西安电子科技大学 物理光学与应用光学 ppt 16

x x x n
2 1 2 1 2 3
2 0
n0 的球。不论 各向同性介质的折射率椭球是一半径为 k 在什么方向，垂直于 k 的中心截面与球的交线均是半径
为 n0 的圆，不存在特定的长短轴，光学性质各向同性。
② 单轴晶体
2 2 2 x1 x2 x3 2 2 1 2 n1 n2 n3
图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图
射线曲面上的矢径方向平行于 的法线方向就是与该
s 方向相应的波法线方向 k 。
n 随 在 n1和 n3之间变化。由于n1<n2<n3，所以总是可以找 到某一矢径 r0 ，其长度为 n=n2。 r0 与 x1 轴的夹角为0 ，
1 cos2 sin2 0 2 2 2 n2 n1 n3
n3 所以： tan 0 n1
n n n n
2 2 2 3
截线方程
x x n n
2 o 2
'2 1 2 o
'2 2 '2 e
1
其中
n
' e
none n sin n cos
2 e 2
或
1 cos sin 2 2 2 (n ) e no ne
2 2
两种特殊情况：
① = 0 时，k 与 x3 轴重合，这时 ne= no ，中心截面与
2 1 2 2
显然，矢径 r0 与 x2 轴组成的平面与折射率椭球的截线 是一个半径为 n2 的圆。若以 Π0 表示该圆截面，则与垂直于 Π0 面的波法线方向 k 相应的 D 矢量在 Π0 面内振动，且振动 方向没有限制，折射率均为 n2。
如果用 C 表示 Π0 面法线方向的单位矢量，则 C 的方向 即是光轴方向。由于tan0有正负两个值，相应的 Π0 面及其 法向单位矢量 C 也有两个，因此有两个光轴方向 C1 和 C2 ， 即双轴晶体。
实际上，C1 和 C2 对称地分布在 x3 轴两侧。由 C1 和 C2
构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是 x3Ox1 平面。设 C1、C2 与 x3 轴的夹角分别为 、 ，则有：
n3 tan n1
2 2 n2 n1 2 2 n3 n2
小于 45，为正双轴晶体; 大于45，为负双轴晶体。
4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述
1.折射率椭球(光率体)
(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 ① 各向同性介质或立方晶体
② 单轴晶体
③ 双轴晶体
① 各向同性介质或立方晶体
2 2 2 x1 x2 x3 2 2 1 2 n1 n2 n3
主介电系数 1=2 =3 ，主折射率n1= n2 = n3 = n0 ，折 射率椭球方程：
2 1 2 o
2 2 2 o
2 3 2 e
' 截面方程 x3 0
单轴晶体折射率椭球作图法
两个坐标系的关系：
x1 x1' x2 x cos x sin
' 2 ' 3
x3 x sin x cos
' 2 ' 3
2 2 2 x1 x2 x3 2 2 1 2 no no ne
菲涅耳椭球与折射率椭球的作图方法完全相同，只是 以光线方向 s 取代波法线方向 k。
2 1 2 r1
2 2 2 r2
2 3 2 r3
4. 射线曲面
描述与晶体中光线方向 s 相应的两个光线速度的分布。 射线曲面上的矢径方向平行于给定的 s 方向， 矢径的长度等 于相应的两个光线速度 vr ，因此可简记为 (s,vr) 曲面。 射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程：
1 1 2 n2 n2

2 k3
1 1 2 n2 n3
0
2 2 2 2 2 若以 n2 x1 代入上式，得 x2 x3 n2k12 n2k2 n2k3 到其直角坐标方程：
2 2 2 2 2 2 2 2 (n12 x12 n2 x2 n3 x3 )( x12 x2 x3 ) [n12 (n2 n3 ) x12 2 2 2 2 2 2 2 2 n2 (n3 n12 ) x2 n3 (n12 n2 ) x3 ] n12n2 n3 0
a. 双轴晶体中的光轴 b. 光在双轴晶体中的传播特性
a. 双轴晶体中的光轴
主介电系数 1 2 3 ，主折射率系数 n1 n2 n3 ， 折射率椭球方程为：
x x x 1 n n n
约定n1 n2 n3，则折射率椭球与 x1Ox3平面的交线是椭圆：
2 1 2 1
'2 ' 2 x2 x1 n 2 1 2
所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为:
n ' n2 n"
n1n3 2 2 2 2 n3 cos n1 sin
D 矢量的振动方向分别为x2 、x1方向。
(iv) 当 k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直时， 相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于 n1, n2 之间，另一个介于 n2, n3 之间。如果用波法线与两个光轴的 夹角 1 和 2 来表示波法线方向 k，则利用折射率椭球的关 系，可得到与 k 相应的二折射率十分简单的表达式:
( x x x n )[n ( x x ) n x n n ] 0
2 1 2 2 2 3 2 o 2 o 2 1 2 2 2 2 e 3 2 2 o e
或:
x x x n 2 2 2 x1 x2 x3 2 1 2 ne no
2 1 2 2 2 3 2 o
1 cos2 [(1 2 ) / 2] sin2 [(1 2 ) / 2] 2 2 2 n n1 n3
(v) 已知两个光轴方向和 k方向时，可以很方便地确定与 k 相应的D矢量的两个振动方向。
图 4-18 D矢量振动面的确定
图 4-19 图 4 - 18 中的Π平面
应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿其余
平行。中心截面与椭球的截线方程为
x n
'2 1 2 o
x n
'2 2 '2 e
1
包含 x3 轴的中心截面都可选作x3Ox1平面。对于正单轴晶 体，e 光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e 光有最小折
射率。用几何作图法可以得到 D // E, k // s
B
D E s
切平面T
k
③ 双轴晶体
图 4-15 双轴晶体折射率 椭球在x3Ox1面上的截线
图4-16 双轴晶体双光轴示意图
b.光在双轴晶体中的传播特性
利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束
特许线偏振光的折射率和振动方向，具体计算比单轴晶体 复杂得多。只讨论几种特殊情况：
(i) 当k方向沿着主轴方向(如x1轴)时，相应的两个特许线 偏振光的折射率分别为n2和n3，D矢量的振动方向分别沿 x2 轴和 x3 轴；当 k 沿 x2 轴时，相应的两个特许线偏振光的折
' '2 ' ( x1' cos x3 sin ) 2 x2 ( x1' sin x3 cos ) 2 2 1 2 2 n1 n2 n3 ' x3 0
得与 k 垂直的截线方程为:
cos2 sin 2 n2 n2 1 3
2 s1
1 1 2 2 vr v1
率曲面刚好相反。

2 s2
1 1 2 2 vr v2

2 s3
1 1 2 2 vr v3
0
v 与 n 成反比，因此射线曲面两壳层的里外顺序与折射
(a) 正单轴晶体；
(b) 负单轴晶体
图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面
图 4 – 24 双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线
方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k 的
平面与折射率椭球的截线都是椭圆。而且，由于折射率椭球 没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都与 k 的方向有关，因此两个光都是非常光。 故在双轴晶体中，不能采用 o光与 e 光的称呼来区分这
两种偏振光。
2. 折射率曲面和波矢曲面
为了更直接地表示与每一个波法线方向 k 相应的两个折
可见，单轴晶体的折射率曲面是双层曲面，由半径为 no 的球面和以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。球面对应 o 光的 折射率曲面，旋转椭球对应 e 光的折射率曲面。
对于正单轴晶体：ne>no，球面内切于椭球；对于负单轴 晶体：ne<no ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在 x3 轴上， 故 x3 轴为光轴。
椭球的截线方程为
x x n
2 1 2 2
2 o
可见，沿 x3 轴方向传播的光波折射率为 no ， D 矢量的振动 方向除与 x3 轴垂直外，无其他约束，即沿 x3 轴方向传播的
光可以允许任意偏振方向，故 x3轴为光轴。
两种特殊情况：
② = /2 时，k x3轴，ne= ne ，e 光的 D 矢量与 x3 轴
主介电系数 1=2 3 ，主折射率 n1=n2=no ， n3=neno ， 折射率椭球方程：
x x x 1 n n n
• 单轴晶体的折射率椭球是一旋转椭球面，旋转轴为 x3 轴。 • neno，称为正单轴晶体(如石英)，折射率椭球是沿 x3 轴拉 长了的旋转椭球； • neno，称为负单轴晶体(如方解石)，折射率椭球是沿 x3 轴 压扁了的旋转椭球。
与 x3 轴的夹角为 。为简化运
算, 将坐标系 O-x1x2x3 绕 x2 轴 旋转 角，建立一个新坐标系
O-x1x2x3Βιβλιοθήκη Baidu。
新旧坐标系之间的关系为:
' x1 x1' cos x3 sin
x2 x
' 2 ' 1 ' 3
x3 x sin x cos
代入折射率椭球方程，并与x3=0 联立:
射率，引入折射率曲面。
曲面上的矢径 r nk ，方向平行于给定的波法线方向 k , 长度等于与 k 相应的两个波的折射率。因此，折射率曲面是
一个双壳层的曲面，记作(k,n)曲面。 (4.2-31)式是折射率曲面在主轴坐标系中的极坐标方程。
2 k1
1 1 2 n2 n1

2 k2
射率分别为 n1和 n3，D矢量的振动方向分别沿 x1轴和 x3轴。
(ii) 当 k 沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射率为n2，
其 D 矢量的振动方向没有限制。 (iii) 当 k 在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特
许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个
介于其余二主折射率之间。 例如，k在 x1Ox3主截面内，
k 方向相应的光线方向 s
。
3. 菲涅耳椭球
折射率椭球和折射率曲面是相对波法线方向 k 而言。 菲涅耳椭球是相对光线方向 s 引入的几何曲面。 由折射率椭球方程(4.2-65)并利用矢量对应关系，可得：
x x x 1 ——菲涅耳椭球 v v v
式中，vr1、vr2、vr3 表示三个主轴方向上的光线主速度。
2 2 2 2
2 3 2 3
x n
2 1 2 1
x n
2 3 2 3
1
式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。
若椭圆上任意一点的矢径 r 与 x1 轴的夹角为 ，长度为 n，则上式可写成

(n cos )2 (n sin )2 1 2 2 n1 n3
或
1 cos2 sin 2 2 2 2 n n1 n3
(a) 正单轴晶体
(b) 负单轴晶体
单轴晶体的折射率曲面
对于双轴晶体，n1≠n2≠n3, 前面所述的四次曲面在三个主 轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆.
双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线
双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图
折射率曲面上在任一矢径末端处的法线方向，即是与该 矢径所代表的波法线方向
这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得到 与 k 相应的二折射率。
对于立方晶体，n1=n2=n3=n0 ，由此可得：
x x x n
2 1 2 2 2 3
2 0
显然其折射率曲面是一个半径为 n0 的球面，在所有的 k 方 向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。
对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne ，于是：