数值计算方法问题详解

数值计算方法习题一（2）

习题二（6）

习题三（15）

习题四（29）

习题五（37）

习题六（62）

习题七（70）

2009．9，9

习题一

1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())(())'()()()()

f x x

f x f x x f x f x δδ∆=

≈得

（1）()f x =

11

()()*2%1%

22x x δδδ≈

===；

（2）4

()f x x =时

44

4

()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈

===

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n

x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效

数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21

((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2

(0.3443100.1352)fl ⨯+

=0.34572

10⨯

（2）31.97+（2.456+0.1352）

2

1

(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21

(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.34562

10⨯

易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122

10⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多

少？

解：设该正方形的边长为x ，面积为2

()f x x =，由(())(())'()()()()

f x x

f x f x x f x f x δδ∆=≈

解得(())()()'()

f x f x x xf x δδ≈=

2

(())(())

22

f x x f x x x

δδ=

=0.5%

5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？

（1）已知1x <<，（A ）11121x

y x x

-=-

++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1

x >>，（A ）y

=

，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos

2x

y x

-=；

（4）（A

）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。故（B ）算得准确些。 （2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。故（A ）算得准确些。 （3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。故（B ）算得准确些。 （4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。故（B ）算得准确些。

6．用消元法求解线性代数方程组

1515

1212

10102x x x x ⎧+=⎨

+=⎩ 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为

1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010

(2)

x x x x ⎧⨯+⨯=⨯⎪⎨⨯+⨯=⨯⎪⎩

（1）-（2）得161620.100100.10010x ⨯=⨯，即1

20.10010x =⨯，把2x 的值代入（1）得

10.000x =；把2x 的值代入（2）得110.10010x =⨯

解1110.1001020.00010x x ⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（2）式，解1

1

10.1001020.10010

x x ⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（1）式，故在十进制三位浮

点数解该方程用消元法计算结果不可靠。

7．计算函数3

2

()331f x x x x =-+-和()((3)3)1 2.19g x x x x x =-+-=在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？

解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1

1

1

1

-⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=f 110657.010144.010105.0122-⨯+⨯-⨯= =10.16710⨯

=)19.2(g 110219.0)310219.0)81.0((1

1

-⨯⨯+⨯⨯-

110219.010123.011-⨯⨯⨯==10.16910⨯

即1

()0.16710f x =⨯，1

()0.16910g x =⨯

而当 2.19x =时32331x x x -+-的精确值为1.6852，故()g x 的算法较正确。

8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：

（1）6

113i i =∑；(2)1

61

3

i i =∑。

解：（1）6

2345611

111111

3

333333

i

i ==

+++++∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001+++++

489.0=

（2）

1

654326

1111111

3333333i i ==+++++∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333+++++

489.0=

9．已知三角形面积1sin 2S ab C =，其中02

C π

<<。 证明：()()()()S a b C δδδδ≤++。

证

明

：

由自

变量的误差对函数值的影响公式：

12121

12(,,,)

((,,

,))()(,,,)n

i n n i i n i

x f x x x f x x x x f x x x x δδ=∂≈∂∑

。 得

(,,)(,,)(,,)((,,))()()()

(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C C

δδδδ∂∂∂=

++∂∂∂