教师版-高中数学知识手册：选修4-2矩阵与变换

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选修4-2—矩阵与变换 选修4-2数学知识点

矩阵与变换

1．矩阵：用A ，B ，C ，…或（ij a ）表示矩阵.(其中j i ,分别元素ij a 所在的行和列).

2．零矩阵：所有元素都为0的矩阵.

3．矩阵相等：对于矩阵B A ,,行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等时，B A =.

4．二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡0220210120110022211211y a x a y a x a y x a a a a

5．平面变换：①矩阵乘法形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x d c b a y x y x T :②坐标变换形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x T : （1）恒等变换矩阵(单位矩阵)：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=1001

E ，单位矩阵把平面上任意一点（向量）或图形变成自身. （2）伸压变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001沿着y 轴方向的伸压变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡100

k 沿着x 轴方向的伸压变换. （3）反射变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--1001 将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形. （4）旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos M 绕定点作逆时针旋转θ的旋转变换. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθk k k k M k cos sin sin cos

. （5）投影变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001

，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 将平面内图形投影到某条直线（或某个点）. （6）切变变换矩阵：⎥⎦⎤⎢

⎣⎡101 k 把平面上的点),(y x P 沿x 轴方向平移||ky 个单位. 6．矩阵乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡22221221212211

2122121211211211112221121122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a （1）矩阵乘法MN 的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换（先N T 后M T ）的复合变换

（2）)(M n M M M M n 个共⋅⋅⋅=

（3）矩阵乘法的性质：

① BA AB ≠(不具有交换律)；②)()(BC A C AB =(满足结合律)；③AC AB =≠＞C B =(不具有消去律)．

7．逆矩阵：对于二阶矩阵，若E BA AB ==，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．

（1）可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A (0≠-bc ad )的逆矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A 1． （2）可逆矩阵积的逆矩阵：111)(---=A B AB ；二阶矩阵A 可逆，且AC AB =，则C B =．

8．二阶行列式： d c b

a 的运算结果是个数值：bc ad d

c b a A -== )det(． （1）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax 的解：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==D D y D D x y

x ，其中d c b a D =，d n b m D x =，n c m a D y =． （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，可记作矩阵方程B AX =，即⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m y x d c b a ，则B A X 1-=．

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9．特征值与特征向量：

设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得λ=A ，那么λ称为A 的一个特征值，而称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．

几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上．0>λ方向不变；

0<λ方向相反；0=λ，特征向量就被变换成零向量．

代数方法：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征多项式：bc d a d c b a f ---=----=))(()(λλλλλ ． 例：已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα． 解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3

101

λλ--+=(3)(1)λλ-+， 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-．当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦

； 当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩

,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

． 10．多次变换的计算:设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα，则任一向量β可表示为：21ααβn m +=，则)()()()()(22112121αλαλααααβt t t t t t n m A n A m n m A A +=+=+=．

例: 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4121A ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=47α ， (1) 求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α 、2α ；(2) 求α 5A 的值．

解：(1) 矩阵A 的特征多项式为)3)(2(654

121)(2--=+-=---=λλλλλλλf ， 令0)(=λf ，得21=λ或32=λ,

将21=λ代入⎩⎨⎧=-+=--0)4(02)1(y x y x λλ，得⎩⎨⎧=-=-0202y x y x ，属于特征值2的一个特征向量为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=121α ； 同理32=λ对应的特征向量为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=112α ．

(2) 由21ααα n m +=得⎩

⎨⎧=+=+472n m n m ，求得3=m ，1=n ．因此 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=+=+=+=339435113122333)3(5525215125152155αλαλααααα A A A A ．