高考二次函数专题

１．二次函数

一．填空题：

1． 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2

-px +q 与g (x ) = 2x + 1x 2 在同一点取得相同的最小值，

那么f (x )在[1

2

,2]上的最大值是 4 ．

2．设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2

+bx +c x ≤0

2 x >0

，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

的解的个数为 3(-2,-1,2) ．

3．函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b>0 ．

4． 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得

()0f c >，则实数p 的取值范围是 ．

5．已知方程2

(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、

，并且1201x x <<<，则b

a

的取值范围是 ．

6．若函数f (x ) = x 2

+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x 4

+2x 2

+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x 2

-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2

-b|；其中正确命题的序号是 ．

9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．

10． 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= ． 11． 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最

大值为 ．

12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，， 不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．

13．设2 (||1)() (||1)

x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值

域是 ．

14．函数()f x 的最小值为 ．

二、解答题：

15．已知函数()2213

222

f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．

16．设a 为实数，函数f (x ) = x 2

+|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值．

17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点(-1，0)，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式

21

()2

x x f x +≤≤对一切实数x 都成立．

18．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．

19．设函数f (x )=,2

2

a

ax x c ++其中a 为实数． (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围；

(Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间．

20．已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，()f x '是f (x )的导数；设11a =，

1()

()n n n n f a a a f a +=-

'（n =1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记ln n n n a b a β

α

-=-（n =1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n ．

1．二次函数答案

新海高级中学 杨绪成 舒燕 一、填空题：

1. 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2

-px +q 与g (x ) = 2x + 1x

2 在同一点取得相同的最小值，

那么f (x )在[1

2

,2]上的最大值是 4 ．

2.设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2

+bx +c x ≤0

2 x >0

，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

的解的个数为 3 .

3.函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .

4. 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得

()0f c >，则实数p 的取值范围是 (-3,1.5) .

5.已知方程2

(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、

，并且1201x x <<<，则b

a

的取值范 围是(,2]-∞-.

6．若函数f (x ) = x 2

+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x 4

+2x 2

+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(,1][2,)-∞-+∞. 8．已知函数f (x ) =|x 2

-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2

-b|；其中正确命题的序号是 ③ .

9.已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式

222(2)182(2)18y x y x =--=---或.

10. 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= 2 . 11. 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最

大值为 4 .

12.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2

()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式

()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是)+∞.

13.设2 (||1)

() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩

,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域

是[0,)+∞；

14.函数()f x 二、解答题：

15．已知函数2213

()222

f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．

思路点拨:此题为动轴定区间问题,需对对称轴进行讨论.

解:213()()22

f x x m m =+--