第八章 非线性系统

. x
例8.2
. 解： x >0
. x <0
.. . + a | x |+ x=0 的相平面图 求 x
.. . x + a x + x=0
.. . x - a x + x=0
. x
上半平面的等 倾线方程： 1 x x =a+ a
.
x
线性二阶系统的轨迹
2 x 2w n x w n x 0
相轨迹的绘制过程如下：
1.在相平面画等傾线（实线）。 2.在等倾线上画矢量，表示相轨迹在通过该等傾线 时的方向，矢量的斜率等于给定相轨迹的斜率a。 3.由初始点出发，按矢量方向作一条小线段，并与 相邻一 条等倾线相交；由该交点起，并按该交 点矢量方向作一条小线段，再与其相邻的一条等 倾线相交；循此步骤依次进行，就可以获得一条 从初始点出了，由各小线段组成的折线，最后对 该折线作光滑处理，即得到所求系统的相轨迹。
一、相平面图的基本概念
二阶系统
2 x 2w n x w n x 0
. 令x1x, x2 x
x1 x 2 x 2 w n x1 2w n x
以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为 相平面 (phase plane)。
在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变 量构成的曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。 . x=x
.
线性二阶系统的奇点
ax b 0 x
（1） a>0且a2-4b<0，两个实部为负的共轭复根，相轨迹奇点为稳 定的焦点。 （2） a<0且a2-4b<0两个实部为正的共轭复根，相轨迹奇点为不稳 定的焦点。 （3） a>0且a2-4b≥0两个负实根，相轨迹奇点为稳定的节点。 （4）a<0且a2-4b≥0两个正实根，相轨迹奇点为不稳定的节点。 （5）a=0，一对虚根，相轨迹奇点为中心点。 （6）b<0，正负实根各一个，相轨迹奇点为鞍点。
(一)相平面图的特点
2. 奇点和普通点
普通点 . f(x, x )0的点。
. 相平面上不同时满足 x 0和
奇点 . 和f(x, x )0的点。
. 相平面上，同时满足 x 0
(一)相平面图的特点
3.相轨迹通过x轴的斜率
. 在x轴上，所有点都满足 x 0。除奇点外
相轨迹在x轴上的斜率为 dx = dx
（2）Baidu Nhomakorabea线
当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系 统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取 决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的 相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象，它只 发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统 中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能 源中获取能量，从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将 极限环分为三种类型：
o 适用于一阶、二阶系统
描述函数法(Describing function technique)
o 是一种等效线性化方法
计算机仿真(Computer simulation)
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
其中f(0)和g(0)为非线性函数。 当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节 视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小 偏差法将非线性模型线性化。 注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有 使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。 要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采 用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制， 还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构 采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力； 这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。 非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
(1)稳定极限环 (2)不稳定极限环
o 极限环内外的相 轨迹曲线都收敛于 该极限环。 . x o 极限环内外的 相轨迹曲线都从 极限环发散。 . x
x
x
(3)半稳定极限环
o 极限环分割的两个区域都是稳定的， 或都是不稳定的。 . . x x
等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法， 不需求解微分方程。对于求解困难的非线性 微分方程，图解方法显得尤为实用。
基本思想：用有限段短的直线逼近相轨迹， 而这些短线的斜率等于相应位置的相轨迹的 斜率。 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨 迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿 方向场逐步绘制相轨迹。
相轨迹的斜率方程为 . . f(x, x ) dx . = x dx 所有相轨斜率 dx dx a 常量的点，构成了等斜 率线即等倾线。 等倾线方程为 a x f ( x, x) 当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜 率都相等，均为a 。取a为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各 点处作斜率为a的短直线，并以箭头表示切线方向， 则构成相轨迹的切线方向场。
输出
K -b 0 b 输入
(四) 继 电 器 型 非 线 性
输出 M M -h 0
输出
(On-off nonlinear)
0
-M (a) M 输出 -h 0 -M h
输入
h
-M (b) 输出
输入
M 输入
-h -mh 0 mh h
-M
输入
(c)
(d)
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时， 该系统称为非 线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为
.
f (x, x) . =∞ x
.
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
(一)相平面图的特点
4.相轨迹移动的方向
在相平面的上半平面，系统状态沿 相轨迹由左向右运动；
在下半平面，系统状态沿相轨迹由 右向左运动。 系统状态沿相轨迹的移动方向由相 轨迹上的箭头表示。
(二)绘制相平面图的解析法
相轨迹方程
. x =g(x)
例8.1
x 试绘制二阶系统 w 2 x 0 的相平面图
解：系统方程改写为
dx x w2x 0 dx
. x
0
积分得相轨迹方程
x2
x0 x
w
2
x 2 A2
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。 常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
对于非线性系统的各个平衡点，若描述 非线性过程的非线性函数解析时，可以通 过平衡点处的线性化方程，基于线性系统 特征根的分布，确定奇点的类型，进而确 定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线 性方程在某个区域可以表示为线性微分方 程时，则奇点类型决定该区域系统运动的 形式。若对应的奇点位于本区域内，则称 为实奇点；若对应的奇点位于其它区域， 则称为虚奇点。
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
特征根： s12 wn jwn 1 2 相轨迹方程
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0＜ ＜1
一、典型非线性特性
(一)饱和非线性 (Saturation nonlinear)
输出 M 近似饱和特性 -t 0 -M t 实际饱和特性 输入
一、典型非线性特性
(二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)
输出 K
-h
0 K h 输入
一、典型非线性特性
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
2
B
C A
x1=x
二、相平面图的绘制
对于二阶系统 .. . x = f(x, x)
以x, x 为相变量，可得到相轨迹通过 . 点 (x, x)的斜率 dx dx =
.
.
f (x, x) . x
.
(一)相平面图的特点
1、对称性
. a. 关于 x 轴对称 . f (x, x) － f (-x, x ) . . 或 f (x, x) = － f (-x, x ) . = . x x . 即f(x, x )是关于x的奇函数。 .
K ′ >0
B
振幅 0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
.. . ′x 3=Pcoswt M x +B x +Kx+ K
频率响应
x
2 6
x
K ′ >0
5 3
K ′ <0
1
5 3 0 4 1 6 2 4
ω0
ω
0
ω0
ω
具有硬弹簧的机械系统
具有软弹簧的机械系统
三、非线性系统的研究方法
相平面法(Phase-plane technique)
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。 研究时应注意：
1、系统的初始条件；
2、系统的平衡状态。
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式 某些非线性 系统的零输入响 应形式与系统的 初始状态有关。
e(t) E
0
t
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程：
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
M 重物 粘性阻 尼器
e(t) K ′ <0
K ′ =0
o 两个实部为负的 共轭复根
jω
相轨迹
σ
(2) 0＞ ＞-1
o 两个实部为正的 共轭复根
jω
相轨迹
σ
(3) ＞1
o 两个负实根
jω
相轨迹
σ
(4) ＜-1
o 两个正实根 相轨迹
jω
σ
(5) ＝0
o 两个实部为零的 共轭复根
jω
相轨迹
. x
σ
x
(6)
2 x 2w n x w n x 0
设系统方程为
2 x 2w n x w n x
0
改写为：
dx 2 x 2w n x w n x 0 dx
令 d x / dx = a
得等倾线方程：
2 wn x x 2wn a
.
a=-1 a=-1.2 A a=-1.4 a=-1.6 B a=-1.8 C a=-2 D a=-2.5 E a=-3 a=-4 a=-6 a=-11 a=9 x a=4 a=2 a=1 a=0.5 a=0 a=-0.2 a=-0.4 a=-1
o 两个异号实根
jω
相轨迹
. x
σ
x
四 奇点和极限环 1.奇点(Singular point)
.. . x = f (x, x) 相轨迹的斜率可表示为 . . f(x, x ) dx . = x dx 在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即 同时满足 . x =0 dx 0
dx 0 即
f (x, x) =0
b、关于x轴对称
. . . f (x, x) f (x, - x) 或 f (x, x) = f (x, - x ) . = . x －x . . 即f(x, x )是 x 的偶函数。 .
c、关于原点对称
f (x, x ) . = x
.
－f
(-x, - x ) . －x
.
. . 即 f(x, x ) f(x, x )