典型定积分计算方法论文

典型定积分计算方法论文

摘要：本文通过具体例题，介绍了几类典型的定积分计算的方法，掌握这些方法和技巧既可减少计算量，提高效率，又可以开拓解题思路，提高定积分的解题技能。同时给出了概率积分 e dx一种最简单的计算方法。

1 利用几何图形计算

例1[1] 计算 e dx

解 f（x）=e 绕y轴旋转一周的体积为

V1=？仔 x2dy=-？仔 lnydy=？仔

V1可看做为y=e 与xoz平面所围成的立体体积（如图1）。于是，V1= dx e dz = e dx e dz

= e dx

所以有 e dx =？仔，从而 e dx=

2 巧用分部积分计算

例2[1] 计算 dx

解 dx=- d

=- - dx=- + e d

=- + +2 e dx= +2 e dx

所以 dx= +2 e =

此题若用积分变量代换会很困难。

3 利用函数公式计算定积分

例 3[3] 求 dx=（m为正整数）

解由公式 + cos2ix=

于是 dx= （1+2 cos2ix）dx

= dx+2 cos2ixdx= +2 cos2ixdx

而 cos2ixdx=0，（1，2，3，…m-1），所以

dx=

4 利用函数的特点作变量代换后积分

例4[2] 计算定积分 dx

解作变量代换，取中间值，令x=6-u，则

dx

= du

= dx=1

技巧：原始的被积函数与变量替换后新的被积函数之和恰好为1。

5 综合计算

例5[4]计算定积分 dx

解令x= -t则 dx

= dt

= dx= dx

于是 dx= dx

= dx= csc（x+ ）dx

= ln csc（x+ ）-cot（x- ）

= ln（ +1）

6 利用递推关系计算定积分

例6[5] 求 xne-xdx

解In= xne-xdx=- xnd（e-x）

=-xne-x + nxn-1e-xdx=nIn-1

依次递推得In=nIn-1=n（n-1）In-2=…n！I0

而I0= e-xdx=1，所以 xne-xdx=n！

7 利用级数计算定积分

例 7[3] 计算 ln（a2cos2x+b2sin2x）dx

解 ln（a2cos2x+b2sin2x）dx= ln[b2-（b2-a2）cos2x]dx= lnb2+ ln（1- cos2x）dx

=？仔lnb- （ cos2nx）dx

=？仔lnb-

因为x<1时， =1+ xn

从而 - = + xn-1（1）

上式右端级数在（-1，1）得任意闭区间中一致收敛，故

（ + ）xn-1dx=

另一方面（ - ）dx

=-2ln（1+ ） =-2ln

因此应用式（1）得

=-2ln

从而 1n（a2cos2x+b2sin2x）dx=？仔lnb+ 2ln

=？仔ln

参考文献：

[1]舒阳春.高等数学中若干问题解析[M].北京：科学出版社，2005：101-102.

[2]杨延龄，章栋恩，邹励农等.高等数学微积分700例题[M].北京：中国建材工业出版社，2004：136.

[3]岳全发.高等数学演算一题多解[M].北京：新时代出版社2004：210，231.

[4]周建莹，李正元.高等数学解题指南[M].北京：北京大学出版社，2002：239-240.

[5]黄璞生，蒋传章，陈传杰.高等数学解题词典[M].陕西：陕西科学技术出版社，2005：678.