结构力学
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F A B M 3 i 3 i M A B A A B l M BA 0 i i F A B F 3 3 F Q A B A Q A B l l l i i F A B F 3 3 F Q B A A Q B A l l l
4 5 6
(b)
(a) 将结构的刚结点 (包括固定支 事实上，图 (a)所示结构的独立线位 座 )都变成铰结点 (成为铰结体系), 移数目，与图 (b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 则使其成为几何不变添加的最少 为了能简捷地确定出结构的独立线 链杆数，即为原结构的独立线位 返回 位移数目，可以 移数目 (见图b)。
1 2 3
例如图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
4
5
6
返回
角位移举例：
B、C两个 刚结点， 有两个角 位移。 B为组合结点，它的左 右各有一个刚结点，有 两个角位移。 CD外伸部分是静定的 可以去掉。
EI趋于无 穷大杆的 角位移。
角位移基本未知量就是刚结点的转角，其数目等于刚结 点的总数。
返回
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作业： 第140页 6-1、 6-2
返回
休息一下
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两端固定的等截面梁：
F A B M 4 i 2 i 6 i M A B A B A B l F A B M 2 i 4 i 6 i M B A A B B A l i i i F A B F 6 6 1 2 F Q B A A B Q B A l l l l 转 i i i F A B F 6 6 1 2 F Q A B A B Q A B 角 l l l l
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例1 试用位移法计算图a所示刚架。
解：基本未知量分别为刚结点B点 的角位移Z1和横梁BC的水平位移 Z2，如图b所示。 用转角位移方程写出个杆端内力如 下：（其中 i E I ）
4 6 1 3 2 M 2 i Z i Z 2 4 42 i Z Z 3 2 A B 1 2 1 i 2 4 1 2 2 6 1 3 2 M 4 i Z i Z 2 4 44 i Z Z 3 2 B A 1 2 1 i 2 4 1 2 2
M 1 6 4 . 8 7 K N m A B
M 6 0 . 5 2 K N m B A
60.52 60.52
M 6 0 . 5 2 K N m B C
M CB 0
二、独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a） △ △ 2 △ 1 3 4、5、6 三个固定 端 都是不动的 点，结点1、2、3均无竖向位移。 又因两根横梁其长度不变，故三个 P 结点均有相同的水平位移△ 。
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应当注意：
上面决定独立线位移 的方法，都是以不计杆 件轴向变形为前提的。 如果需要考虑杆件轴向 变形的影响，就不能再 把直杆当作刚性链杆。
CD杆为二力杆 有轴向变形
图（a）所示刚架，CD是二力杆，必须考虑轴向变形 的影响，把刚架变成交接体系如图（b）所示。 此刚架有3个独立结点线位移，再加上4个刚结点的角 位移，共有7个基本未知量。
返回
图a所示两跨等截面连续梁，在荷载作用 下发生变形。该连续梁由AB、BC两根杆件在B 点刚性连接组成，结点B为刚结点。
〓
M
B
0
M
B
0
〓
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Βιβλιοθήκη Baidu
根据转角位移方程：
4EI 2EI MBA Z1 M AB Z1 l l 3 E I 3 M CB 0 M Z Fl B C 1 P l 1 6
线位移举例：
图c所示刚架，改为铰接体 系后，只需增设两根附加 链杆就能变成几何不变体 系（图d所示），只有一个 线位移。BC是静定的。 图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成 几何不变体系（图b所示），有两个角位移。
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三、位移法基本未知量的确定 位移法基本未知量数目应等于结构结点的独立角位移和 线位移二者之和。
AB
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6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q A B 1 1 2 22 4 4 2 2 4 6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q B A 1 1 2 22 4 4 2 2 4 3 3 FQCB iZ1 FQBC iZ1 4 4 3 3 3 3 F i Z i Z F i Z i Z Q C D 2 2 Q D C 2 2 2 2 4 1 6 4 1 6
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§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法计算步骤示例 §6—4 位移法的典型方程
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§6—1 位移法的基本概念
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本 方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立 于上世纪初。 力法——以多余未知力为基本未知量，由位移 条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。 位移法——以某些结点位移为基本未知量，由 平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算 内力。
M CD 0
M 8 6 . 6 1 K N m D C
F 1 5 . 1 3 K N Q B C
F 2 1 . 6 5 K N Q D C
返回
F 8 .3 5 K N Q B A
F 2 1 . 6 5 K N Q C D
F 1 5 . 1 3 K N Q C B
弯矩图的绘制
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： MB 0
M M 0 B A B C
由图d的平衡条件： FX 0
F F 3 0 0 Q B A Q C D
返回
将相关杆端内力的表达式代入，整理后得：
3 7 iZ 3 20 1 iZ 2 2 3 5 i Z Z 7 8 0 1 i 2 2 1 6
M iZ B C 3 1
MDC 3 iZ2 4
M M 0 C B C D
返回
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得：
6 1 3 2 M 2 i Z i Z 2 4 42 i Z i Z 3 2 A B 1 2 1 2 4 1 2 2 以 6 1 3 2 M 4 i Z i Z 2 4 44 i Z Z 3 2 B A 1 2 1 i 2 4 1 2 2 6 1 2 1 3 3 梁 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q A B 1 22 1 2 4 4 2 2 4 为 6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8例 Q B A 1 22 1 2 4 4 2 2 4
M M 0 D C D B
结点线位移列有线位移的结构 部分的力的投影平衡方程：
F
X
0
F F F 0 P Q C A Q D B
返回
位移法计算原理的思路 （1）把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相 应的单跨超静定梁。使这些梁承受原有荷载，并在杆 端发生与实际情况相同的位移，据此写出各杆杆端内 力表达式。 （2）将各杆组合成原结构。此时，除考虑结构的 变形协调，即各杆的杆端位移与连接该杆的结点位移 相等外，还应考虑刚结点的力矩平衡条件及结构某些 部分的投影平衡条件（一般为横梁部分的剪力平衡条 件）。利用与基本未知量数量相同的方程求解未知结 点位移，这些方程称为位移法基本方程。 注意： 转角位移方程+固端力的应用
五个角位移 两个线位移 七个基本未知量
两个角位移 一个线位移 三个几本未知量
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排架结构
结点3是一 组合结点
图（a）所示排架，将其变成铰结体系后图（图b） ， 需增加两根附加链杆的约束，才能成为几何不变体系， 故有两个线位移。 确定角位移时，要注意结点3是一个组合结点， 杆件2B 应视为23和3B两杆在3处刚性联结而成，故结点3处有 一转角，该排架的位移法基本未知量共有3个。
一端固定一端铰支的等截面梁：
位 移 方 程
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§6—3 位移法的计算步骤和示例
位移法的计算步骤归纳如下： （1）确定位移基本未知量并绘出示意图，图中应标出结构承 受的荷载和独立结点位移。 （2）根据转角位移方程，并考虑变形协调条件，写出用基本 未知量表示的各杆端弯矩和剪力的表达式。 （3）利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡 条件（通常为横梁部分的剪力平衡条件），建立求解基本未知 量的位移法方程。 （4）解方程，求出各基本未知量。 （5）将基本未知量代回杆端内力表达式，求出各杆杆端内力。 （6）根据杆端内力，利用平衡条件做内力图。 （7）校核结构的各刚结点是否满足力矩平衡条件，结构某部 分是否满足剪力平衡条件，如都满足，则计算无误。
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§6—2 位移法基本未知量的确定
位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 一、 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
返回
P
有结点线位移刚架
一般情况下，刚架若干接点可能同 时发生转角和线位移。如图所示刚架 C、D两刚结点除分别发生转角Z1、 Z2外，还会产生同一水平线位移Z3， 只有同时求出这三个未知量，才能确 定全部杆端弯矩和剪力。 结点角位移仍列结点弯矩平衡方程：
M M
C
D
0
0
M M 0 C A C D
返回
无结点线位移刚架
Z1
刚架在荷载P作用下将发生如虚 2 1 Z 在刚结点1处发生转 线所示的变形。 1 角Z1，结点没有线位移。则12杆可 P 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 1 2 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 Z1 Z1 求。同理， 13杆可以视为一根一端 EI=常数 固定另一端铰支的梁（见图）。 而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 3 3 力同样由力法求出。 l l 2 2 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。
解得：
464 Z1 2 3i 2656 Z2 2 3i
将Z1、Z2的结果代回杆端内力表达式，算得：
6 0 . 5 2 K N m 6 0 . 5 2 K N mM M 1 6 4 . 8 7 K N mM B C B A A B
M CB 0
F 1 0 4 . 3 5 K N Q A B
根据结点B的力矩平衡条件：
M M 0 A B B C
将杆端弯矩代入上式的：
4 E I 3 E I 3 ( ) Z F l 0 1 P l l 1 6
所以：
3 FP l 2 Z1 112 EI
说明原结构在 结点B处产生 Z1的转角
返回
再将Z1代回杆端弯矩的 表达式得：
2 F l 2 E I 3 3 P M F l A B P l 1 1 2 E I 5 6 2 F l 4 E I 3 3 P M F l B A P l 1 1 2 E I 2 8 3EI 3FPl 2 3 M BC FPl l 112 EI 16 3 M CB 0 FPl 28
4 5 6
(b)
(a) 将结构的刚结点 (包括固定支 事实上，图 (a)所示结构的独立线位 座 )都变成铰结点 (成为铰结体系), 移数目，与图 (b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 则使其成为几何不变添加的最少 为了能简捷地确定出结构的独立线 链杆数，即为原结构的独立线位 返回 位移数目，可以 移数目 (见图b)。
1 2 3
例如图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
4
5
6
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角位移举例：
B、C两个 刚结点， 有两个角 位移。 B为组合结点，它的左 右各有一个刚结点，有 两个角位移。 CD外伸部分是静定的 可以去掉。
EI趋于无 穷大杆的 角位移。
角位移基本未知量就是刚结点的转角，其数目等于刚结 点的总数。
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作业： 第140页 6-1、 6-2
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两端固定的等截面梁：
F A B M 4 i 2 i 6 i M A B A B A B l F A B M 2 i 4 i 6 i M B A A B B A l i i i F A B F 6 6 1 2 F Q B A A B Q B A l l l l 转 i i i F A B F 6 6 1 2 F Q A B A B Q A B 角 l l l l
返回
例1 试用位移法计算图a所示刚架。
解：基本未知量分别为刚结点B点 的角位移Z1和横梁BC的水平位移 Z2，如图b所示。 用转角位移方程写出个杆端内力如 下：（其中 i E I ）
4 6 1 3 2 M 2 i Z i Z 2 4 42 i Z Z 3 2 A B 1 2 1 i 2 4 1 2 2 6 1 3 2 M 4 i Z i Z 2 4 44 i Z Z 3 2 B A 1 2 1 i 2 4 1 2 2
M 1 6 4 . 8 7 K N m A B
M 6 0 . 5 2 K N m B A
60.52 60.52
M 6 0 . 5 2 K N m B C
M CB 0
二、独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a） △ △ 2 △ 1 3 4、5、6 三个固定 端 都是不动的 点，结点1、2、3均无竖向位移。 又因两根横梁其长度不变，故三个 P 结点均有相同的水平位移△ 。
返回
应当注意：
上面决定独立线位移 的方法，都是以不计杆 件轴向变形为前提的。 如果需要考虑杆件轴向 变形的影响，就不能再 把直杆当作刚性链杆。
CD杆为二力杆 有轴向变形
图（a）所示刚架，CD是二力杆，必须考虑轴向变形 的影响，把刚架变成交接体系如图（b）所示。 此刚架有3个独立结点线位移，再加上4个刚结点的角 位移，共有7个基本未知量。
返回
图a所示两跨等截面连续梁，在荷载作用 下发生变形。该连续梁由AB、BC两根杆件在B 点刚性连接组成，结点B为刚结点。
〓
M
B
0
M
B
0
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Βιβλιοθήκη Baidu
根据转角位移方程：
4EI 2EI MBA Z1 M AB Z1 l l 3 E I 3 M CB 0 M Z Fl B C 1 P l 1 6
线位移举例：
图c所示刚架，改为铰接体 系后，只需增设两根附加 链杆就能变成几何不变体 系（图d所示），只有一个 线位移。BC是静定的。 图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成 几何不变体系（图b所示），有两个角位移。
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三、位移法基本未知量的确定 位移法基本未知量数目应等于结构结点的独立角位移和 线位移二者之和。
AB
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6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q A B 1 1 2 22 4 4 2 2 4 6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q B A 1 1 2 22 4 4 2 2 4 3 3 FQCB iZ1 FQBC iZ1 4 4 3 3 3 3 F i Z i Z F i Z i Z Q C D 2 2 Q D C 2 2 2 2 4 1 6 4 1 6
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§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法计算步骤示例 §6—4 位移法的典型方程
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§6—1 位移法的基本概念
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本 方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立 于上世纪初。 力法——以多余未知力为基本未知量，由位移 条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。 位移法——以某些结点位移为基本未知量，由 平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算 内力。
M CD 0
M 8 6 . 6 1 K N m D C
F 1 5 . 1 3 K N Q B C
F 2 1 . 6 5 K N Q D C
返回
F 8 .3 5 K N Q B A
F 2 1 . 6 5 K N Q C D
F 1 5 . 1 3 K N Q C B
弯矩图的绘制
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： MB 0
M M 0 B A B C
由图d的平衡条件： FX 0
F F 3 0 0 Q B A Q C D
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将相关杆端内力的表达式代入，整理后得：
3 7 iZ 3 20 1 iZ 2 2 3 5 i Z Z 7 8 0 1 i 2 2 1 6
M iZ B C 3 1
MDC 3 iZ2 4
M M 0 C B C D
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将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得：
6 1 3 2 M 2 i Z i Z 2 4 42 i Z i Z 3 2 A B 1 2 1 2 4 1 2 2 以 6 1 3 2 M 4 i Z i Z 2 4 44 i Z Z 3 2 B A 1 2 1 i 2 4 1 2 2 6 1 2 1 3 3 梁 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8 Q A B 1 22 1 2 4 4 2 2 4 为 6 1 2 1 3 3 F i Z i Z 2 4 4 i Zi Z 4 8例 Q B A 1 22 1 2 4 4 2 2 4
M M 0 D C D B
结点线位移列有线位移的结构 部分的力的投影平衡方程：
F
X
0
F F F 0 P Q C A Q D B
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位移法计算原理的思路 （1）把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相 应的单跨超静定梁。使这些梁承受原有荷载，并在杆 端发生与实际情况相同的位移，据此写出各杆杆端内 力表达式。 （2）将各杆组合成原结构。此时，除考虑结构的 变形协调，即各杆的杆端位移与连接该杆的结点位移 相等外，还应考虑刚结点的力矩平衡条件及结构某些 部分的投影平衡条件（一般为横梁部分的剪力平衡条 件）。利用与基本未知量数量相同的方程求解未知结 点位移，这些方程称为位移法基本方程。 注意： 转角位移方程+固端力的应用
五个角位移 两个线位移 七个基本未知量
两个角位移 一个线位移 三个几本未知量
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排架结构
结点3是一 组合结点
图（a）所示排架，将其变成铰结体系后图（图b） ， 需增加两根附加链杆的约束，才能成为几何不变体系， 故有两个线位移。 确定角位移时，要注意结点3是一个组合结点， 杆件2B 应视为23和3B两杆在3处刚性联结而成，故结点3处有 一转角，该排架的位移法基本未知量共有3个。
一端固定一端铰支的等截面梁：
位 移 方 程
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§6—3 位移法的计算步骤和示例
位移法的计算步骤归纳如下： （1）确定位移基本未知量并绘出示意图，图中应标出结构承 受的荷载和独立结点位移。 （2）根据转角位移方程，并考虑变形协调条件，写出用基本 未知量表示的各杆端弯矩和剪力的表达式。 （3）利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡 条件（通常为横梁部分的剪力平衡条件），建立求解基本未知 量的位移法方程。 （4）解方程，求出各基本未知量。 （5）将基本未知量代回杆端内力表达式，求出各杆杆端内力。 （6）根据杆端内力，利用平衡条件做内力图。 （7）校核结构的各刚结点是否满足力矩平衡条件，结构某部 分是否满足剪力平衡条件，如都满足，则计算无误。
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§6—2 位移法基本未知量的确定
位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 一、 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
返回
P
有结点线位移刚架
一般情况下，刚架若干接点可能同 时发生转角和线位移。如图所示刚架 C、D两刚结点除分别发生转角Z1、 Z2外，还会产生同一水平线位移Z3， 只有同时求出这三个未知量，才能确 定全部杆端弯矩和剪力。 结点角位移仍列结点弯矩平衡方程：
M M
C
D
0
0
M M 0 C A C D
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无结点线位移刚架
Z1
刚架在荷载P作用下将发生如虚 2 1 Z 在刚结点1处发生转 线所示的变形。 1 角Z1，结点没有线位移。则12杆可 P 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 1 2 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 Z1 Z1 求。同理， 13杆可以视为一根一端 EI=常数 固定另一端铰支的梁（见图）。 而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 3 3 力同样由力法求出。 l l 2 2 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。
解得：
464 Z1 2 3i 2656 Z2 2 3i
将Z1、Z2的结果代回杆端内力表达式，算得：
6 0 . 5 2 K N m 6 0 . 5 2 K N mM M 1 6 4 . 8 7 K N mM B C B A A B
M CB 0
F 1 0 4 . 3 5 K N Q A B
根据结点B的力矩平衡条件：
M M 0 A B B C
将杆端弯矩代入上式的：
4 E I 3 E I 3 ( ) Z F l 0 1 P l l 1 6
所以：
3 FP l 2 Z1 112 EI
说明原结构在 结点B处产生 Z1的转角
返回
再将Z1代回杆端弯矩的 表达式得：
2 F l 2 E I 3 3 P M F l A B P l 1 1 2 E I 5 6 2 F l 4 E I 3 3 P M F l B A P l 1 1 2 E I 2 8 3EI 3FPl 2 3 M BC FPl l 112 EI 16 3 M CB 0 FPl 28