1相交线.学生版

知识点
1.相交直线的概念及性质
如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．
4
3
2
1
D
C
B A
2.邻补角的概念：
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

3.对顶角的概念及性质：
（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可
以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.
（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4.垂线的概念及性质：
（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足.
如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”
D
C
B
A
（2）垂线的性质：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 相交线
5.同位角、内错角、同旁内角的概念：
①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第
三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线
的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的
一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.
876
54
321F
E D C
B
A
看图识角：
（1）“F ”型中的同位角.如图.
F
M
N
D
B
F M N
C
A
M
N
D
B E
M
N
E
C
A
（2）“Z ”字型中的内错角，如图.
N
M
D
A
N
M B C
（3）“U”字型中的同旁内角.如图.
N
M
C
A
M
N
D
B
一、对顶角与邻补角
【例1】 判断正误：
（1）三条直线两两相交有三个交点（ ） （2）两条直线相交不可能有两个交点．（ ）
（3）在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3．（ ）
（4）同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得()1
12
n n -个交点．（ ）
（5）同一平面内的n 条直线经过同一点可得()21n n -个角（平角除外）．（ ）
【例2】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？
【例3】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（）
A、20°
B、40°
C、50°
D、80°
【例4】以下说法正确的是（）
A、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角
B、两条直线相交，任意两个角都是对顶角
C、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D、两角的两边分别在同一直线上，这两个
角互为对顶角
【例5】下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、0个
【例6】若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（）
A、54°
B、81°
C、99°
D、162°
【例7】如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
【例8】如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=20°，求∠BOE的度数．
【例9】当光线射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图所示，插入水中的筷子变弯了，就是一种折射现象，图中的∠1和∠2是对顶角吗？比较∠1与∠2的大小关系并说明理由．
【例10】直线AB，CD相交于点O，∠BOC=40°．
（1）写出∠BOC的邻补角；（2）求∠AOC，∠AOD，∠BOD度数．
【例11】小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．
二、垂直于垂线
【例12】 下列说法中正确的是（ ）
①点到直线的距离是点到直线所作的垂线; ②两个角相等，这两个角是对顶角;
③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直; ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短. A.①② B. ②③ C.③④ D.②④
【例13】 如图，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线
段DB 的长为点 到直线 的距离．
图1
D C
B
A
【例14】 直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，65DOF ∠=°，求BOE ∠和AOC ∠的度数．
【例15】 如图，在直角三有形ABC 中，90C ∠=°，CD AB ⊥于D ，比较线段AC 、AB 、CD 的大小．
图1D
C
B
A
【例16】 如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处，
①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？
图2 A
B
C
O
【例17】如图，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短?画图表示，并说明设计的理由。

【例18】如下图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE.
现有一辆装满货物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？
E D C
B A
三、三线八角
【例19】 如图，填空：
①1∠与2∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ②1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ④3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ⑤5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
图1
l 3
l 2l 1654321
【例20】 如图，找出图中用数字标出的角中的同位角、内错角和同旁内角．
87
65
12
图2
4
3
【例21】 用数码标出图中与1∠是同位角的所有角．
7b
a 654
3
2
1
l 3
l 2l 1
【例22】 下列图中∠1和∠2是同位角的是（ ）
(1)
21
(2)
1
2(3)
1
2(4)
1
2(5)
2
1
A.⑴、⑵、⑶
B.⑵、⑶、⑷
C.⑶、⑷、⑸
D.⑴、⑵、⑸
【例23】 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠4；⑵∠2与∠6；⑶∠5与∠8；⑷∠4与BCD ∠；
⑸∠3与∠5.
F E
D
C B
A 8
765
4
3
21
【例24】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？
123
4
图1
C
E
B D
A
【例25】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？
G
H 图2F 43
21C
E
B D
A
【例26】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？
M
G H 图3
F 43
21
C
E
B D
A
【例27】 如下图，图中与∠1 成同位角的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
l 2
l 1
c
b a 1
【例28】 下图有 对内错角．
N
M
G F
E D C B
A
【例29】 若平面上有4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对.
1.如图，当光线从空气射入水中，光线的传播发生了改变，这就是折射现象．∠1的对顶角是（ ）
A 、∠AO
B B 、∠BO
C C 、∠AOC
D 、都不是
2.PB L ⊥P 为直线外一点，点A B C 、、为L 上的三点，且PB L ⊥，那么下列说法错误的是（ ） A.PA 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B.线段PB 叫做点P 到直线的L 的距离 C.PB 是点P 到L 的垂线段
D.线段AB 的长是点A 到PB 的距离
L
P
C
B
A
课后作业
3.如下图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有 对.
A B C
D
E F G
H
4.找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．
5
34
21B
D A C。