江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

数学试卷
（1）单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） （1）ABC ∆的内角,,C A B 的对边分别为,,a b c ，若
,2,3,sin ()3
A a b
B π
=
===
A ．
B ．
C
D （2）为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，
其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为( ) A ．900 B ．1200 C ．1500 D ．1800
（3）某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是( ) A ．至少有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．恰有一次中靶
（4y
经计算得回归方程ˆy
bx a =+的系数0.7b =，则a =( ) A ．45.0 B ．45.0- C ．35.0- D ．35.0
（5）直线260ax y ++=与直线2
(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为( )
A ．2
B ．1-或2
C ．
5 D ．5
（6）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据
时，其中的两个数据记
录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，
重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则( ) A ．270,75x s =< B ．270,75x s =>
C ．270,75x s ><
D ．270,75x s <>
（7）P 是直线20x y +-=上的一动点，过点P 向圆2
2
C (2)(8)4x y ++-=：
引切线，则切线长的最小 值为( )
A ．
B ．
C ．2
D ．2
（8）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
222sin sin 2sin ,A B C +=则cos C 的最
小值等于( )
A B ．2 C ．12 D ．12
- （2）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分） （9）下列说法正确的是( )
A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)
B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-
C 10y ++=的倾斜角为60°
D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += （10）在ABC ∆中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( )
A ．若A
B <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <
C ．若A B >，则
11
tan 2tan 2A B
>
D ．若A B <，则22cos cos A B >
（11）以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13
B ．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
23
C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
536
D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12
（12）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距
离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P
满足
1
2
PA PB =．设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为22(4)9x y ++=
B ．在
C 上存在点
D ，使得D 到点(1,1)的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=
（3）填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（13）某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率为02.0，出现三级
品的概率为01.0，则出现正品的概率为______．
（14）已知,a b 为正实数且1a b +=，则
41
a b
+的最小值为______． （15）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)M --的圆C 和直线-10
x y +=相切，且圆心在直线
2 y x =上，则圆C 的标准方程为______．
（16）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆22
C ()(2)40x m y -+-=：
内，动直线过点P 且交
圆C 于,A B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是_____．
（4）解答题（本题共6小题，共70分） （17）（本小题满分10分） 已知直线:220l x y +-=． （1） 求直线1:2l y x =-关于直线l 对称的直线2l 的方程； （2） 求直线l 关于点(1,1)A 对称的直线方程．
（18）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+． （1） 求A 的大小；
（2） 若413a =，12c =，求ABC ∆的面积S ．
（19）（本小题满分12分）
高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,
[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]．其中,,a b c 成等差数列且2c a =．
物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 [50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
6
9
20
10
5
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一
个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．
（20）（本小题满分12分）
（1） 已知01x <<，求(1)x x -的最大值及取最大值时x 的值；
（2） 若对一切1x >，均有2
28(2)15x x m x m --≥+--成立，求实数m 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆2
2
2
:(0)O x y r r +=>相切． （1） 直线l 过点(2,1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；
（2） 已知直线3y =与圆O 交于,A B 两点，P 是圆上异于,A B 的任意一点，且直线
,AP BP 与y 轴
相交于,M N 点，判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，
说明理由．
（22）（本小题满分12分）
“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮
的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．
（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；
（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可以拍摄到效
果最好的照片，求建筑BC 的最低高度．
（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ）
答案
一、单项选择题
1.C
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.C
8.C
二、多项选择题
9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD
三、填空题
13. 0.97 14.9 15. ()()
22
122
x y
+++=16. (3,1][7,9)
--U
四、解答题（本大题共6题，共70分）
17. （本小题满分10分）
【解析】
（1）由
2
220
y x
x y
=-
⎧
⎨
+-=
⎩
解得交点P(2，0)．………………………………………1分
在l1上取点M(0，－2)，
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则
2
220
22
12
()1
2
a b
b
a
-
⎧
+⋅-=
⎪⎪
⎨
+
⎪-⋅=-
⎪⎩
，
解得
1214
(,)
55
N．………………………………………………………………………………4分
则
2
14
57
12
2
5
l
k
-
==
-
，
又直线l2过点P(2，0)，
所以直线l2的方程为7x－y－14＝0．…………………………………………………………5分（2）直线l关于点A(1，1)对称的直线和直线l平行，
所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0．……………………………………………………7分在l上取点B(0，1)，则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，
所以2210
m
+⨯+=，所以m＝－4，
即所求的直线方程为x＋2y－4＝0．……………………………………………...………… 10分18.（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为2cos2
a B c b
=+，
由正弦定理可得，2sin cos2sin sin
A B C B
=+，
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
sin sin(())sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin =+A B A B ，
代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =++，
所以2cos sin sin 0A B B +=．………………………………………………………………4分
因为sin 0B >，所以2cos 10A +=，即1
cos 2
A =-．…………………………………5分
由于0A π<<，所以23
A =π
．……………………………………………………………6分
（2）因为a =12c =，23A =π
所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
得2
2208144212cos 3
b b π=+-⨯，
解得4b =或16b =-（舍）. ……………………………………………….………………10分
所以112sin 412sin
223
S bc A π
==⨯⨯=……………………….………………… 12分 19.（本小题满分12分）
【解析】
（1）由于20.052,a b c ++=2,a c b +=2c a =，
解得0.008,a =0.012,b =0.016c =，…………………………..…………………………3分 故数学成绩的平均分
850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 117.8=（分）………………………………………………………………….………………6分
（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.
…………………………………………………………………………………………………...8分 设两科均为“优”的同学为123,,A A A ，物理成绩不是“优”的同学为B ， 则从4人中随机抽取2人的所有情况有：
12,A A 13,A A 23,A A 1,A B 2,A B 3A B ，
符合题意的情况有：12,A A 13,A A 23A A ， 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率31
62
P ==.…………………….……………………12分 20.（本小题满分12分） 【解析】
（1）因为01x <<，所以2(1)1(1)[
]24x x x x +--≤=，当且仅当1x x =-，即1
2
x =时等号成立．所以当12x =时，(1)x x -取最大值是1
4
．…………..……………5分
（2）不等式可等价转化为2
47(1)x x m x -+≥-对1x >恒成立，
即2471
x x m x -+≤-对1x >恒成立，
设()24(17
)1
x x x x g x -+=->，则min ()m g x ≤……………………………………...………7分
2247[(1)1]4[(1)1]74()(1)21(1)(1)
x x x x g x x x x x -+-+--++===-+----，………..…9分
因为1x >，所以10x ->
，所以4(1)222(1)x x -+
-≥=- （当且仅当3x =等号成立），所以min ()2g x =................................................................... 11分 所以2m ≤，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………12分 21.（本小题满分12分）
【解析】
∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切， ∴圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为
=………………….……………1分
（1）记圆心到直线l 的距离为d ，∴
2=．……………………………..………2分 当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；…………………………...……3分
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0．
∴2d =
=，解得k=﹣
3
4
，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0．………………5分 综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；………………………………………………6分 （2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．…………………………………………………… 7分 设P （x 1，y 1），
∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），
∴直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=
()11311y x x ---，y ﹣3=()113
11
y x x -++． 令x=0，得M （0，
11131x y x --），N （0，11
131
x y x ++）， ………………………………………9分
则221111112111339111
M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∴22
1110x y +=，即221110y x =-，
代入（*）式，得(
)22
1121910101
M N x x y y x --⋅==-为定值．………………………………12分
22.（本小题满分12分） 【解析】
（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即
45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒．在等腰三角形ABD
中，BD =…….…1分
由正弦定理得
sin105sin 30BD BC
=︒︒
，所以
12
BC =
=． 所以建筑BC
的高度为12（单位：10m ）．……………………………………… 5分
（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，
圆22
:(6)36M x y +-=，
由正弦定理可知
2sin 45h R =︒，所以22R h =，即PBC ∆的外接圆的半径为2
2
R h =．
由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，……………………………………7分
所以点P 在圆22
2:12,12222h h h N x y x ⎛
⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上，
而点P 又在圆2
2:(6)36M x y +-=上，
所以2
2
22612662222h h h h ⎛⎫⎛⎫
-≤-+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得24(32)24(32)
h -+≤≤
．.............................................................................................11分 答：建筑BC 的最低高度为
24(32)
7
（单位：10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片．
…………………………………………………………………………………………………12分。