数值计算 各种插值法与最小二乘法

f1( n) ( ) f 2( n) ( )
证明： 设 g ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ，则 g(x)存在 n+1 个零点，由罗尔定理可知 g ( x) 存在 n 个零 点，反复用罗尔定理，则 g
( n)
( x) 存在一个零点，即存在中值ξ 有
－3. 5－
数值计算基础讲义
例：用抛物插值求 115 ， （x* = 10.7238） 解：设 y
x ，函数表为
x y 100 10 121 11 144 12
115 P2 (115)
(115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144) (115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121) 10.7228
武汉科技大学计算机学院
g ( n) ( ) f1( n) ( ) f 2( n) ( ) 0
即：
f1( n) ( ) f 2( n) ( )
定理：设区间[a, b]含有 n+1 个互异的节点 x0 , x1 , , xn ，而 f(x)在[a, b]内有直到 n+1 阶导 数，且 f ( xi ) yi (i 0,1, , n) 已给，则当 x∈[a, b]时，有如下估计：
记： l 0 ( x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则：
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
即： P 1 ( x) l 0 ( x) y 0 l1 ( x) y1 例：已知有 y=f(x)的函数表 x y 求其近似表达式 解： 1 1 3 2
x y 1 7 2 2 3 6
例：已知有 y=f(x)的函数表
求其近似表达式 解：
f ( x) P2 ( x)
( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2) 7 2 6 (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)
从而： 115 P 1 (115) 10 2、抛物插值
11 10 (115 100) 10.71428 121 100
设二次插值多项式为： P2 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l 2 ( x) y 2 则插值基函数满足：
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 0
3.2 插值多项式中的误差
一、Lagrange 插值余项 f (x)－Pn(x)称为用插值多项式 Pn(x)代替 f (x)的余项，误差或插值余项，记为 ：
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
引理：若 f1(x)与 f2(x)存在 n+1 个等式(函数相等或导函数相等)，则存在中值ξ ，使
l k ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k
－3. 4－
数值计算基础讲义
武汉科技大学计算机学院
又由 lk (xk) = 1，得： 所以有：

[授课内容]
本章主要问题 1、函数 f(x)没有明确的表达式，以一组离散数据表示其关系； 2、函数 f(x)表达式复杂。 解决方法 构造一个简单的连续函数 g(x)近似的替代 f(x)。 f(x)：被逼近函数 g(x)：逼近函数。 若要求 g(x)取给定的离散数据，即： g(xi) = f(xi) (i=0,1,2…n) f(x)：被插值函数。 g(x)：插值函数， 若 g(x)为代数多项式，称为多项式插值
此方程组的系数行列式为范得蒙行列式
1 x0 V 1 x1 2 x1n
2 n xn xn

0 j i n
(x
i
xj)
又因为 xi x j (i j ) ，所以 V≠ 0， 故方程组存在唯一的一组解 a 0, a1,…, a n。即 Pn(x)存在且唯一 二、拉格朗日插值法 1、线形插值 设插值函数为 P 1 ( x) a0 a1 x ，则函数满足：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
l k ( x)
n x xj ( x x0 )( x x1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ) j 0 x k x j j k
Rn ( x )
f ( n 1) ( ) ( x) (n 1)!
证明：令 g (t ) Pn (t )
f ( x) Pn ( x) (t ) ( x)
可验证在 x0 , x1 , , xn , x 上，g(t)=f(t) 所以存在ξ ，使 f 因此：
n 1
记： ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x x n )
(x x )
i i 0
n
则： l k ( x)
( x) ( xk )( x xk )
x y 1 7 2 2 3 6 4 9
例：已知有 y=f(x)的函数表
求其近似表达式 解：
( x 2)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 3)( x 4) 7 2 (1 2)(1 3)(1 4) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 6 9 (3 1)(3 2)(3 4) (4 1)(4 2)(4 3) f ( x) P3 ( x)
l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1 l 2 ( x1 ) 0
l0 ( x2 ) 0 l1 ( x 2 ) 0 l 2 ( x2 ) 1
( I) (II) (III)
由（I）式知，x1, x 2 是 l 0 (x)的根，所以有：
l0 ( x) ( x x1 )( x x2 )
P 1 ( x0 ) y 0 , P 1 ( x1 ) y1
点斜式： P 1 ( x) y 0
y1 y 0 ( x x0 ) x1 x0
改写为： P 1 ( x)
x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
－3. 2－
数值计算基础讲义
武汉科技大学计算机学院
f(x)：被插值函数 Pn(x)：插值函数
i 0, 1, 2,, n
x0 , x1 , , xn ：插值节点
[a,b]：插值区间 定理： n+1 个互异的插值节点 x0 , x1 , , xn 上满足 Pn ( xi ) yi (i 0,1,2,, n) 的次数不高 于 n 的代数多项式 Pn ( x) a0 a1 x a2 x ... an x 存在且唯一。
数值计算基础讲义
武汉科技大学计算机学院
第 3 章 插值法与最小二乘法 [教学目的与要求]
1．理解插值的基本概念、插值多项式的存在唯一性； 2．掌握拉格郎日插值多项式的构造、插值余项的证明； 3．掌握差商的定义、性质、计算，掌握牛顿插值多项式的构造； 4．理解埃特金逐步插值法思想及构造； 5．掌握埃尔米特插值法插值多项式的构造及其余项的证明； 6．掌握曲线拟合的最小二乘法。
P1 ( x)
x 3 x 1 1 1 2 ( x 1) 1 3 3 1 2 1 f ( x) ( x 1) 2
例：用线性插值求 115 （x* = 10.723805） 解：设 y 则 y 0 = 10
x ，取 x0 = 100，x 1 = 121
y1 = 11
[重点与难点]
重点：拉格郎日插值、牛顿插值、埃尔米特插值。 难点：埃尔米特插值。
[教学安排]
主要内容 1 插值法 2 插值多项式中的误差 3 分段插值法 4 Newton 插值 5 Hermite 插值 6 三次样条插值 7 数据拟合的最小二乘法 学时 2 2 2 2 P59~P60 3， 7 题 P61~P62 8，10， 11， 13 题 P62~P63 15， 17 题 课后作业
3、 拉格朗日插值 设插值多项式为：
Pn ( x) l0 ( x) y 0 l1 ( x) y1 ... l n ( x) y n y k l k ( x)
k 0
n
则插值基函数满足： l k ( xi )
1, 0,
k i k i
n
由上式知，除 x k 外所有节点都是 lk (x)的根，所以有：
Lagrange 插值公式
Pn ( x) l0 ( x) y 0 l1 ( x) y1 ... l n ( x) y n y k l k ( x)
k 0
n
l k ( x)
n x xj ( x x0 )( x x1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ) j 0 x k x j j k
3.1 插值法
一、插值问题 已知函数 y=f(x)在区间 [a,b]上 n+1 个互异节点 x0 , x1 , , xn 的函数值为 y 0 , y1 , , y n ， 求作一个次数不高于 n 的代数多项式 P(x),使其满足：
－3. 1－
数值计算基础讲义
武汉科技大学计算机学院
Pn ( xi ) yi
又由 l0 ( x0 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 1 ,得： 所以：
1 ( x0 x1 )( x1 x2 )
l 0 ( x)
同理可得：
( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
－3. 3－
数值计算基础讲义
2 n
证明： 由插值条件
Pn ( xi ) yi
得到如下线性代数方程组：
i 0, 1, 2,, n
n a0 x0 a1 x0 an y0 n a0 x1 a1 x1 a n y1 a x a x n a y n 1 n n n 0
武汉科技大学计算机学院
l1 ( x) l 2 ( x)
这样
( x x0 )( x x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
P2 ( x)
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
( ) g n1 ( )
f
整理得：
n 1
( ) g n 1 ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! ( x)
f ( x) Pn ( x)
f ( n1) ( ) ( x) (n 1)!