粮食产量模型的建立

粮食产量模型的建立
一、问题提出
在已知1981-1996年每一年粮食的产量基本情况下，要求应用数学思想，和联系在粮食生产过程中，都将会受到国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等影响的实际情况，综合建立数学模型，根据模型预测未来值，有助于国家粮食生产计划。

二、问题重述及分析
由于农民在生产粮食过程中，经验的不断积累，科学种植手段的不断完善，政府计划的良好政策，土地的不断改良等都将会影响粮食年生产量的增加；在某时政府政策因素、社会经济因素、自然因素等都将会使粮食生产过程中产生一定的波动。

根据题目数据，应用Excel办公软件描述出这些数据的离散图，根据离散图可以看出粮食产量与年限的大致增长情况，与以上分析大致吻合。

分析得到粮食产量是随着年限的增加而有所上浮，证明总体情况是良好的。

粮食的增长在起步时的增长速度是很快，随着年限的增加上浮率就会变低（就如一个人的成绩在九十分时要上涨，那幅度也是很小的）。

那么它必然不是直线增长，再根据上浮率逐渐减小，可以假设它是一个向下凹的图形，在没有没有其他重要因素的影响下（例如超级杂交水稻的普及），只由农民生产粮食的经验积累、土地改良条件下，粮食生产最终逼近一个最优值，并不是无穷增大。

根据一元二次方程性质（存在最优值），综合假设要建立的模型为一个一元二次方程（模型一）。

题目只给出了1981-1996年每一年粮食的产量情况，再从离散图可以看出应用MATLAB数学软件中曲线拟合的最小二乘法来模拟假设的方程。

但是所给的值太少，那拟合出的方程就不会精确。

因此应用MATLAB数学软件中的差值法，把每一年分成十分，算出一百五十个值；再根据这一百五十个值来拟合假设函数更为精确。

在这过程中国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等都会影响粮食生产量的浮动。

根据可以得出主要因素为国家政策因素与杂交水稻的改良与推广因素对粮食产量的影响最大。

特别是超级杂交水稻的推行将会使粮食产量预期最优值更大，将会超过上面一元二次函数的最大值。

那么，所建立的模型一就不符合以后粮食生产值的预测。

而每段粮食突破工程的生产规律都将相似，所以根据粮食生产分段突破工程法建立模型二。

对粮食产量问题影响的因素还有很多，在小范围内是不会有很大影响的，但是超过一定值时就不可忽略，因此这方面也要随时关注，必要时也是影响预期结果的。

三、模型假设
（一）应用Excel办公软件描述已知数据，再根据实际生活中粮食生产的情况，可以推出粮食生产过程是趋于一个一元二次函数图形的发展形式（粮食生产量最优值趋近于函数最大值）。

（二）在生产因素影响中，经过具体分析主要的因素是超级杂交水稻的推行与普及，它将会在很大程度上影响并超过上述模型一所得的最大值。

那么，我们在应用模型一来求解N年后的预期值，那将是不精确的，同时证明模型一具有局限性。

而每段粮食突破工程的生产规律都将相似，所以我们要根据不同粮食产量突破工程的具体情况综合建立分段突破模型二。

四、符号说明
五、建立模型
（一）根据题目数据，应用Excel 办公软件描述出这些数据的离散图如下：
由离散图分析我们得到粮食产量随时间增长大致成正比例关系，由于在粮食生产过程中国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等都会影响粮食生产量浮动，所以与离散图的情况相吻合。

在应用MATLAB 数学软件拟合方程式，由于题目所给数据量少与分散，拟合出的值不是很精确，因此要先应用MATLAB 数学软件插值法，把每年均分为十份，再插出一百五十个数值，再应用拟合出模型一。

MATLAB 数学软件插值法插出数值为：（附件-2） 值的个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
产量值 2.857 2.854 2.851 2.848 2.845 2.842 2.839 2.836 2.83
3
2.83
值的个数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
产量值2.85
2
2.87
4
2.89
6
2.91
8
2.94
2.96
2
2.98
4
3.00
6
3.02
8
3.05
值的个数21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 时间 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
产量值3.07
7
3.10
4
3.13
1
3.15
8
3.18
5
3.21
2
3.23
9
3.26
6
3.29
3
3.32
值的个数31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 时间 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
产量值3.30
9
3.29
8
3.28
7
3.27
6
3.26
5
3.25
4
3.24
3
3.23
2
3.22
1
3.21
值的个数41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 时间 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
产量值3.21
4
3.21
8
3.22
2
3.22
6
3.23
3.23
4
3.23
8
3.24
2
3.24
6
3.25
值的个数51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 时间 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6
产量值3.27
9
3.30
8
3.33
7
3.36
6
3.39
5
3.42
4
3.45
3
3.48
2
3.51
1
3.54
值的个数61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 时间 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7
产量值3.54
7
3.55
4
3.56
1
3.56
8
3.57
5
3.58
2
3.58
9
3.59
6
3.60
3
3.61
值的个数71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 时间7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8
产量值3.65
6
3.70
2
3.74
8
3.79
4
3.84
3.88
6
3.93
2
3.97
8
4.02
4
4.07
值的个数81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 时间8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9
产量值4.04
2
4.01
4
3.98
6
3.95
8
3.93
3.90
2
3.87
4
3.84
6
3.81
8
3.79
值的个数91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 时间9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
产量值3.80
2
3.81
4
3.82
6
3.83
8
3.85
3.86
2
3.87
4
3.88
6
3.89
8
3.91
值的个数101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 时间10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
产量值3.92
1
3.93
2
3.94
3
3.95
4
3.96
5
3.97
6
3.98
7
3.99
8
4.00
9
4.02
值的个数111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 时间11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12
产量值4.01
2
4.00
4
3.99
6
3.98
8
3.98
3.97
2
3.96
4
3.95
6
3.94
8
3.94
值的个数121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
产量值 3.95
3 3.966 3.979 3.992 4.005 4.018 4.031 4.04
4 4.05
7
4.07 值的个数 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 时间 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7
13.8 13.9 14 产量值
4.09
8 4.126 4.154 4.182 4.21
4.238 4.26
6
4.294 4.32
2
4.35 值的个数 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 时间 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 15 产量值 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35
MATLAB 数学软件拟合得曲线为：（附件-3）
由MATLAB 数学软件同时算的： p =
Columns 1 through 2
-0.00280706722732804 0.144376759134609 Column 3 2.76522882278252 推出一元二次函数模型一（2Y
at bt c =++ ） 为：
20.0028070672273284*0.144376759134609*2.76522882278252
Y t t =-++
（
()2t
Y f a
<-） 对应的真实时间为：T1=1981+t
（二）分段突破模型二的建立，当一个重大因素的影响时，必然会导致粮食生产量突破模型一的最优值f （-t/2a ）,那要解决这个问题，就要应用所建立的模型二，在此时要先介绍一下几个关系：
1、要预期突破值(Y1)与模型一最优值（Ymax ）的差值，再与模型一最优值的比例为K ；
关系为：1max
max
Y Y K Y -=
2、要到预期时间（t2）与开始实施时的时间（t1）的差值，再与模型一达到最优值时的时间（t max ）的比例为Z 。

关系为：21
max
t t Z t -=
最后可推得分段突破模型二为： 数学模型还是模型一的方程式：
20.0028070672273284*0.144376759134609*2.76522882278252
Y t t =-++（
()2t
Y f a
<-） 但是在此的意义已经不相同了，在此它只是粮食增长率的一种关系，然而实际值应该是：
实际时间（T1）=t*Z+t1;
实际产值（Y1）=(Y-f(0))*K+Ymax. 用MATLAB 数学软件模拟的图为：（附件-4）
六、模型求解及验证
据调查袁隆平的超级杂交水稻在2004年以前还未前面推行，因此还未导致粮食产量峰值有跳跃性变化，求解此题还是用模型一来求解。

应用MATLAB数学软件计算：
f（2002-1981）=4.55922421437749
f（2004-1981）= 4.6009558360018
可以在网上啊的数据，来对我们的求解进行验证，由于从2000年到2003年粮食出现了改革开放以来最为严重的一次大减产。

粮食产量从1998年的最高位51229．5万吨降到了最低时的43065万吨，一下退回到十年前水平。

2004年以来的5年，我国粮食产量连续5年增产。

因此我们所求的数据将会比真实的些，但我门是站在1996年实来推测将来值，理想值是我们想要的，但是突发事件是谁也难以预测的。

根据附件-1信息，选择了1996年总产达50453万吨来作为参数进行计算得：
f(2002)= 4.55922421437749 * 50453/4.35
=52879.6642041351（万吨）；
f(2004)= 4.6009558360018 * 50453/4.35
=53363.6838606434（万吨）。

参考实际数据：2002年年产为45705.8（万吨），2004年年产量为46946.9（万吨）。

（附件-5）之所以计算出的结果与实际值相差较大，那是因为理论值只能是预测将来，将来一些大的因素对其粮食产量影响极大，又是不可忽略；我们建立的模型是长期数据的反映是结果，是有规律的，应用预测是完全可行的。

七、评价及推广
经过上面模型求解及验证之后，应用我们建立的模型来预测将来值是完全可行的，但
将来的因素有些是难以预料的，一旦发生，那将会影响与其最优值实现的时间。

因此在正常生产情况下（没有重大因素的产生），我们是有可能实现预期最优值的，当有重大因素发生时，就将要考虑在内，在进行模型改进时，将会提到这里。

当产生的因素对预期最优值产生突破时（例如袁隆平超级杂交水稻推广与普及）就将应用分段突破模型二来预测。

1、1958年全国年平均亩产最高的高产田也就在400公斤左右！
2、从1976年开始,杂交水稻在全国大面积推广,比常规稻平均亩增产20%左右。

袁隆平和他的杂交水稻震惊了全世界,也赢得了...2000年,他主持的超级杂交稻第一期
亩产700公斤的目标实现;2004年,第二期亩产800公斤的目标提前实现。

（单指一季晚稻）
3、目前，采取一年两季种植，一般较好的土壤和气体条件下亩产吨粮(2000斤/亩)是没有问题的！
假设三期目标全面推行，那就将会突破模型一的最优值，就要应用分段突破模型二来预测。

此时的K值就等于（900*2/2000）与我国水稻种植面积之积减去模型一的最优值，再与模型一的最优值的比值；此时的Z值就等于最终实现900公斤/亩时的时间减去开始全面普及超级杂交水稻时的时间与模型一达到最优值时的时间的比值。

综合推出我们的模型是可以推广的。

八、改进
当发生重大因素对粮食的产量产生负面影响时，就将会影响模型的预测，根据因素影响的系数，来判定粮食产量的浮动与波动的时间。

真样考虑那结果才是最接近预测的。