人教版五年级上册数学植树问题封闭图形的植树问题

棋盘的最外层每边能放19个棋子。
最外层一共可以摆放多少棋子？
18×4＝72
你 还 有 其 它 方 法 吗 ？ 试 试 看 ！
19
17
19×2＋17×2＝72
17
19
19×4-4=72
分析:每边看作17个,有4边, 再加上四个角的4个. 17×4＋4 =68＋4 =72（个）
方法一： 黑色棋子＋白色棋子=可以摆的棋子
6＋4×9 =6＋36 =42（人）
或者ຫໍສະໝຸດ Baidu坐10个4,再加上2
4×10＋2 =40＋2 =42（人）
50
方法一:
38人减去2人,每张坐4人. （38－2）÷4 =36÷4 =9（张）
方法二: 一张坐6人,其他坐4人
（50－2）÷4 =48÷4 =12（张）
（38－6）÷4＋1 坐4人的张数 1张坐6人 =32÷4＋1 =8＋1 =9（张）
最外层每边摆 5个，4角都摆， 最外层一共可 以摆多少个棋 子？
5－1=4（个） 4×4=16（个）
最外层每边摆 6个，4角都摆， 最外层一共可 以摆多少个棋 子？
6－1=5（个） 4×5=20（个）
探究 每边 每边 最外 总数与间隔 间隔数与个数 放的 间隔 边数 层总 数、边数关 关系 个数 数 数 系 （3－1）×4＝8 2 3-1=2 4 3 8 4 12 4-1=3 4 3 (4-1) ×4=12 5 6 …
50÷2＝25（盆） 答：一共需要25盆花。
典型题——封闭1
12.一个圆形的跑道400米，如果每隔 40 × 20=800 （米） 10米竖一块警示牌，共需要多少块 警示牌？ 答：水池的周长是800米。 400÷10=40（块） 13.一个圆形水池周围每隔20米栽一 答：共需要40块警示牌。 棵柳树，共栽了 40棵，水池的周长 是多少？
（10－1）×4=36（棵）
或：10×4－4＝36（棵） 答：四边共种36棵树。
典型题——封闭2
• 15.在一个正六边形的池塘周围种树， 每边种10棵，共种多少棵？
（10－1）×6=54（棵）
或：10×6－6＝54（课） 答：四边共种54棵树。
1、在一块正方形水泥地上玩游戏，水泥地四边插上彩旗 （每个角都要插上），每边插11面，一共要多少面彩旗？ 分析： 每边插11面相当于有11棵树，也就有10个间隔， 封闭线路上有几个间隔就有几棵树。 所以： 间隔数×4=棵数 或：每边看作11面，有4面重复 间隔数×4=面数 11×4－4 =44－4 10×4= 40（面） =40（面） 两边有11面，两边有9面 四边看作9面，再加上四个角的4面 11×2＋9×2 9×4＋4 =22＋18 =36＋4 =40（面） =40（面）
4×2+3×2=14
4×4=16
社区有一块正五边形水池，每 边都摆5盆花，五个角各摆一 盆，一共需要多少盆花？
最少需要15盆花
五个顶点不摆
五个顶点处要摆
只摆一个顶点
方法一：
方法二：
方法三：
5×4=20（盆）
5×3=15（盆）
4×4+3=19（盆）
在正八边形 花坛的每边 摆3盆花。 花坛一圈一 共可以摆多 少盆花？ 3×8=24（盆） 3×8-8=16（盆）
4
5 5-1=4 6-1=5 4 4 16 20 （5-1）×4=16 （6-1）×4=20
…
18
…
19-1=18
每边的间隔数=每边的个数-1
…
4
…
72
…
（19-1）×4=72
19
我发现的规律：
最外层的总数=每边的间隔数×边数
我的发现
每边的棋子数-1＝ 每边的间隔数
每边的间隔数×边数＝ 最外层的总数 （每边棋子数－1）×边数＝ 最外层的总数
120÷10＝12（棵）
答：一共要栽12棵树。
交流探究
两头种
100米 棵数＝间隔数＋1
60米 棵数＝间隔数－1
35米 棵数＝间隔数 棵数＝间隔数
1.“植树问题”有几种类型？ 每种类型中棵数和间隔数什么关系？ 2. 你能把这几种清况分分类吗？说说你是 怎样想的。
1. 圆形滑冰场的一周全长是150m。 如果沿着这一圈每隔15m安装一灯， 一共需要装几盏灯？ 150÷15＝10（盏） 答：一共需要装10盏灯。 问题： 1. 用你喜欢的方法，解决这个问题。 2. 你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。 3. 还有不同的想法吗？
一个方阵的最外层每边站了5人。 这个方阵的最外层一共站了多少人？
5 学习要求： ①在学具纸上圈一圈，要 求能让人一眼就看出你是 怎么想的。 ②把你的想法用算式表示 出来。 ③把你的想法和同桌交流 交流。再想想看还有没有 不同的算法。
5
一个方阵最外层每边站5人。最外层一共站多少人？
4×4 = 16（人）
围 棋 棋 盘 最 外 层 每 边 能 放
整 个 棋 盘 一 共 能 摆 多 少 个 棋 个 子 棋 ？ 子
19
19×19＝361（个）
我会运用规律 一个四边形，每个顶点都摆一个， • 1.如果最外层每边能放100个，最外层一 共可以摆放多少个棋子？（100-1）×4=396 • 2.如果最外层每边能放200个，最外层一 共可以摆放多少个棋子？（200-1）×4=796 • 3.如果一个五边形，怎么算？一个三角 形呢？
上几节课我们探索并认识了不封闭的线路上 植树，间隔排列中物体个数和间隔 个数之间 的关系。这节课，我们在探讨封闭线路上间 隔排列中的简单规律。
像长方形、正方形、三角形、圆形等图形上都有封闭线路
点数是（３），
间隔数是（３）。
点数是（ 4 ），
间隔数是（ 4 ）。
点数是（ 6 ）， 间隔数是（ 6 ）。
5×4－ 4 = 16（人）
3×4 + 4=16（人）
5×2 + 3×2=16(人)
一个方阵最外层每边站8人。最外层一共站多少人？
7×4 = 28
最外层每边摆 3个，最外层 一共可以摆多 少个棋子？
3×4－4=8（个） 2×4=8（个）
8个
最外层每边摆 4个，4角都摆， 最外层一共可 以摆多少个棋 子？ 4－1=3（个） 3×4=12（个）
我会思考：
四<1>班同学准备开联欢会。大家围坐在一起，如果每边 做14人，（如下图），这个班一共有多少个同学？每边 都有8张课桌，一共要多少张课桌？
两张并起来坐,就坐 1个6人,1个4人. 6＋4=10（人）
三张并起来坐,就坐 1个6人,2个4人.
6＋4×2 =6＋8 =14（人）
10张并起来坐,就是坐1个6人,9个4人.
？
√
（3-1）×8=16（盆）
√
方法：（48－4）÷4+2=13（名）
方法：48÷4+1=13（名）
答:每边各有13名学生。
请你参加
12名学生在操场上 做游戏，大家围成一个 大正方形，每边人数相 等。四个顶点都有人， 每边各有几名学生？
1、左下图四边共放16盆花，每边5盆，使每边放4盆， 应该怎样移动？请画在右下图中（一个圆点表示一盆花）
（1）15－1＝14（个） 14×4＝56（名）
（2）15×15 =225（名）
答：最外层一共有56名学生，整个方阵一共有225名学生。
8×4－4 =32－4 =28（盆）
（8－1）×4 =7×4 =28（盆）
（8－2）×4＋4 =6×4＋4 =24＋4 =28（盆）
答:最外一层一共摆28盆.
（4-1）×4=12
19×2 ＋ 17×2 =38＋34 =72（个） 方法二： 每边的个数×4边=可以摆放多少个 18 × 4 = 72（个） 方法三： 每边能放个数×4－重复的4个=可以摆放的棋子 19×4－4 =76－4 =72（个） 17×4＋4 方法四: 分析:每边看作17个,有4边, =68＋4 =72（个） 再加上四个角的4个.
你来解决
为迎接六一，学校举行团体操 表演。四年级学生排成方阵，最外 层每边站9个人，最外层一共有多 少名学生？ 整个方阵一共有多少名学生？
典型题——方阵
16.学校图书馆前摆了一个方阵花坛， 这个花坛的最外层每边各摆放12盆 花，最外层摆了多少盆花？这个花 坛一共要多少盆花？
求最外层棵数等同于求封闭棵数 棵数＝每边间隔数×边数：（12－1）×4 棵数＝每边棵数×边数－边数：12×4 －4 求一共 棵数＝每边棵数×每边棵数：12×12
拓展思维
如果是一个三角形，或者是 五边形，你会怎么算？
● ● ● ● ● ● ●
●●●●
下列空心队列，每边站6人，各顶点都 只站一人。一圈最少需要站多少人？
（6－1）×3 = 15
（6－1）×6 = 30
（6－1）×10 = 50
典型题——封闭2
14.在一个正方形的池塘四边上种 树，每边种10棵，四边共种多少 棵？
猜谜语
十九乘十九，黑白两对手，
有眼看不见，无眼难活久。 （打一棋类名称）
谜底：围棋
导入
同学们，你们有会下象棋 的吗？估计有的同学会下， 可是，你会下围棋吗？可 能有些同学不但不会下， 连围棋是什么都不知道！ 今天就请同学们和老师一 起来下一盘特殊的围棋！ 左边就是围棋的棋盘。它 是由横竖各19条线段相交 而成的正方形。
30÷5=6（棵） 答：能种6棵小树。
圆形体育馆的一周全长是1500米， 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯， 一共需要装几盏灯？
1500÷15=100（盏）
９个小朋友围成一圈做 游戏，每两个人之间的 距离是１米，这一圈的 长度是多少？
19×2＋17×2＝72
圆形花坛的一周全长50米，如果沿着这一圈 每隔2米摆放一盆花，一共需要多少盆花？
可以栽4棵树。
先画图试试看。假设周长是40m……
交流探究
周长是50m、60m、70m时……
50 60 70 80 ……
5 6 7 8 ……
5 6 7 8 ……
你发现了什么？
规律探究表
种树方案 路长（米） 的距离（米）
每两棵树间
间隔数
种树棵树
规律
10
圆周种
5
2
2
15
20
5
5
3
4
3
4
棵数= 间隔数
交流探究
植树问题通常有两种情况：
１.路线是不封闭的：
（１）两端都种树：间隔数＝棵数－１
段 段 段
（２）一端种一端不种：间隔数＝棵数
段
段
段
（３）两端都不种：间隔数＝棵数＋１
段
段
段
２.路线是封闭的：段数＝棵数
其他的相关等式如下： 段数＝总线长÷树距 总线长＝树距×段数 树距＝总线长÷段数
2、64名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边 人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 3、要在六边形的水池上摆上花盆，要使每一边都有5盆花， 可以怎样摆放？最多需要几盆花？最少需要几盆花？ 4、学校以年段为单位举行团体合唱表演，四年级排成下列 的方阵，最外层每边站了13个人，最外层一共有多少名学 生？整个方阵一共有多少名学生？
点数是（ 8 ）， 间隔数是（ 8 ）。
点数是（8），
间隔数是（8）。 我们发现的规律： （封闭图形）点数 = 间隔数
数一数
创设情境
张伯伯准备在圆形池塘周 围栽树。池塘的周长120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
这种环形植树问题，应该怎样求呢？
交流探究
张伯伯准备在圆形池塘周 围栽树。池塘的周长120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
2. 一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。 这条项链上共有多少颗水晶？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。 问题： 1. 用你喜欢的方法，解决这个问题。 2. 你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。 3. 生活中还有哪些事情也属于这种情况，你能举几个例子吗？
试一试
在一个周长30米的圆形熊猫馆外种植 一圈小树，每隔5米种一棵小树，能种多 少棵？
（50－6）÷4＋1 =44÷4＋1 =12（张）
请你欣赏
学校为了改变校园环境，想在全校范围内征集校园花坛 设计方案。有以下三种，请每组同学选择一种你最喜欢 的图形，算一算如果每边放三盆花，一共可以摆放多少 盆花？再动手画一画，展示在黑板上，看哪一组做得又 好又快！
3
4
2
1
（封闭图形）棵数=间隔数 总长=间隔数×间距
如果我把圆拉直成线段，你有什么发现？ 我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭 图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间 隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
（封闭图形）棵数和间隔数 之间有什么关系？ 棵数= 间隔数
交流探究
张伯伯准备在圆形池塘周 围栽树。池塘的周长是 120m，如果每隔10m 栽一 棵，一共要栽多少棵树？