射影几何在中学数学的应用剖析

交比
(P1P2 , P3P4 )
P1P3 P2P4 P2P3 P1P4
.
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： P2P 1. P1P
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
二次曲线的射影定义
定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化 二阶曲线。
目录
1
仿射变换
2
交比的应用
3
Desargues透视定理
仿射变换
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a11 a21
a12 a22
x y
a13 a23
.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
考察完全四点形ABCD。设ADBC=G， 由上述定理，有 (BC, QG) = –1，从而得出Q 为BC的中点。
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷 远点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
完全四点形的调和性
定理 在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶 点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。
考察完全四点形ABCD
比如在边AB上，有 (AB, PZ ) 1.
比如在边CD上，有
完全四点形的调和性
几何证明题
例8 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底。
证明 如图， ABCD为梯形， AD//BC, E, F分别为两腰和对角线的交 点。 EF交AD, BC于P, Q。只要证明P, Q分别是AD, BC的中点。
定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直 线的交比为定值。
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上， 中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分 别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于 点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ
OB AO GO OH
GO OH.
同理可证，G'O=OH'.
交比
调和比是最重要的交比！
对于(P1P2,P3P4 )= –1,则称点组
为调和点组
利用初等几何意义, 有
(P1P2 , P3P4 )
P1P3 P2 P3
P2P4 P1P4
1.
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上， 且EF//BD,求证：
例2 求椭圆的
仿射变换
面积
例3 求椭圆
仿射变换
内接△ABC的面积的最大值
思考一 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
思考二 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内 接n边形的面积的最大值多少呢？ 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O 的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、 H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有 OI=OJ
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
仿射变换
例6 （2009年辽宁卷数学理第20题）
已知椭圆的方程为
，点A的坐标为（1,3/2），右
焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与
AN 的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个
定值
仿射变换
目录
1
仿射变换
Baidu Nhomakorabea
2
交比的应用
3
Desargues透视定理
交比的初等几何意义
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不 变，等等；
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下 可变换为正方形
仿射变换
仿射变换的基本性质: (1)保持直线的平行线； (2)保持同素性和结合性； (3) 保持共线三点的单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量； 推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量； 推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；
证明 因为A, F, C, B为圆上四定点, 则由二次曲线的定义，有
E(AF,CB) D(AF,CB). 以直线AB截这两个线束，得
(AG,OB) (AO, HB). 由交比的初等几何表示式，有
AO GB AH OB GO AB OH AB
所以 GO OB AO OH
GO
OH
GB AH . GO OH
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换 下不变，两直线斜率只比不变，等等；