线性代数 空间曲线及其方程

x (t ) (t ) cos
2 2
y 2 (t ) 2 (t ) sin z (t )
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
t 0 2
例如, 直线
x 1 y t 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 z 2t
又如, 上半球面 z 4 x y
2 2 2 2 z 3 ( x y ) 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
z 4 x2 y2 二者交线 C : 2 2 z 3 ( x y ) x2 y2 1 在 xoy 面上的投影曲线 z0
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0
T ( x , z ) 0 y 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 2 x z 的交线关于 xoy 面的投影柱面 和在 xoy 面上的投影曲线方程.
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
G ( x, y , z ) 0 L F ( x, y , z ) 0
t 0 2
z
x 1 t 2 cos y 1 t 2 sin z 2t
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
4( x y ) z 4
2 2 2
o x
y
x a sin 又如, xoz 面上的半圆周 y 0 z a cos x a sin cos y a sin sin z a cos x x ( s, t ) y y ( s, t ) z z ( s, t )
旋转曲面方程为 z x y ,它与所给平面的 解：
z x2 y 2 交线为 x y z 1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 x y x y 1
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x y x2 y 2 1 z 0
x x(t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线的参数方程.
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 )， 随着参数的变化可得到曲线上的全部点.
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
(0 )
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
0 0 2
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y , z ) 0 设空间曲线 C 的一般方程为 G ( x, y, z ) 0 消去 z 得投影柱面 H ( x, y ) 0 , z 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 C H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x, z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
解（1）消去变量 z 后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy 上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 z 2, y 0 3 | x | ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
2 2
2
2
例如,
x2 y2 z2 1 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1
z
C
o x
1
y
在xoy 面上的投影曲线方程为
x2 2 y2 2 y 0 z0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
C
x o
z
1
y
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所围圆域: x 2 y 2 1 , z 0 .
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x x(t ) y y( t ) z z( t )
空间曲线在坐标面上的投影．
1 z 2, x 0 3 | y | . 2
例 5 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 2 5 y 2 4 xy x 0 , （1）消去 z 得投影 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 , （2）消去 y 得投影 y 0 y2 z2 2 y z 0 . （3）消去 x 得投影 x 0
a 2 2 2 a2 4
za
1 2
1 2 cos t
例3. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 .
x (t ) y (t ) ( t ) 绕 z 轴旋转 z (t )
解: 任取点 M 1 ( ( t ) , ( t ) , ( t )) , 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 M ( x, y, z ) , 则
z
S2
S1
例如,方程组
x y 1 2 x 3z 6
2 2
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
x
1 y
又如,方程组
z a2 x2 y2 2 2 ax 0 x y
表示上半球面与圆柱面的交线C.
z
o x
ay
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
思考题解答
2 y 2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
2 2 消去 z 得投影柱面 x y 1,
在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1 . z 0
z y2 思考题 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 x0 x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为 x cos t (0 t 2 ) y sin t z1 3 ( 6 2 cos t )
(2) 将第二方程变形为 ( x ) y , 故所求为 a xa 2 2 cos t ya (0 t 2 ) 2 sin t
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
t
o
x A
M

M
y
x a cos t y a sin t z vt
螺旋线的 参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos v y a sin ( t , b ) z b
螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比．即
: 0 0 ,
z : b 0 b 0 b ,
特别 2, 上升的高度 h 2b
螺距．
例2. 将下列曲线化为参数方程表示:
x2 y2 1 (1) 2 x 3z 6 z a2 x2 y2 ( 2) 2 2 ax 0 x y