示隐藏在具体的习题中的一般特征，推广为某一类对象的普遍性质，使学生从不同的角度运用不同的知识和方法处理问题，把握数学问题的本质，揭示解题规律，提咼分析、探索能力和创造能力。由此，我们咼中数学组探索实践了“问题引导探究〞教学的课堂，取得了显著地效果。一、“问题引导探究〞教学模式：般模式是:

创设I 尝试自主反应情境引导解决梳理 1.创设问题情境，激发学生探究兴趣。从生活情境入手，或者从数学根底知识出发，把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的根底知识之中，把学生引入一种与问题有关的情境之中，激发学生的探究兴趣和求知欲。 2.尝试引导，把数学活动作为教学的载体。学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解是否准确等，这就需要教师进行启发引导。 3.自主解决，把能力培养作为教学的长远利益。让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自主解决〞过程，这就需要教师把数学思想方法的培养作为长期的任务，在课堂教学中加强这方面的培养意识。 4.练习总结，把知识梳理作为教学的根本要求。根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，培养主动梳理、运用知识的意识和数学语言表达能力，到达更好地掌握知识及其相互关系和数学思想方法的目的。常用形式：〔1〕例题变式。〔2〕让学生进行错解剖析。〔3〕类题训练总结是把数学知识与技能通过“同化〞或“顺应〞的机能“平衡〞认知结构的必要步骤。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一

利用导数研究双变量恒成立问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

导数二轮复习微专题利用导数研究双变量恒成立问题作为进一步学习数学和其他自然学科的基础，导数在数学教学体系内具有重要的地位和广泛的应用。近些年来，导数内容受到广大教育工作者的广泛关注，并成为命题热点。作为分析问题和解决问题的有力工具，导数能够与函数、不等式、解析几何等串联起来，所以，将传统内容与导数内容相结合，在知识网络的交汇处设计问题成为趋势。这样的命题思路不仅能有效检验学生的基础功底，强化能力考察力度，同时也能使试题具有更为广泛的实践意义。因此，在实际教学过程中，我们要突出导数的重要性，强化学生运用导数知识解决数学问题的意识。一、2022年高考命题的要求 2022高考命题优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。并坚持把创新思维和学习能力考查渗透到命题全过程，落实“重思维、重应用、重创新”的命题要求，使高考由“解答试题”转向“解决问题”。二、2022年高考命题的十项原则 1.方向明确，立意鲜明，情景新颖，贴近实际。 2.考查基础，变换情景，设问科学，注重创新。 3.入易出难，路多口小，层层设卡，步步有难。 4.材料在外，答案在内，考查思维，体现能力。 5.体现国情，公平公正，以生考熟，直击软肋。 6.起点很高，高屋建瓴，落点较低，回归体系。 7.重点必考，主干多考，次点轮考，补点选考。 8.共性好考，个性难考，试题开放，探究创新。 9.小口切入，深入挖掘，小中见大，思维穿透 10.掌握理论，学以致用，学科价值，重在应用。三、部分高考压轴题函数模型

年份函数模型考查内容及思想方法 2013Ⅱ理 )ln()(m x e x f x +-= 证明不等式 2014Ⅱ理 x be x ae x f x x 1 ln )(-+= 证明不等式 2015Ⅱ理 2()mx f x e x mx =+- 双变量恒成立问题 2016Ⅱ理 2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 零点求参，双变量问题，极值点偏移问题 2017Ⅱ理 x e a ae x f x x --+=)2()(2 讨论单调性零点求参 2017Ⅱ理 )ln ()(x a ax x x f --= 证明极值范围 2018Ⅱ理 x a x x x f ln 1 )(+-= 证明双变量不等式 2018Ⅱ理 2)(ax e x f x -= 证明不等式，零点 2019Ⅰ理 ()sin ln(1) f x x x =-+ 证明函数零点个数 2019Ⅱ理 ()1 1 ln x f x x x -=- + 证明零点个数，证明切线相等 2019Ⅱ 理 32()2f x x ax b =-+ 利用最值求参数 2020Ⅱ理 12 1)(3 2+≥-+=x x ax e x f x 单调性，恒成立求参 2020Ⅱ 理 x x x f 2sin sin )(2= . 33()8 f x ≤ 最值，证明不等式 2020 Ⅱ 理 3()f x x bx c =++ 切线，零点的范围 2021新课标Ⅱ f (x )=x(1−1nx) 双变量恒成立问题，极值点偏移问题思考1：基本元素 ,ln ,,ln ,x x xe x e x x 多项式函数思考2：基本问题和应对策略 1.切线问题：注意两类切线问题。 2.含参讨论：关键是临界点的确定。 3.数形结合：利用导数做未知函数图像要注意四部曲。 4.双变量问题 : 将双变量转化为单变量。 5.极值点偏移：利用分析法构造对称函数，借助单调性研究。 6.函数同构：注意函数类型及形式。

习题课教学设计

初中数学习题课教学的研究一、课型特征、目的习题课是初中数学学习的一种重要课型。习题课是新知课之后，教师有目的、有计划地指导学生使用已学过的知识解决一系列问题的教学活动。该课型应体现学生的学习活动是在实行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较，择优。其目的是巩固知识、学会解题，发展思维。（1）通过习题课能够使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识，逐步形成完善合理的认知结构。（2）习题课的目标之一是使学生学会解题，学生在解题中容易出现审题入手难、解题遗漏多等问题，解题准确与否与解题习惯密切相关，如能给予学生一定的解题思维程序，对学生学习如何解题有一定协助。习题课的教学是对所学过的、所解决的习题作一回顾和提升，不但巩固应用所学知识，而且还应该是知识的升华与提升，更是方法的提炼与总结以及数学思想方法、思维水平的培养与训练，同时也要培养学生良好的解题习惯。（3）因为数学知识严密的逻辑性与高度的概括性，在例、习题中,还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存有着可发掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的。所以，就需要设计一些习题课，教师引导、点拨，学生实行观察、归纳、类比、抽象，学会解题，能够准确地判断、决策并简洁严谨地表达，给学生以施展才华、发展思维，锻炼水平的机会。所以，上好习题课，对于总结归纳基本知识点和基本方法，提升学生分析和解决问题的水平具有决定性意义。二、习题课的分类根据教学时间段落的不同，我们就能够明确习题课的主题和类型了，习题课的一般类型有：单元习题课、章节习题课、总复习习题课。在一个单元章节结束时，针对本单元、本章节的学习过程，针对学生对知识理解的错误及使用知识解决问题时普遍存有的问题而设的带有提升性质的习题课。

数学高考复习教案

数学高考复习教案数学高考复习教案数学高考复习教案都有哪些？如果你家宝贝经常犯基础错误如算错、写错、抄错，一定要追根溯源到最基本的加减乘除上。下面是小编为大家带来的数学高考复习教案七篇，希望大家能够喜欢！数学高考复习教案（篇1）教学目标与解析 1、教学目标 (1)理解函数的概念; (2)了解区间的概念; 2、目标解析 (1)理解函数的概念就是指能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用; 问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。教学过程问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是：h=130t-5t2. 1.1这里的变量t的变化范围是什么变量h的变化范围是什么试用集合表示 1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数若是，其自变量是什么设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画

两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有的一个高度h与之对应。问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t按照给定的图象，都有的一个臭氧层空洞面积S与之相对应。问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。问题4：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义 4.1在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称 4.2在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗怎样理解f(x)=1，x∈R 4.3一个函数由哪几个部分组成如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗两个函数相等的条件是什么数学高考复习教案（篇2）一、说课内容：苏教版高一年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关习题二、教材分析： 1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。