线性代数同济大学第五版课件4-3‘

1 0 2 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 2 4 , 由 R(a1,a2 , a3) =2 1 5 7
由R(a1 , a2) =2, R(a1 , a3) = 2,R(a2 , a3) = 2 可知 a1, a2 与a1, a3 及 a2 , a3 都是a1 , a2 , a3 的最大无关组.
即 b1 b2 b3 0, ＋ ＋ 4b1 3b2 3b4 b5 0,
或者说方程x1 b1 x 2 b2 x 3 b3 x 4 b4 x 5 b5 0
有两组解 x (1,1,1,0,0)T以及 x (4,3,0,3,1)T
它们当然也是方程 x 0的解， A
x1 3 4 x2 2 3 x c1 1 c 2 0 3 0 1 x 4
把上式记作 x = c11 + c22 , 知
S = { x = c11 + c22 | c1 , c2 R },
解 对A施行初等行变换变为 行最简形矩阵
设 A = (a1 , a2 , a3, a4 ,a5)
初等行变换
A
~
知R( A) 3，
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、、三列， 24 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大无关组.
2 3
1 0
1 5
2 1 7
~
1 0 0 1 0 0
3 2 0
4 3 0
得对应的方程组
x1 3 x 3 4 x4 x 2 2 x 3 3 x 4 x3 x3 x4 x4
令自由未知量 x3 c1 , x4 c2 , 得通解
前面我们建立定理1、2、3时，限制向量组只
含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定 理1、2、3推广到一般的情形. 推广的方法是利用 向量组的最大无关组作过渡. 如定理 3 可推广为
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · , bl 能由向 · ·
量组 A：a1 , a2 , · , am 线性表示，则 · ·
个向量 a , a2 , ·a , , , · ·, a , r + 1 1个向量 ·1ara2满足, ar , a 线性相关, 而 a1 , · ·
(,i) 向量组 A0 : a1 , a2 , · ,5ar (1) 若向量组 A: a · · 线性无关; 知 a2 , · ar 线性无关, 根据 定理 · · 的结论(3) 1 (ii) 向量组 A 中任意 则向量组 B(如果 a 中有 a 相关, r +1 个向量 : A1 线性 · , m a0 , A , · · a 能由 a1 , a2 , · , ar 线性表示, 即 A 能由 · · 2 r +1个向量的话)都线性相关. 关. 反言之 若向量组 B 线性无关 表示. 所以向量组 A 与向量组 A0, 等价. 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线
即 S 能由向量组 1 , 2 线性表示. 又因 1 , 2 的 四个分量显然不成比例，故 1 , 2 线性无关. 因 此根据最大无关组的等价定义，知1 , 2是 S 的 最大无关组，从而 RS = 2 .
四、定理的不同表现形式
设向量组 A : a1 , a2 , · , am 构成矩阵 · ·
(ii) 向量组 A 中任意 r +1 个向量(如果 A 中有
r +1个向量的话)都线性相关. 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线 性无关向量组(简称最大无关组);
最大无关组 所含向量个数 r 称为向量组A的秩. 记作 RA
只含零向量的向量组没有最大无关组, 规定它的秩为 0 .
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
推论 向量组 A：a1 , a2 , · , am 与向量组 · ·
例 11 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
大无关组表示其余向量.
2 4 , 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组, 并用最
定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也
等于它的行向量组的秩.
· · 证明 设 A = (a1, a2, · , am), R(A) = r , 并设 r
今后向量组 a1 , a2 , · am 向量组 知 , r , ... , a · · Dr 0 a 1 D 阶子式 Dr 0 . 根据定理 ,4 由的秩也记作a2所在的m 线性
B 的最大无关组依次为 A0：a1 , a2 , · , as 和 B0：b1 , b2 , · , bt . · · · · 由于 B0 组能由 B 组表示， B 组能由 A 组表示，
A 组能由 A0 组表示，因此 B0 组能由 A0 组表示,
根据定理3，
有 R(b1,b2, · ,bt) ≤ R(a1,a2, · ,as), · · · ·
结论 若 Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式, 则 Dr所在的 r 列即是列向量组的一个最大无关组, Dr 所在的 r 行即是行向量组的 一个最大无关组.
注： （1）向量组的最大无关组一般不是唯一的. 实际上 若向量组A的秩为r，则向量组 A 中任意 r 个线性 无关的向量都是A的最大无关组 如例 5
例 9 设齐次线性方程组
x1 2 x2 x3 2 x4 0 , x4 0 , 2 x1 3 x2 x x 5x 7 x 0 2 3 4 1
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解
把系数矩阵A化为行最简形
1 A 2 1
例8
全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn ,
求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩.
解 在例 4 中 , 我们证明了 n 维单位坐标向
显然, Rn 的最大无关组很多, 任何 n 个线性 量构成的向量组
·, 无关的 n E : e1 , e2 , ·Ren的最大无关组. 维向量都是· n (1) 若向量组 R · · 是线性无关的, 又根据 定理 5 的结论 (2), 知A:na1 , a2 , · ,
（2）向量组 A 和它自己的最大无关组A0 等价. 向量组 A的任意两个最大无关组也等价。
这是因为 A0 是 A 的一个部分组. 故 A0 总能由 A 线性表示(A 中每个向量都能由向量组 A 表示);
由 定义 5 的条件 (ii) 知, 对于 A 中任一向量 r 设有向量组 A ,如果在 A 中能选出
于是方程Ax = 0 与 Bx = 0 同解， 即方程 x1a1 + x2a2 + · + xnan = 0 · ·
A = (a1 , a2 , · , am )，根据向量组的秩的定义及 · ·
定理6，有 RA = R(a1 , a2 , · , am ) = R(A) . · · 由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现的
矩阵的秩都可改为向量组的秩.
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是矩阵 A = (a1 , a2 , · , am) 的秩等于 · ·
把上行最简形矩阵记作 (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) B 可知 b3 b1 b2 ,
b5 4b1 3b2 3b4 ,
1 0 A 初等行变换 0 0
~
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
矩阵 B = (a1 , a2 , · , am , b) 的秩. · ·
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是
R (a1 , a2 , · , am) = R (a1 , a2 , · , am , b). · · · ·
注：记号R(a1 , a2 , · , am )既可理解为矩阵的秩，也 · · 可理解成向量组的秩．
(*)
把上行最简形矩阵记作
由于方程 Ax O 与 Bx O 同解,
即方程 x1 a1 x2 a2 x3 a3 x4 a4 x5 a5 0 与 同解, x1 b1 x2 b2 x3 b3 x4 b4 x5 b5 0
而由（＊）式可知b3 b1 b2 , b5 4b1 3b2 3b4 ,
相关, 则向量组 因此向量组· ·, 中的任意 n + 1 个向量都线性相关, B: a1 , a2 , ·E am , am+1 也
关. 反言之, 若向量组 B . 是 Rn 的一个最大无关组, 且 Rn 的秩等于 n线性无关, 则向量 线性无关.
三、最大无关组的等价定义
定义 设向量组 A0 : a1 , a2 , · , ar 是向量组 · ·
A 的一个部分组，且满足 (i) 向量组 A0 线性无关； (ii) 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线 性表示. 那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组.
证明 只要证向量组 A 中任意 r + 1 个向量
线性相关. 设 b1 , b2 , · , br + 1 是 A 中任意 r + 1 · ·
· · 要条件是它所构成的矩阵 A = (a1 , r 列线性无关;R(a1 , a2 中所有). + 1 阶子式均为零, a2 , ... 又由 A , · , am r
是 R(A) = m. 在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组,所以
知 A 中任意r +小于向量的个数 m ; 向量组线性无关的充 1个列向量都线性相关. 因此 Dr 所
x1 a1 x2 a2 x3 a3 x4 a4 x5 a5 0
即 a1 a 2 a 3 0, ＋ ＋ 4a1 3a 2 3a4 a5 0,
即得
a3 a1 a2 a5 4a1 3a2 3a4
说明：设矩阵 A = (a1 , a2 , · , an) 的行最简形矩阵 · · r 为 B = (b1 , b2 , · , bn) ，即 A ~ B . · ·
第Biblioteka Baidu节
主要内容
向量组的秩
一、最大无关组和秩的定义 二、向量组的秩和矩阵的秩的关系 三、最大无关组的等价定义 四、定理的不同表现形式
一 、最大无关组和秩的定义
定义 5 设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r
个向量 a1 , a2 , · , ar , 满足 · · (i) 向量组 A0 : a1 , a2 , · , ar 线性无关; · ·
R(b1 , b2 , · , bl ) ≤ R(a1 , a2 , · , am ) . · · · ·
定理 3 设向量组 B 能由向量组 A 线性表
示，则 RB ≤ RA .
定理 3 设向量组 B 能由向量组 A 线性表
示，则 RB ≤ RA .
证明 设 RA = s， RB = t，并设向量组 A 和
即t≤s.
例 10 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示,
且它们的秩相等，证明向量组 A 与向量组 B 等 价.
证明 因 B 能由 A 线性表示，故 R( A) R( A, B)
又已知 RB = RA ，故有
R( A) R( A, B ) R（B） .
根据 定理 2 的推论
知 A 与 B 等价.
0 1 0
(*)
即得
a3 a1 a2 a5 4a1 3a2 3a4
解释：
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
B (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 )
0 1 0