复变函数

广州大学2005-2006学年第二学期考试卷（答卷）

课 程： 复 变 函 数 考 试 形 式： 闭卷 考查

学院：_ _ _ _ 系：_ _ _ _ _ 专业：_ _ _ _ 班级：_ _ _ _ _ 学号：_ _ 姓名：_ _ _ _ _

一．填空题（每小题3分，共24分） 1．设,1,

121i z i z -=+= 则 n

z z 221⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛的虚部为__0__， 其中n 为自然数。

2. 复数 1 的主幅角为 3/π-。

3. 复数1i +的指数形式为i

e 4

2π

。

4. )i =6

2ln π

i

+。

5. 曲线 5|2||2|=++-z z 的直角坐标方程为 19

42542

2=+y x 。

6. 0=z 是3

sin z

z 的 2 级极点。 7.

dz z z

z ⎰=-1

||2= 0 。 8. 复数项级数

1

2n

n n n z ∞

=∑的收敛半径R = 2 。

二．解答下列各题（每小题6分，共30分）

1．求方程 083

=+z 的所有根。

答案： p.32. .31,2,31i i --+

2．设iy x z +=，)()(2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，试确定n m l ,,的值。

答案： p.92. 1,3=-==m n l

3．计算积分2

()C

x iy dz +⎰

， 其中C 为连接原点O 到i +1的线段。

答案： p.99 i 6561+-

4．计算积分dz i z z C ⎰-3

3

)

(，其中C 为正向圆周：||2z =。

答案： p.89 π6-

5．计算积分0

cos i z z dz ⎰

。

答案： p.83 11--e

三．解答下列各题（每小题8分，共16分）

1．判断级数∑∞

=+-1

]21

)1([n n n i n 是否收敛、是否绝对收敛。

答案： p.109 收敛、非绝对收敛

2．将函数1

()(1)(2)

f z z z =--在圆环域1||2z <<内展成洛朗级数。

答案： p.132 ---------84211112

1

z z z z z n n

四．（10分）求dz z z z )3

2

11(

4

||-++⎰

=的值。

答案： p.86 i π6

五．（10分）已知一调和函数为y x y x y y e y x v x +++=)sin cos (),(，求一解析函数

,)(iv u z f += 使 .0)0(=f

答案： p.92 z i ze z )1(++

六．（10分） 求积分 dz z z ⎰=+1

||2

1

，从而证明.0cos 45cos 210=++⎰θθθπd

答案：

dz z z ⎰=+1

||21

=0 令 θθsin cos i z += =+=

⎰=dz z z 1

||21

0θθθθπd i ⎰+++-0

cos 45)cos 21(sin 2 .0cos 45cos 210

=++⎰θθ

θ

π

d