定积分的概念和性质课件

i 1
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 n
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即
n
0（ 表示 这些小区间的长度最大者）时，和式 f ( i )xi 的
b
• 证
[ f ( ) g ( )]x [ f ( x) g ( x)]dx lim
b a 0 i 1 n i i
n
i
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0
b i 1
n
0
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
a
f ( x)dx f ( )(b a) ( a b)
这个公式叫积分中值公 式。
证 由性质6，有
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a b
即有
1 b m f ( x)dx M a ba
因m、M分别是f ( x)的最小值和最大值，由 连续函数的介值定理知 ，在[a，b]上至少存 在一点，使得 1 b f ( x)dx f ( ) ba a
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成 的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它 是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
b
y
＋ a ＋
0 －
b
x
定积分的性质 中值定理
a 0 n
1dx dx b a
a a
i 1 i
b
b
lim(b a) b a
0
• 性质5 • 证
f ( x) 0 若在区间[a，b]上，
，则

b
a
f ( x)dx 0
(a b)
(i 1,2,, n)
因 f ( x) 0 ，所以 f (i ) 0,
a c
c
b
有
• 于是

c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a b
b
c

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a b
c
c
f ( x)dx f ( x)dx
a c
c
b
• 性质4
b
• 证 因f(x)≡1，所以
1x 1dx lim
I f ( x)dx lim f ( i )xi
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
s v( i )t i . （2）近似求和：
i 1 n
（3）取极限：
s lim v( i )t i
0
i 1
n
（ 表示所有小区间的长度的最大者）
二、定积分的定义
定义 设函数f（x）在[a，b]上有界， 在[a，b]中任意插入若干个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b
分
划
任取 i [ xi1 , xi ] ，作和式 记
lim f ( i )xi I
0
i 1 n
S f ( i )xi
i 1
n
xi xi xi 1 max{ x1 , x2 ,, xn }
近似求和 取极限
，如果
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依 赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上 b 的定积分(简称积分)，记作 f ( x)dx ,即
(i 1,2,, n)
i i
• 又由于 xi 0
n i 1
， 因此
f ( )x
0
• 所以
• 推论1

b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi 0
n
f ( x) g ( x) 如果在区间[a，b]上，
0
i 1
则

• 证
b
a
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
证 因 m f ( x) M
所以
即
mdx
a
a
b
b
a
f ( x)dx Mdx
a
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
b
性质7 （定积分中值定理） 如果函数f ( x)在闭区 间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一点
，使

b
y y=f(x)
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。
把n个小矩形的面积相加得和式 f (i )xi
i 1 n n
它就是曲边梯 形面积A的近似值，即
y y=f(x)
A f ( i )xi .
规定 (1) 当a=b时，
(2) 当a>b时,

b
a
b
f ( x)dx 0
f ( x)dx f ( x)dx
b a
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定 积分的和(差)。即
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
b
a
f ( x)dx g ( x)dx
a
y y=f(x)
0
a x0 x1 x2 x3 xi 1
xi
xn 1 x b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第i个小曲边梯形的底 [ xi 1 , xi ]上任取一点 （ i x i 1 x i ), 它所对应的函数值是 f ( i ).用相应的宽为 xi , 长为f ( i )的小矩形 面积来近似代替这个小 曲边梯形的面积，即 Ai f ( i )xi
所以 f ( x) dx f ( x)dx f ( x) dx
a a a b b b
即

b
a
f ( x)dx f ( x) dx
a
b
性质6 设M及m分别是f ( x)在[a, b]上的最大值
•
及最小值, 则
m(b a) f ( x)dx M (b a)
n i 1
i 1

极限就是A，即 A lim f ( i )xi 0
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y
y=f(x)
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
2、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 v v(t ) v(t ) 0 是时间间隔 [T1 , T2 ] 上t的连续函数， 且 ，计算在此段时间内物体经过的 路程。 思想方法
a
b
(a b)
因 g ( x) f ( x) 0
b a
，则
•
[ g ( x) f ( x)]dx 0 b b 由性质1，有 f ( x)dx g ( x)dx a a

• 推论2

b
a
f ( x) dx f ( x) dx
a
b
( a b)
证 因 f ( x) f ( x) f ( x)
§4.3 定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a a
b
• 注：此性质可以推广到任意有限多个函数 的代数和的情形。 •
• 性质2 被积函数的常数因子可以提到积 分符号外。即
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx
n
（k为常数）
• 证

b
a
kf ( x)dx lim kf ( i )xi
0
i 1 n b
k lim f ( i )xi f ( x)dx
即

b
a
f ( x)dx f ( )(b a)
(a b)
小测验
求
1
1 1 x
2
dx
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
注：定积分的值只与被积函数以及积分 区间有关，而与积分变量的记法无关。即

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
三、函数可积的充分条件 定理1 若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在 [a，b]上可积。 定理2 若f(x)在[a，b]上有界，且只有有 限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。 四、定积分的几何意义
0
i 1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a c b，则

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a c
c
b
• 证 因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b] 的任意分划，积分和的极限总是不变的。 考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个 分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上 的积分和加[c，b]上的积分和，记为
（1）分割：
在区间 中任取若干分点： [T1 , T2 ]
T1 t 0 t1 ti1 ti t n1 t n T2
把 [T1 , T2 ] 分成n个小区间 ： [t i 1 , t i ]
ti ti ti1 (i 1,2,3,, n) 小区间长度记为：