共形映射的概念

若w f (z)在D内每一点都是共形的， 则称f (z)在区域D内是共形映射.
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定理 1： 若w f ( z)在z0点解析且f '( z0 ) 0,
则w f ( z)是共形映射，且Argf '(z0 ) 为转动角, f '( z0 ) 为伸缩率；
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例3 讨论解析函数f (z) z，f (z) az b，f (z) z2和f (z) ez
o
C1
x
o
1
x
注： f (z)在在z 0处显然不保角
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而且由于f (z) z2在上半平面0 arg z (0 arg z )
上是单叶函数，故在上半平面构成一个共形映射 (4) f (z) ez 0 w ez在z平面处处保角.
y
2
o
x
因此w ez在上述带形区域内是共形的；
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Argz2 '(t0 ) Argz1 '(t0 ) = Argw2 '(t0 ) Argw1 '(t0 )
分析：
Argf '(z0 ) Argw1 '(t0 ) Argz1 '(t0 ) Argf '(z0 ) Argw2 '(t0 ) Argz2 '(t0 )
性质1： 函数f (z)解析，且f (z0 ) 0，则f (z)将 相交于z0点的任意两条曲线映射后形成 两条曲线对应夹角不变。
[3] Tristan Needham,Visual Complex Analysis [M]. Clarenden Press, Oxford,
1997. 齐民友译 (《可视复分析》).
[4] R.Schinzinger, Patricio A.A.Laura, Conformal Mapping: Methods and Applications, Dover Publications [M], Inc.Mineola,New York,2003.
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共
形 映
第 一 节
射
1. 有向曲线的切向量 2.解析函数导数的几何意义
3.共形映射 4.参考文献
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1. 有向曲线的切向量
设连续曲线C : z z(t ), t [ , ], 其正向取
t增大时，点z移动的方向。
z' ( t 0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
夹角, 记作.
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导数辐角Argf' z 的几何意义：
Argf '(z0 )是任意一条过z0的曲线C经过w f (z)映射后 在点z0的转动角。
结论2：解析函数在导数不为零的点具有转动角 不变性。(即f (z)在z0点的转动角不随曲线C的形 状和方向的变化而改变，由z0唯一决定。)
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的保角性与共形性.
解: (1) f (z) z f (z) 1 0 z 上共形；
(2) f (z) az b 如果f (z) a 0，则在z 上共形；
(3) f (z) z2 当f (z) 2z 0，即z 0时
f (z)z \ {0}上处处保角；
y
y
C2
f (z) z2 2
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[7]Sen Wang, et.al., Conformal Geometry and Its Applications on 3D Shape Matching, Recognition, and Stitching [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2007,29(7): 1209-1220.
z0
o
T w f ( z )
x
o
w0
T'
u
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分析：
w '(t0 ) f '( z0 ) z '(t0 ) 0
Argw '(t0 ) Argf '(z0 ) Argz '(t0 )
Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz '(t0 )
规定：曲线C经过映射w f (z)映射后在z0的转动角 即为C和映射后的曲线在z0和w0处的切线正向之间的
方向的切线方向变成w平面上哪一个切线方向?
解：f ' (z) 2z 1 f ' ( 1 2i) 4i,
故转动角：Argf
' (
1
2 2i)＝Arg (4i)
2
2
y (z)
z0
伸缩率： f ' ( 1 2i) ＝4
2
由导数辅角的几何意义：
w0
17 4
0
x
映射将切线变化为： w x ( 1 x 17 )i, x R，方向如图。 4 16
(2)补充定义，使线性函数在扩充复平面上有定义
当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时，在z 时，定义w .
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w eiz ec2 it ec2 eit u 2 v2 e2c2 ,
而w eiz在z平面解析, 且 dw ieiz 0, dz
因直线族 Re z c1与 Im z c2互相正交,
故直线族v u tan c1与圆周族u 2 v2 e2c2 互相正交.
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3. 共形映射
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性分
第
映式二 射线节
1.分式线性映射的定义 2.分式线性映射的性质
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1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1)
cz d
称为分式线性映射，其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1)w' (cz d )2
，故ad bc 0是必要的。
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2解析函数模 | f (z) |的几何意义:
设z z z0 rei , w w w0 ei，
y
(z)
C
z
v (w)
w
w f (z)
w
z
z0
s
w0
o
x
o
u
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分析：
z
lim
1
z 0 s
w
lim
1
z 0
f
'( z0 )
lim z 0
w
s
s z
lim
z0 s
lim
z 0
s
称为曲线C在z0的伸缩率:
|f ( z0 )|
性质2：解析函数f (z)，f '(z0 ) 0，则f (z)在z0 点具有保伸缩率不变性。
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例1
试求函数w
f (z)
z 2 z 对应的映射在点z0
1 2i 2
处的转动角和伸缩率, 此映射将过点z0的平行于向量oz0正
[9]K. Abdella, X. Yu, I. Kucuk, Application of the Sinc method to a dynamic elasto-plastic problem [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, (223): 626–645.
[5] Miroslav Markovic,et.al.,Analyzing an Electromechanical Actuator by SchwarzChristoffel Mapping [J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2004,40, (4):1858-1863.
[6] E.B. Saff,A.D.Snider,Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science (Third Edition) [M]. Pearson Education, Inc., 2003. (《复分析基础及工程应用》机械工业出版社，2007)
定义1 保角映射： 若函数w f ( z) 在点z0的邻域内有定义, 且在
点z0具有保角性和保伸缩率不变性，则称映射 f (z)在z0处是保角的。
若w f (z) 在区域D内的每一点都是保角的， 则称函数f (z)是区域D内的保角映射。
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定义2 共形映射：
如果w f (z) 在区域D内是单叶且保角的, 则称变换w f (z) 在区域D内是共形的,也称 它为D内的共形映射.
有向光滑曲线C D :
C : z z(t), t [ , ]，t0 ( , ), z '(t0 ) 0，z0 z(t0 )
w f (z)
: w(t) f (z(t)), w0 f (z0 ) w(t0 )
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y (z) C : z z(t )
v (w)
: w f [z(t )]
(2) 两条相交于一点的曲线正向之间的夹角就是它们在交点处的两条正
向切向量之间的夹角.
y (z) C2 :z z2 (t)
z0
o
C1 :
zHale Waihona Puke Baidu
z1
(t
)
x
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2. 解析函数导数的几何意义
1解析函数导数的辐角Argf (z)的几何意义：
设w f (z)在区域D内解析, z0 D, 且f '(z0 ) 0,
y (z)
C2
v
C1
z0
w f (z)
(w) 1
2
w0
o
x o
u
w f (z)
C1 : z z1 (t ), z0 z1 (t0 )
1 : w w1 (t ), w0 w1 (t0 )
w f (z)
C2 : z z2 (t ), z0 z2 (t0 )
2 : w w2 (t ), w0 w2 (t0 )
)
y
若z '(t0 ) 0, t0 ( , ), P0 ,
P C , 割线P0 P的正向对应 于参数t增大的方向。
z '(t0 )：切向量
o
(z) C : z z(t )
P
z(t0 +t)
T
P0
z(t0 )=z0
x
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结论1:
(1) Argz '(t0 ): 为曲线C : z z(t)在z(t0 )点的切向量 的倾角；
[8]Yves-Marie Scolan,Stéphane Etienne, On the use of conformal mapping for the computation of hydrodynamic forces acting on bodies of arbitrary shapeinvisco -us Flow, Part 1: simply connected body [J]. Journal of Engineering Mathematics, 2008,(60):209–220.
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回顾实函数的导数：
f
( x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
y
应用：微分中值定
理、函数单调性、
极值与最值、凸性
等
f (x)
P0
x
x0
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复变函数的导数：
f
( z0
)
lim
z z0
f (z) f (z0 ) z z0
分析：
Argf ( z0 ), | f ( z0 ) |
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例2 试证w eiz 将互相正交的直线族 Re z c1与
Im z c2，依次变为互相正交的直线族v u tan c1
与圆周族u 2 v2 e2c2 .
证明： Re z c1 z c1 ti, 其像为：
w eiz etc1i et ec1i v u tan c1, Im z c2 z t ic2 其像为：
但在宽度超过2的平行于实轴的带形区域区域内是
不共形的，因而在整个z平面是不共形的。
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共形映射应用：
l1
z0
l2
l1
w f (z)
w0
l2
f (z)在z0共形
，且 l1 l2
l1 l2
| f ( z0 ) |
相似曲边三角形
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定理2 保域定理
设函数w=f(z)在区域D内单叶解析，则D的像 G =f(D)也是一个区域；并且其反函数z= f 1(w)
在区域G内单叶解析，并有:
( f 1)' (w0 )
f
1 '(z0 )
(z0 D, w0 f (z0 ) G)。
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4.参考文献
[1] 钟玉泉. 复变函数论 [M]. 北京: 高等教育出版社, 1987 [2] 曹伟杰. 保形变换理论及其应用 [M]. 上海: 上海科学技术文献出版社,1988
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共形映射
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应应用用与与理理论论
应用共形映射成功地解决了流体力学、弹性力 学、电学理论、同轴测量线的设计问题、3D模型变 形、脑体映射以及其他方面的许多实际问题。
2008年，伦敦皇家大学应用数学系主任达伦·克 劳迪(Darren Crowdy)教授在著名的施瓦茨－克里
斯托费尔映射研究中取得突破进展。