线性系统的稳态误差计算

21:37
2 误差的两种定义
输入端定义：输入信号与反馈信号之差为作用误差。
E ( s ) R( s ) B( s ) R( s) H ( s)C ( s)
21:37
输出量的理想值：
E ( s) 0时，R( s) H (s)C (s) 0 C ( s) R( s ) H ( s)
21:37
Ka 0
Ka 0
Ka K
ess
ess
1 ess K
3
Ka
ess 0
结论
1 、 0 型和 1 型系统在稳态时，不能跟踪加速度输 入信号，最后误差为∞。 2、具有单位负反馈的2型系统可以跟随加速度输 入信号，但有一定的误差(稳态加速度误差) 1 。
讲授技巧及 注意事项
21:37
表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。
稳定性、动态性 能和 稳态 性能 是我 们 分析 系统 、 评 价系 统 和改 善系 统时 所用 的 三类重要衡量标准。
21:37
稳态误差是描述系统稳态性能 的性能指标。对于稳定的系统，暂 态响应随时间的推移而衰减，若时 间趋于无穷时，系统的输出量不等 于输入量或输入量确定的函数，则 系统存在稳态误差。稳态误差是系 统控制精度或抗扰动能力的一种度 量。
s 1 1 ess lim lim 2 3 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s s 0 s G ( s ) H ( s )
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) ——加速度误差系数
s 0
1 ess Ka
K a lim s G (s ) H (s ) lim
e ss R 1 KP
r ( t ) Rt
ess R KV
∞
Kp
K ∞ ∞ ∞
Kv
0 K ∞
Ka
0 0 K ∞
2 Rt r (t ) 2 e ss R Ka
加速度输入
R (1 K )
0 0 0
∞ ∞
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
R K
0 0
R K
0
∞
减小或消除误差的措施：增加开环增益 K 、提高系统的型别 n 。
K
3 、具有单位负反馈的 3 型或 3 型以上的系统可以 准确跟踪加速度输入信号，稳态误差为0。 要准确跟踪加速度输入信号，必须采用 3 型及以 上系统。
21:37
Linear Simulation Results 6000
5000
4000
Amplitude
3000
2000
1000
0
0
10
20
30
21:37
三 典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和稳 态误差系数(Kp、Kv、Ka)
1、单位阶跃输入作用下的稳态误差 将R(s)=1/s代入ess
s 1 1 ess lim lim s 0 1 G ( s ) H ( s ) s s 0 1 G ( s ) H ( s )
K p lim G ( s ) H ( s ) ——位置误差系数
21:37
Step Response 1.8
1.6
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
G1 ( s )
1 s 1 1 G2 ( s) s( s 1)
step(feedback(tf(1,[1 1]),1))
step(feedback(tf(1,conv([1 0],[1 1])),1))
2 s 0 s 0
21:37
K ( i s 1)
i 1 n j 1
m
s 2 (T j s 1)
K lim 2 s 0 s
K a lim
s 0
K s 2
1 ess Ka
0型系统： 0 1型系统： 1 2型系统： 2 2型以上 系统：
K K v lim 1 s 0 s
1 ess Kv
0型系统： 0
1型系统： 1 1型以上 系统：
Kv 0
Kv K
ess
1 ess K
2
Kv
ess 0
21:37
结论
1、0型系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号， 最后误差为∞。 2、具有单位负反馈的1型系统可以跟随斜坡输入， 1 e 但有一定的误差(稳态速度误差) 。 K
s4 1 100 10 3 10 s3 3 s
2
由劳斯表
29
知系统稳定。
s1 281 s0 3
21:37
(2)求稳态误差
开环增益K=0.1 系统型别υ=2
G(s)
10(2s 1) s 2 ( s 2 6s 100)
注意要化 成尾1形式
当 r1 (t ) 2 时， ess1 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) ——速度误差系数 s 0
1 ess Kv
K v lim sG (s ) H (s ) lim
s 0 s 0
21:37
K ( i s 1)
i 1 n j 1
m
s 1 (T j s 1)
K lim 1 s 0 s
21:37
例1 已知单位反馈系统的开环传递函数，求输入为 r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。
10(2s 1) G(s) 2 2 s ( s 6s 100) 解：(1)列劳斯表判断系统的稳定性
系统特征Βιβλιοθήκη Baidu为： D(s) s4 6s3 100s2 20s 10
12
10
8
Amplitude
6 4 2 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5 Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
响应时间为5s时的响应曲线
（从图中可以看出3型系统跟踪输入信号的能力很强）
21:37
系统型别、静态误差系数与输入信号之间的关系
型 别 n 0 阶跃输入 静态误差系数 斜坡输入
1(t ) r ( t ) R×
R(s) G(s) E (s) H (s)
1 E (s) R( s) 1 G( s) H ( s)
e ( s ) R( s )
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G ( s) H ( s)
21:37
——系统误差传函

稳态误差ess
暂态误差
稳态误差
零点漂移、老化 及机械间隙、摩 擦
21:37
给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和
扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入 量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性 能。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的 影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。
Amplitude
System: g2 Time (sec): 10 Amplitude: 9
5
0
0
5 Time (sec)
10
15
21:37
1 G1 ( s ) s 1
G2 ( s)
1 s( s 1)
G3 ( s)
2s 1 s 2 ( s 1)
3、单位加速度输入作用下的稳态误差 将R(s)=1/s3代入ess
第三章 时域分析法
第六节 线性系统的稳态误差计算
21:37
3-6 线性系统的稳态误差计算 项目 内容
理解误差与稳态误差的概念，掌握计算方法和计
稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
教 学 目 的 算结果，熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教 学 重 点 误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。 教 学 难 点 减小或消除稳态误差的措施。
40
50 Time (sec)
60
70
80
90
100
1 G ( s) 0.05 G1 ( s ) 2 s( s 1) s 1 21:37
G3 ( s)
0.004(8s 1)(4s 1) s 2 (6s 1)
G4 ( s )
( s 1)( s 2) s3
Linear Simulation Results 14
21:37
二 系统的类型(开环传函中串联积分环节的数目)
B( s) G( s) H (s) R( s) K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
注意： 尾1形式
0,0型系统
2, 2型系统
1,1型系统
3, 使系统稳定相当困难，一般很少采用。
21:37

如果系统承受的输入信号是多种典型信号的组合
1 r (t ) R01(t ) R1t R2t 2 2
由叠加原理知稳态误差
R0 R1 R2 ess 1 K p Kv K a
至少选用2型系统，否则稳态误差为∞。 选择高型别系统可以较准确地跟踪输入信号，但在系 统的动态性能要求上不易满足。
step(feedback(tf([2 1],conv([1 0 0],[1 1])),1))
21:37
G3 ( s)
2s 1 s 2 ( s 1)
2、单位速度输入作用下的稳态误差 将R(s)=1/s2代入ess
s 1 1 ess lim 2 lim s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 sG ( s ) H ( s ) s
21:37
一 误差和稳态误差
1 稳态误差的分类

给定信号或 扰动信号 三种典型 外作用
原理性稳态误差和结构性稳态误差 原理性稳态误差：控制系统由于系统结构、 输入的作用类型和形式所产生的稳态误差。 结构性稳态误差：控制系统由于非线性因素 所引起的系统稳态误差，称为结构性稳态误差 (附加稳态误差)。 元件的不灵敏、
s 0
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m

ess 0
21:37
结论
1 、 0 型系统对阶跃输入的稳态误差为一定值 ， 1 误差的大小与系统的开环放大系数 K成反比，K越 1 K 大， ess 越小，只要 K 不是无穷大，系统总有误差 存在。 2、具有单位负反馈的 1型系统可以准确跟踪阶跃 输入信号，稳态误差为0。 要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用 1 型及以上 系统。
ss
3 、具有单位负反馈的 2 型或 2 型以上的系统可以 准确跟踪斜坡输入信号稳态误差为0。 要准确跟踪速度输入信号，必须采用 2 型及以上 系统。
21:37
Linear Simulation Results 15
Input: In(1) Time (sec): 10 Amplitude: 10 10
e(t ) ets (t ) ess (t )
lim ets (t ) 0
t
ess lim ess (t )
t
ess lim e(t ) lim[ets (t ) ess (t )] lim ess (t )
t t t
由终值定理：
sR( s) ess lim e(t ) lim sE (s) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
s 0
1 ess 1 K p
21:37
0型系统：
K p lim G ( s) H ( s) lim
s 0 s 0
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
ess
K
1 1 K p
ess
1 1 K
1时：
K p lim
两种误差之间的关系
E ( s) C ( s) C ( s) R( s ) B( s ) E ( s ) H ( s) H ( s) H ( s)
21:37

作用误差简称误差，记作E(s)或e(t)
E ( s ) R( s ) B( s )
R( s ) C ( s ) H ( s )
输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为 系统误差。
R( s )
1 C ( s ) H ( s)
E ( s )
－
G( s) H ( s)
C (s)
R( s ) E ( s) C ( s) C ( s) C ( s) H ( s)
21:37
两种误差的比较
从输入端定义的误差在实际的物理系统中可 以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从 输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测 量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。