数制间的转换

数制间的转换
十进制数：我们生活中用得最多的数，由0~9组成，逢十进一。

二进制数：计算机能够识别的语言，由0、1组成，例如1010001001就是一个二进制数，逢二进一。

八进制数：由0~7组成，逢八进一。

十六进制：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F组成，
为什么要这样做呢？你好比吧(7C2F)16按常规把字母用数字换过来
是7、12、2、15，没错吧？但你写的时候要是写连了，那就变成712215了，这和原来的数字就不一样了，所以就用数字代替了。

这里不理解没关系，说到十六进制的时候我会详细给你讲解的，你只记住这么写的就是了。

一、二进制数转换为十进制数
先来看一个例题：
【例】将二进制数(101000100101)2转化为十进制数；
1.我们把每一位都标上号码，从右往左标，第一位从0开始标。

如
1×211+0×210+1×29+0×28+0×27+0×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20
=2048+512+32+4+1=(2597)10 所以(101000100101)2=(2597)10
从以上计算式可以看出，不用把每一位都写出，只要把是1的每一位的2的次方数写出相加就可以得到对应的十进制数。

就拿上面(101000100101)2举例，各位上是1的有第11位、第9位、第5位、第2位和第0位，上式可简写为
211+29+25+22+20
这样做的好处是简化了转换过程，不容易出错
附：2n表（注：这个不用全部都记，只记得前几个就可以了，后面的依次乘以2就可以，比如你记得22，那么232
那么就可以得出(101110)2=25+23+22+21=32+8+4+2=(46)10
简单吧？做两道练习哦：
【练习】把下列二进制数转化为十进制数：
（1）(00100110)2；（2）(111010)2；（3）(110110)2；（4）(1011001)2；
二、十进制转化为二进制
【例】将十进制数(103)10转换为二进制数。

第一步：采用基数2连续去除该十进制整数，直至商等于“0”为止。

103÷2=51 余数为1
51÷2=25 余数为1
25÷2=12 余数为1
12÷2=6 余数为0
6÷2=3 余数为0
3÷2=1 余数为1
1÷2=0 余数为1（此处按照一般数学知识应为0.5，不是0。

但在进制转
换中，当除得的商为小数时，也就是不能被整除时，
我们就认为商是0，余数是1）
所谓1100111
10
所以(103)10= (1100111)2
再来做一道，加深印象。

【例】将十进制数(521)10转化为二进制数。

先怎么样？拿2除，写余数，对吧？
521÷2=260 余数为1
260÷2=130 余数为0
130÷2=65 余数为0
65÷2=32 余数为1
32÷2=16 余数为0
16÷2=8 余数为0
8÷2=4 余数为0
4÷2=2 余数为0
2÷2=1 余数为0
1÷2=0 余数为1
然后逆序排列对吧？
排上去，就是：(1000001001)2
10
那么(521)10=(1000001001)2
再来个偶数的例题：
【例】把十进制数(414)10转化为二进制数。

414÷2=207 余数为0
207÷2=103 余数为1
103÷2=51 余数为1
51÷2=25 余数为1
25÷2=12 余数为1
12÷2=6 余数为0
6÷2=3 余数为0
3÷2=1 余数为1
1÷2=0 余数为1
然后怎么样？逆序排列所得余数得(110011110)2
10
最后得：(110011110)2=(414)10
嘿嘿，这个稍微有点难度吧？好好看看这个，这个会了，后面的就简单了。

加油哦！
趁热打铁，做几道来习题巩固下吧：
【练习】把下列十进制的数转化为二进制。

（1）(382)10；（2）(171)10；（3）(256)10；(4)(531)10;
三、八进制数的转换
1.八进制向十进制转换：
两种方法：A先将八进制转化为二进制数，再由所得的二进制数转化为相应的十进制数。

B八进制数直接转化为十进制数。

用方法A，那么步骤就有两个：
（1）将八进制转化为二进制数；
（2）由所得的二进制数转化为相应的十进制数。

具体到例题中来看：
【例】将八进制数(5663)8转化为相应的十进制数。

那么我们上面说了，要分两步：
（1）将八进制转化为二进制数；
2
（2）由所得的二进制数转化为相应的十进制数。

还记得二进制转化为十进制怎么做么？我们再来一次噢，看好了先要干什么？要把每一位的号码标出来，标的要求是：从右往左标，第一位从0开始标。

10
最后得(5663)8=(2995)10
再看方法B八进制数直接转化为十进制数。

还是上面那道例题：
【例】将八进制数(5663)8转化为相应的十进制数。

每一位上的数去乘8的几次方相加。

就是5×83+6×82+6×81+3×80=5×512+6×64+6×8+3×1=2560+384+48+3=(2995)10（注：8n就是n个8相乘，例如83=8×8×8=256。

再提醒下：0 1）
这样看来B方法是不是简单一些？为什么要给你说方法A呢？是这样，如果给的八进制数很长，有个7、8位，那计算时就要计算8的7、8次方，那计算量就很大了，计算量一大就容易出错；另外，也可以复习一下二进制数的转换。

所以呢，两个方法按情况分别使用，给的八进制数长，就用方法A；数比较短，就用方法B。

考试一般只会出到4位，所以在这里用到的就有83=256,82=64,81=8,80=1。

这几个常用，最好记下来，考试时可以节约时间.
好了自己动手做一做吧？
【练习】把下列八进制数转换为相应的十进制数：
（1）(5347)8；（2）(4321)8;（3）(1234)8；（4）(1314)8;
2.十进制数向八进制转换：
采用基数8连续去除该十进制整数，直至商等于“0”为止，然后逆序排列所得余数。

（这个过程和十进制转化为二进制有点类似，只是除数变成了8）放到例题中来看
【例】把十进制数(376)10转化为相应的八进制数。

376÷8=47 余数为0
47÷8=5 余数为7
5÷8=0 余数为5（5除以8位小数，我们认为不够除，就等于零，然后
写出余数5）
然后怎么样？逆序排列所得余数。

所得的八进制数就是(570)8
验证下：
(570)8根据前面给出的八进制转化为二进制数表可以得出
10
对的吧？再来一道：
【例】把十进制数(431)10转化为相应的八进制数。

431÷8=53 余数为7
53÷8=6 余数为5
6÷8=0 余数为6
逆序排列所得余数得到八进制数为(657)8;
验证在将来亲爱的自己完成哈
好了，做两道练习巩固下吧？
【练习】把下列十进制数转换为相应的八进制数：
（1）(123)10;（2）(321)10；（3）(521)10；（4）(134)10;
三、十六进制数的转化
十六进制数的转化，从某种意义上说和八进制数的转化完全是一样的。

话不多说，来看具体问题。

1.十六进制数转化为十进制：
还是用两种方法：A先将十六进制转化为二进制数，再由所得的二进制数转化为相应的十进制数。

B十六进制数直接转化为十进制数。

用方法A，那么步骤就有两个：
（1）将十六进制转化为二进制数；
（2）由所得的二进制数转化为相应的十进制数。

【例】将十六进制数(7C2F)16转化为十进制。

首先转化为二进制数：
16 2
（【宝宝寄语】这里为了让亲爱的看的清楚些，我把每一位十六进制数对应的二进制数分别用不同颜色标出来了，这样亲爱的看起来跟清楚些。

(*^__^*) 嘻嘻……还有，一开始表里为什么用字母表示数字的问题，我们在这里说一下：拿(7C2F)16为例，我们把字母换回数字是(7 12 2 15)16，但在书写时，我们很难写出空格或者读出空格，很容易就写成(712215)16
，这样原来的数字完全就变成另外一组数字了。

为了避免这种情况发生，我们就用数字来代替两位的数字。

）
=(31791)10。

最后得(7C2F)16=(31791)10。

下面来看方法B十六进制数直接转化为十进制数。

标出每一个数的位置，然后拿这个数和16的位置次方数相乘，最后相加得出和：还是上面的例题：
【例】将十六进制数(7C2F)16转化为十进制。

7×163+12×162+2×161+15×160=7×4096+12×256+2×16+15×1=28672+3072+32+15=( (31791)10。

和方法A得出的结果一样。

【宝宝寄语】嘿嘿，我又来了，这里没多少说废话，把16的0~3次方给宝宝总结出来，方便宝宝计算。

163=4096,162=256,161=16,160=1。

最好能记下来，记不下来也没事，考试的时候自己乘一下，几次方就是几个16相乘嘛。

(*^__^*) 嘻嘻……
来做几道练习：
【练习】将下列十六进制数转化为十进制数：
（1）(12A4)16；（2）(2C3B)16；（3）(2DB4)16；（4）(85AA)16。

2.十进制转化为十六进制
这里呢，我们从前面的经验可以得出：十进制转化为十六进制，采用基数16连续去除该十进制整数，直至商等于“0”为止，然后逆序排列所得余数。

来看例题：
【例】把十进制数(2347)10转化为相应的十六进制数。

22347÷16=146 余数为11（十六进制为B）
146÷16=9 余数为2
9÷16=0 余数为9
再逆序排列所得余数，得(92B)16。

再看一道加深印象：
【例】把十进制数(31791)10转化为相应的十六进制数
31791÷16=1986 余数为15（F）
1986÷16=124 余数为2
124÷16=7 余数为12（C）
7÷16=0 余数为7
逆序排列所得余数，得(7C2F)16。

好了最后四道练习：
【练习】把下列十进制数转换为相应的十六进制数：
（1）(3456)10;（2）(6543)10；（3）(5211)10；（4）(2134)10;
最后来看我们2011年考过的那道真题：
28．下列四个不同进制表示的数中，最大的是（A．二进制11011101 ）A．二进制11011101
B．十进制219
C．八进制334
D．十六进制DA
首先，这道题四个选项对应这四个不同的进制，要想比较他们的大小，我们要把他们化成同一进制进行比较。

方便起见，我们把它们化成我们最熟悉的十进制数：
B十进制219，所以不用转化；
最后十进制下：
A.221;
B.219;
C.220;
D.218;
自然答案就是A二进制11011101。