奔驰定理、三角形四心及其向量关系

三角形中线向量式
A
AM 1（AB AC） 2
G
B
M
c
重心 的向量表达式
ABC中，G为ABC的重心，请用AB、AC表示 AG.
AG 2 AM 2 1（AB AC） 1（AB AC）
3
32
3
y
重心的坐标运算
ABC中，G为ABC的重心，A（x1, y1）、 O B（x2 , y2）、C(x3 , y3 ),求出点G的坐标.
点拨：由OP OA AB AC ,得AP AB AC
02
垂心及其向量关系
2
：三角形的垂心是三角形三边上的高
的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
性质： 直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
垂心的向量式
H是 ∆ ABC的垂心,则有以下结论：
1.HA HB HB HC HC HA
A
H
B
C
例2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP OA
AB AB COSB
AC
AC COSC
, 则P点的轨迹一定通过ABC的 D
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨：AP
AB AB COSB
AC AC COSC
的两边同乘以BC
A
变式1.若H为△ABC所在平面内一点，
→ →→ → →→ ③(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0。
则点 O 依次为△ABC 的( )
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
例题 6．设△ABC 外心为 O，重心为 G．取点 H，使
．
求证：（1）H 是△ABC 的垂心；
（2）O，G，H 三点共线，且 OG：GH=1：2．
动点P满足OP OA
AB
AC
（, [0, ）)
AB
AC
则P点的轨迹一定通过ABC的 B
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
例题 5、已知点 O 在△ABC 所在平面内，且分别满足下列关系式：
→→→ ①OA＋OB＋OC＝0；
→→
→→
AC AB
BC BA
②O→A·|A→C|－|A→B| ＝O→B·|B→C|－|B→A| ＝0；
解析 ①由O→A＝－(O→B＋O→C)＝－2O→D(其中 D 为 BC 边的中点)可知 O 为
→
BC
边上中线的三等分点(靠近线段
BC)，所以
O
为△ABC
的重心；②向量
AC →
，
|AC|
→ AB →
→→
→→
→
分别表示在AC和AB上取单位向量AC′和AB′，它们的差是向量B′C′，
|AB|
当O→A·
→ AC →
－
→ AB →
＝0,
即
OA⊥B′C′时，点
O
在∠BAC 的平分线上，同理由
|AC| |AB|
O→B·
→ BC →
－
→ BA →
＝0，知点
O
在∠ABC
的平分线上，故
O
为△ABC
的内心；
|BC| |BA|
→→ →→
→
③OA＋OB是以OA，OB为边的平行四边形的一条对角线，而AB是该平行四边形
→→ →
→→
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
O
点拨：取BC中点D，则OD OB OC.， 2
DP
AB AB COSB
AC AC COSC
（,
[0,）)
BC DP
AB BC AB cos B
AC AC
BC cos C
0
B
D
C
04
内心及其向量关系
4
：三角形的内心是三角形三条角平分
线的交点(或内切圆的圆心)。
性质： 1. 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2. r= 2S abc
， 3.在Rt△ABC中，∠C=90° r= a b c
2
内心的预备知识
问题：1、 a 的几何意义？ a
2、 a b 的几何意义？ ab
3、（ AB AC ）( 0) 的几何意义？
AB AC
是∠BAC平分线所在直线
且
2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB
,则H是∆ ABC
的 垂 心.
H
B
C
03
外心及其向量关系
3 三角形外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或 三角形外接圆的圆心)
性质： 到三角形三个顶点的距离相等
外心的向量式
O是 ∆ ABC的外心，则有以下结论：
1、OA OB OC
2
2
2
OA OB OC
2、OA OB AB OB OC BC OA OC AC 0
A
O
B
D
C
例3：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP
OB
OC
AB
AC
（, [0, ）)
2
AB COSB
AC
COSC
A
则P点的轨迹一定通过ABC的 A
A
2.AG 2GM
3.PG 1 (PA PB PC)
3
B
4.AP (AB AC), 0, ,则P一定经过三角形重心
G
M
C
E
例1 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP OA AB AC ,则P点的轨迹一定通过ABC的C
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
内心的向量式
P是 ∆ ABC的内心，则有以下结论：
A
1. AB PC BC PA CA PB 0(或aPA bPB cPC 0,
c
b
其中a、b、c分别是ABC三边BC、AC、AB的长)
P
2.AP
AB
AC
（, [0, ）),则P一定经过三角形内心
B
a
C
AB
AC
例题4：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
的另一条对角线，AB·(OA＋OB)＝0 表示这个平行四边形是菱形，即|OA|＝|OB|，
→→ 同理有|OB|＝|OC|，于是 O 为△ABC 的外心。
分析：法1：OG 2 AM OA 3
法2：利用课本第100页探究的结论
当P1P
PP2时，点P的坐标为xP
x1 x2 1
,
yP
y1 y2 1
xG
x1
x2 3
x3
, yG
y1
y2 3
y3
A
G
B
M
x
c
重心的向量式
设G是 ∆ ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下常用结论：
1.GA GB GC 0
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目录
CONTENTS
1 知识链接
2
重心
3
来自百度文库垂心
4
外心
5
内心
6
奔驰定理
7
总结
01
重心及其向量关系
1 三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
性质： (1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3)重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 (4)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数