5-高等数学实验-1

第1章函数与极限—设计性实验 【实验内容】 某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与 土豆产量的影响，做了十次实验，实验数 据见表1，其中ha表示公顷，t表示吨，kg 表示千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产 量之间的关系。
第1章函数与极限—设计性实验
表1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据
施肥量 x(kg/ha) 产量 y(t/ha) 0 34 67 25.72 101 32.29 135 34.03 202 39.45 259 43.15 336 43.46 404 40.83 471 30.75
f ( g ( y )) =
1 sin 2 y + 1
第1章函数与极限--验证性实验 2．求下列函数的反函数
（1） (1) >> syms x >>y=1/tan(x); >> g=finverse(y) 运行结果： g= atan(1/x) 1 由上述结果可知：y = tan x
y= 1 tan x
第1章函数与极限--验证性实验
【实验内容】 】 1．求下列函数的复合函数 (1) f = 1 , g = sin y ，求
1+ x2
f ( g ( y ))
【实验过程】 】 1.（1）>>syms x y >> f=1/(1+x^2); >> g=sin(y); >> compose(f,g) 运行结果： ans = 1/(sin(y)^2+1) 由上述结果可知：
第1章函数与极限--验证性实验
运行结果：
图1-2 指数函数图
第1章函数与极限--验证性实验
2.利用图形命令画出下列函数的图形 （1） y = 3 x 2 − x 3 x ∈ [−5,5] ; >>x=-5:0.01:5; >>y=3*x.^2-x.^3; >>plot(x,y);
第1章函数与极限--验证性实验
第1章函数与极限—设计性实验
(该方程组称为法方程组)，将实验数据(xi,yi)代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492 即拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2 从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？ 一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并 不是次数越高越好。现在提高拟合次数，将基函数由1，x， x2修改为{1，x，x2，x3}(三次拟合)，{1，x，x2，x3，x4}(四次 拟合)……，得到拟合图1-5至图1-9。 从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合 的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本 例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好 了，拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2
的反函数为
g = arctan
1 x
第1章函数与极限
设计性实验
实验一 数据拟合问题 实验二 复利问题
第1章函数与极限—设计性实验
实验一 数据拟合问题
【实验目的】 1.加深对函数基本概念的理解； 2.讨论了函数的实际应用问题； 3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令。 【实验要求】 掌握函数基本知识，Matlab软件
1 − cos x lim x → 0 x sin x
(2)
第1章函数与极限--验证性实验 （2）>>syms x
>> limit((1-cos(x))/(x*sin(x)),x,0) 运行结果： ans = 1/2
第1章函数与极限--验证性实验
实验三 复合函数与反函数
【实验目的】 】 1.了解简单函数与复合函数的关系，理解能构成复合函数的 条件，掌握如何求几个函数的复合函数； 2.掌握函数的反函数概念，会求函数的反函数。 【实验要求】 】 熟悉Matlab中求复合函数的命令compose，以及求反函数 的命令finverse。
第1章函数与极限--验证性实验
运行结果：
图1-1 幂函数图
第1章函数与极限--验证性实验
（2）
1 x y = 2 , y = 10 , y = ( ) , y = e x 3
x x
>> x=linspace(-1,1,60); >>y1=2.^x;y2=10.^x;y3=(1/3).^x;y4=exp(x); >>plot(x,y1,‘-’,x,y2,‘:’,x,y3,'*',x,y4,'--');
的图形
第1章函数与极限--验证性实验
实验二 函数的极限
【实验目的】 】 1.熟悉函数极限的概念； 2.掌握求各种类型函数的极限的方法； 3.会用Matlab命令求函数极限。 【实验要求】 】 熟悉Matlab中求极限的命令limit
第1章函数与极限--验证性实验
【实验内容】 】 1.计算下列极限 (1) lim sin ax x → 0 sin bx 【实验过程】 】 （1）>> syms x a b >> limit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0) 运行结果： ans = a/b
min{w = ∑ ( f ( xi ) − yi ) }
i
多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来 进行数据拟合。 可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组 数据(即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验 公式)，此时偏差平方和函数为 n
w = ∑ (a0 + a1 xi + a2 xi2 - yi ) 2
第1章函数与极限—设计性实验
【实验方案】
设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即 储户结算频率为n)，每期利率为r/n，存期为t 年。 依题意，第一期到期后利息为 本金*利率=p*r/n 第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)
第1章函数与极限—设计性实验 因规定按复利计息，故第二期开始时的本金 为p(1+r/n)， 第二期到期后的利息应为 本金*利率= p(1+r/n)*r/n 第二期到期后的本利和是 本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2 ……，
i =1
其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W 最小，需要 n a + a ∑ x + a ∑ x = ∑ y
n n n 0 1 i 2 i i =1 i =1 i =1 n n n n 2 3 a 0 ∑ x i + a1 ∑ x i + a 2 ∑ x i = ∑ x i y i i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n 2 3 4 2 a 0 ∑ x i + a1 ∑ x i + a 2 ∑ x i = ∑ x i y i i =1 i =1 i =1 i =1 2 i
数学实验 高等数学分册-1 高等数学分册
数学实验 第5.1章 函数与极限
第1章函数与极限
验证性试验
实验一 函数图形 实验二 函数的极限 实验三 复合函数与反函数
第1章函数与极限--验证性实验
实验一 函数图形
【实验目的】 】 1.了解基本初等函数及图形特征，会用Matlab图形 命令画图； 2.会画复合函数、参量函数及分段函数的图形。 【实验要求】 熟悉Matlab图形命令plot 】
第1章函数与极限—设计性实验 【实验内容】
复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是 一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济 的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限 将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、 日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子 商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个 储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于 无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意 味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利 问题。
15.18 21Baidu Nhomakorabea36
【实验方案】 设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和 x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数 关系，则问题就转化为已知数据点(xi,yi)位置关系， 寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。
所谓数据拟合，就是从一组实验数据点(xi,yi)出发， 寻找函数y=y(x)的一个近似表达式y=f(x)(称为经验 公式)。从几何上看，就是希望根据给定的这些数 据点(xi,yi) ，求曲线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。 近似曲线y=f(x)不必过每一个数据点，但如果近似 曲线的效果要好的话，那么数据点 (xi,yi)离近似曲 ) 线的距离应该尽量小。用偏差平方和函数来刻画 近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲 线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满 足 。 2
运行结果：
y= 图1-3 函数的3x
2
− x3
图形
第1章函数与极限--验证性实验
（2） y = cos 4 x >>x=-pi:0.01:pi; >>y=cos(4*x); >> plot(x,y);
x ∈ [−π , π ]
;
第1章函数与极限--验证性实验
运行结果：
y 图1-4 函数 = cos 4 x
若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存 10万元的人民币，如果银行允许储户在一 年内可任意次结算，在不计利息税的情况 下，由于复利，显然这比一年结算一次要 多，因为多次结算增加了复利。结算越频 繁，获利越大。连续复利会造成总结算额 无限增大吗？随着结算次数的无限增加， 一年后该储户是否会成为百万富翁？
第1章函数与极限—设计性实验
【实验过程】 >>clear x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471]; y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]; p=polyfit(x,y,2); disp([num2str(p(1)),'*x^2+',num2str(p(2)),'*x+',num 2str(p(3))]); xx=linspace(0,471,100); yy=polyval(p,xx); plot(x,y,'r*',xx,yy)
第1章函数与极限—设计性实验
运行结果：
图1-5 二次拟合
图1-6 三次拟合
图1-7 四次拟合
图1-8 五次拟合
第1章函数与极限—设计性实验
图1-8 八次拟合
第1章函数与极限—设计性实验
实验二
复利问题
【实验目的】 1.加深对函数极限概念的理解 2.讨论极限在实际问题中的应用 3.会用Matlab命令求函数极限 【实验要求】 掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命 令limit
第1章函数与极限--验证性实验
【实验内容】 】 1.利用图形命令分别在同一坐标系下画出下列基本初等函数 的图形，并观察图形特征 y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = x 4 （1） 【实验过程】 】 1.（1）>>x=-1:0.01:1; y1=x;y2=x.^2;y3=x.^3;y4=x.^4; plot(x,y1,'-',x,y2,':',x,y3,'*',x,y4,'--'); gtext('y=x'),gtext('y=x^2'),gtext(‘y=x^3’),gtext(‘y=x^4’)
第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n 存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为 p(1+r/n)tn 随着结算次数的无限增加，即在上式中n→∞,t=1 年后本息共计 n lim100000 r/n） ≈10.6184(万元) （1+ n →∞ 随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳 定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百 万富翁。
第1章函数与极限—设计性实验 实际上，若年利率为r，一年结算无限次， 总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。 它表明在n→∞时，结果将稳定于这个值。 而且用复利计息时，只要年利率不大，按 季、月、天连续计算所得结果相差不大。
第1章函数与极限—设计性实验
【实验过程】 >> syms n >> a=limit(100000*(1+0.06/n)^n,n,inf) a= 100000*exp(3/50) 一年结算无限次，总结算额有上限为 >> syms n r >>a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf) a= 100000*exp(r)