数字积分法插补原理
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一 基本原理
数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)， 简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。具 有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实 现多坐标联动。只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为 复杂的轮廓曲线。直线插补时脉冲较均匀。并具有运算速度快，应用 广泛等特点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
例：设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为(4,6)，试用数字 积分法进行插补计算并画出走步轨迹。
解：选取累加器和寄存器的位数为3位，即n=3，则累加次数
m 23 8
插补前，余数寄存器=0。x被 积函数寄存器=4，y被积函数寄 存器=6。其插补过程如表（下 页）所示。插补轨迹如右图所 示。
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
如图所示，从时刻到t求函数曲线所包围的面积时，可用积分公式表示，如 果将0～t的时间划分成时间间隔为的有限区间，当足够小时，可得近似公式 ：
S
t
0
f
(t )dt
t
0
y(t )dt
n
yi t
i 1
n
若△t 取“1”，上式简化为：S yi
i 1
S
t
0
y(t )dt
三 圆弧插补
DDA逆圆插补框图
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆弧插补与直线插补比较
（1）直线插补时为常数累加，而圆弧插补时为变量累加。
（2）圆弧插补时，x轴动点坐标值累加的溢出脉冲作为y轴的 进给脉冲，y轴动点坐标值累加溢出脉冲作为x轴的进给脉冲。
（3）直线插补过程中，被积函数值 xe 及 ye 不变。圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
表 2-7 DDA 直线插补运算过程
累加次数 m
x 被积函数 寄存器
x 轴数字积分器 x 累加器
x 累加器 溢出脉冲
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
0
0
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
过程中，被积函数值必须由累加器的溢出来修改。圆弧插补x
轴累加器初值存入轴起点坐标 y0 ，y轴累加器初值存入x轴起 点坐标 x0 。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
y r sin t
对t 微分得、方向上的速度分量为
vx
dx dt
r si t
x
用累加器来近似积分为 n
x yti
i 1
n
y xti
i 1
圆弧插补时，x轴的被积函数值 等于动点y坐标的瞬时值，y轴的被积 函数值等于动点x坐标的瞬时值。
3单元 数字积分法插补原理
3.4 设用数字积分法插补直线面，已知O(0，0)，
D(6，7)，被积函数寄存器和余数寄存器的最大可 寄存数值为Jmax＝7(即J ≥8时溢出)，写出插补过程 并绘出轨迹。
3.5 用数字积分法插补圆弧PQ，起点为P(7，0)，终点为Q(0，7)，被积函数寄存器和余
数寄存器的最大可寄存数值为Jmax＝7(即J ≥ 8时溢出)。 (1)若x，y向的余数寄存器插补前均清零，试写出插补过程并绘出插补轨迹。 (2)若x，y向的余数寄存器插补前均置4，试写出插补过程并绘出插补轨迹。 (3)若x，y向的余数寄存器插补前均置7，试写出插补过程并绘出插补轨迹。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
作业与思考题
3.1
利用试用数字积分法插补椭圆
x2
y2
1
的PQ段(如下图所示)，并绘出插补轨迹。
94
3.2 试用数字积分法插补一条直线OE，己知起点为O(0，0)，终点为E(7，3)。写出插补
计算过程并绘出轨迹。
3.3 直线积分器和圆弧积分器有何异同?
n
x Kxeti
i 1
n
y Kyeti
i 1
动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位 时间间隔t，分别以增量kXe及kYe同时累加的结果。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补 若经过m 次累加后，x和y分别到达终点 (xe , ye ) ，即有下式成立：
n
x Kxe Kxem xe
y 轴数字积分器
y 被积函数寄 存器
y 累加器
y 累加器 溢出脉冲
0
0
0
6
0＋6=6
0
6
6＋6=8＋4 1
6
4＋6=8＋2 1
6
2＋6=8＋0 1
6
0＋6=6
0
6
6＋6=8＋4 1
6
4＋6=8＋2 1
6
2＋6=8＋0 1
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆心为坐标原点的圆弧方程式为 x2 y2 r2 可得圆的参数方程为 x r cos t
n
yi t
n
t 1
yi
i 1
i 1
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
设在平面中有一直线OA，其起点坐标为坐标原点O，终点坐为 A(xe , ye ) ，则该 直线的方程为 y ye x ，将方程化为对时间t的参数方程，再求积分可得：
xe
x K xedt
y K yedt
上式积分用累加的形式近似表达为：
3单元 数字积分法插补原理
一 数字积分法插补的基本原理 二 数字积分法直线插补 三 数字积分法圆弧插补 四 改进数字积分插补质量的措施
本单元学习目标
掌握数字积分法插补基本原理 掌握数字积分直线插补运算过程、特点及其应用 掌握数字积分圆弧插补运算过程、特点及其应用 理解改进数字积分插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
i 1
n
y Kye kyem ye
i 1
由此可见，比例系数k与累加器之间有如下关系：
Km 1
m 1 K
关键是如何选择m、k
设累加器有n位，则
K
1 2n
m 1 2n k
上式表明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程要进行2n 次
累加才能到达终点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
右图为直线的插补框图， 它由两个数字积分器组成，每 个坐标轴的积分器由累加器和 被积函数寄存器组成，被积函 数寄存器存放终点坐标值，每 经过一个时间间隔△t ，将被积 函数值向各自的累加器中累加， 当累加结果超出寄存器容量时， 就溢出一个脉冲，若寄存器位 数为n，经过2n次累加后，每个 坐标轴的溢出脉冲总数就等于 该坐标的被积函数值，从而控 制刀具到达终点。
数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)， 简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。具 有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实 现多坐标联动。只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为 复杂的轮廓曲线。直线插补时脉冲较均匀。并具有运算速度快，应用 广泛等特点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
例：设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为(4,6)，试用数字 积分法进行插补计算并画出走步轨迹。
解：选取累加器和寄存器的位数为3位，即n=3，则累加次数
m 23 8
插补前，余数寄存器=0。x被 积函数寄存器=4，y被积函数寄 存器=6。其插补过程如表（下 页）所示。插补轨迹如右图所 示。
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
如图所示，从时刻到t求函数曲线所包围的面积时，可用积分公式表示，如 果将0～t的时间划分成时间间隔为的有限区间，当足够小时，可得近似公式 ：
S
t
0
f
(t )dt
t
0
y(t )dt
n
yi t
i 1
n
若△t 取“1”，上式简化为：S yi
i 1
S
t
0
y(t )dt
三 圆弧插补
DDA逆圆插补框图
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆弧插补与直线插补比较
（1）直线插补时为常数累加，而圆弧插补时为变量累加。
（2）圆弧插补时，x轴动点坐标值累加的溢出脉冲作为y轴的 进给脉冲，y轴动点坐标值累加溢出脉冲作为x轴的进给脉冲。
（3）直线插补过程中，被积函数值 xe 及 ye 不变。圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
表 2-7 DDA 直线插补运算过程
累加次数 m
x 被积函数 寄存器
x 轴数字积分器 x 累加器
x 累加器 溢出脉冲
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
0
0
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
0＋4=4
0
4＋4=8＋0 1
过程中，被积函数值必须由累加器的溢出来修改。圆弧插补x
轴累加器初值存入轴起点坐标 y0 ，y轴累加器初值存入x轴起 点坐标 x0 。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
y r sin t
对t 微分得、方向上的速度分量为
vx
dx dt
r si t
x
用累加器来近似积分为 n
x yti
i 1
n
y xti
i 1
圆弧插补时，x轴的被积函数值 等于动点y坐标的瞬时值，y轴的被积 函数值等于动点x坐标的瞬时值。
3单元 数字积分法插补原理
3.4 设用数字积分法插补直线面，已知O(0，0)，
D(6，7)，被积函数寄存器和余数寄存器的最大可 寄存数值为Jmax＝7(即J ≥8时溢出)，写出插补过程 并绘出轨迹。
3.5 用数字积分法插补圆弧PQ，起点为P(7，0)，终点为Q(0，7)，被积函数寄存器和余
数寄存器的最大可寄存数值为Jmax＝7(即J ≥ 8时溢出)。 (1)若x，y向的余数寄存器插补前均清零，试写出插补过程并绘出插补轨迹。 (2)若x，y向的余数寄存器插补前均置4，试写出插补过程并绘出插补轨迹。 (3)若x，y向的余数寄存器插补前均置7，试写出插补过程并绘出插补轨迹。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
作业与思考题
3.1
利用试用数字积分法插补椭圆
x2
y2
1
的PQ段(如下图所示)，并绘出插补轨迹。
94
3.2 试用数字积分法插补一条直线OE，己知起点为O(0，0)，终点为E(7，3)。写出插补
计算过程并绘出轨迹。
3.3 直线积分器和圆弧积分器有何异同?
n
x Kxeti
i 1
n
y Kyeti
i 1
动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位 时间间隔t，分别以增量kXe及kYe同时累加的结果。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补 若经过m 次累加后，x和y分别到达终点 (xe , ye ) ，即有下式成立：
n
x Kxe Kxem xe
y 轴数字积分器
y 被积函数寄 存器
y 累加器
y 累加器 溢出脉冲
0
0
0
6
0＋6=6
0
6
6＋6=8＋4 1
6
4＋6=8＋2 1
6
2＋6=8＋0 1
6
0＋6=6
0
6
6＋6=8＋4 1
6
4＋6=8＋2 1
6
2＋6=8＋0 1
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆心为坐标原点的圆弧方程式为 x2 y2 r2 可得圆的参数方程为 x r cos t
n
yi t
n
t 1
yi
i 1
i 1
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
设在平面中有一直线OA，其起点坐标为坐标原点O，终点坐为 A(xe , ye ) ，则该 直线的方程为 y ye x ，将方程化为对时间t的参数方程，再求积分可得：
xe
x K xedt
y K yedt
上式积分用累加的形式近似表达为：
3单元 数字积分法插补原理
一 数字积分法插补的基本原理 二 数字积分法直线插补 三 数字积分法圆弧插补 四 改进数字积分插补质量的措施
本单元学习目标
掌握数字积分法插补基本原理 掌握数字积分直线插补运算过程、特点及其应用 掌握数字积分圆弧插补运算过程、特点及其应用 理解改进数字积分插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
i 1
n
y Kye kyem ye
i 1
由此可见，比例系数k与累加器之间有如下关系：
Km 1
m 1 K
关键是如何选择m、k
设累加器有n位，则
K
1 2n
m 1 2n k
上式表明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程要进行2n 次
累加才能到达终点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
右图为直线的插补框图， 它由两个数字积分器组成，每 个坐标轴的积分器由累加器和 被积函数寄存器组成，被积函 数寄存器存放终点坐标值，每 经过一个时间间隔△t ，将被积 函数值向各自的累加器中累加， 当累加结果超出寄存器容量时， 就溢出一个脉冲，若寄存器位 数为n，经过2n次累加后，每个 坐标轴的溢出脉冲总数就等于 该坐标的被积函数值，从而控 制刀具到达终点。