特征值与特征向量(高等代数课件)

因此，属于 1 的两个线性无关的特征向量为
1 1 3 , 2 2 3
而属于 1 的全部特征向量为 k 1 1 k 2 2 ,( k 1 , k 2 P 不全为零 ) 7.4 特征值与特征向量
把 5 代入齐次方程组 (E A )X0, 得
42xx1124xx2222xx3300
2x1
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质
② 若 是 的属于特征值 0 的特征向量，则
k (k P ,k0)也是 的属于 0 的特征向量. Q ( k ) k ( ) k ( 0 ) 0 ( k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
A
x 01 M x 0n
,
7.4 特征值与特征向量
x 01
而 0
的坐标是
0
M x 0n
,
又 ()0
x01 x01
于是 A M M,
x0n 0 x0n
x01
从而 ( E A) M 0.
0
x0n
即
Fra Baidu bibliotek
x 01 M x 0n
是线性方程组 (0E A )X0的解，
(EA )X0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基 1,2,L,下n 的坐标.)
7.4 特征值与特征向量
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
( c 1 1 , c 1 2 , L , c 1 n ) , ( c 2 1 , c 2 2 , L , c 2 n ) , L , ( c r 1 , c r 2 , L , c r n )
又
Q 0,
x01 M 0, ∴
x0n
(0EA )X0有非零解.
所以它的系数行列式 0EA0.
7.4 特征值与特征向量
以上分析说明：
若 0 是 的特征值，则 0EA0.
反之，若 0 P 满足 0EA0,
则齐次线性方程组 (0E A )X0有非零解.
若
(x 0 1 ,x 0 2 ,L ,x 0 n )是
(EA )X0一个非零解， 0
则向量
x L x 就是
0 11
0 nn
的属于 0 的一个
特征向量.
7.4 特征值与特征向量
1. 特征多项式的定义
设 APnn, 是一个文字，矩阵 EA称为
A的特征矩阵，它的行列式
a a ... a
EA
11
a 21
...
a 12 22 ...
...
1n
a 2n
fA()
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. （ f A ( )是数域P上的一个n次多项式）
7.4 特征值与特征向量
注：① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵，
而 0 是 的一个特征值，则 0 是特征多项式 f A ( )
的根，即 fA(0)0.
反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是 的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 d i m V n ,1 ,2 , L ,n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0 是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,L,n下的坐标记为
x 01 M x 0n
,
则
(
)在基
1,2,L,n下的坐标为
1 2 2
EA
2 2
1
2
2
1
(1)2(5)
故 的特征值为： 1 1 （二重）, 2 5
7.4 特征值与特征向量
把 1 代入齐次方程组 (E A )X0,得
22xx11
2x 2
2x 2
2x 3
2x 3
0 0
2x1
2x 2
2x 3
0
即 xxx0
1
2
3
它的一个基础解系为：(1 ,0 , 1 ), (0 ,1 , 1 )
而相应的线性方程组 (EA )X0的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 1,2,L,n,写出 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们
就是 的全部特征值.
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
EkE(k)n.
故数乘法变换K的特征值只有数k，且
对 V(0), 皆有 K()k.
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换
在基
1
,
2
,
3
下的矩阵是
1 2 2
A
2 2
1 2
2 1
,
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 , 使得
()0 ,
则称 0 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值 0 的特征向量.
7.4 特征值与特征向量
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0)或相反 (0 0). 0 0 时 , () 0 .
7.4 特征值与特征向量
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?
7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量
n
则 i cijj, i1,2,L,r
j1
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量.
而 k 1 1 k 2 2 L k r r ,
（其中， k 1 ,k 2 ,L ,k r P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
7.4 特征值与特征向量
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
2x 2
4x 3
0
解得它的一个基础解系为： (1, 1, 1)
因此，属于5的一个线性无关的特征向量为