第二章序列的Z变换与傅里叶变换.ppt

n2
n2
| x(n)zn | ＜ | x(n)z2n | ＜
n
n
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有负幂项， |z|= 0时级数收敛，因此收敛域 包括0点，即为
0 ≤ |z| ＜ Rx+
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左边序列（非因果）的收敛域
当n2＞0时，序列为非因果序列
n2
1
n2
X (z) | x(n)zn | | x(n)zn | | x(n)zn |
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有限长序列
有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零
的有限值，在此区间外序列值都为零
Z变换
n2
X (z) x(n)zn
nn1
要求：在有限区间内级数的每一项都有界，
则有限项的和有界，级数就收敛。
x(n)有界
开域
| x(n)zn |＜+
| zn |＜+
0＜| z |＜+
边界讨论：z= 0及z= ∞两点是否也收敛与n1、n2取
X (z)
(az 1 ) n
n0
1
1 az
1
z, za
| z |ห้องสมุดไป่ตู้| a |
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Z变换的收敛域
收敛域: 对于给定的任意序列x(n)，使其Z
变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 根据级数理论，式(2.1)收敛
的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即
| x(n)zn |＜
n
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限 值，在此区间外序列值都为零
Z变换
n2
X (z) x(n)zn n
(2.6)
假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z2|上绝对收敛
n2
| x(n)z2n | ＜
n
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左边序列（逆因果）的收敛域
假设：z是圆内任意一点，即|z|＜|z2|
当n2≤ 0时，序列为逆因果序列
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
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2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域， 不同形式的序列其收敛域不同 。 有限长序列：0≤|z|＜+∞ 或 0＜|z|≤+∞
右边序列： Rx-＜|z|＜+∞ 左边序列： 0＜|z|＜Rx+ 双边序列： Rx- ＜|z|＜ Rx+
n
n1
讨论：
当n1≥0时，序列为因果序列
X (z) | x(n)zn | ＜ | x(n)z1n | ＜
nn1
nn1
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有正幂项， |z|= +∞时级数收敛，因此收敛 域包括∞点，即为
Rx-＜|z|≤+∞
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右边序列（非因果）的收敛域
当n1＜ 0时，序列为非因果序列
n
n
n0
X1(z) X2(z)
显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z) 的值 有限，而级数X1(z) 收敛。所以，级数X(z)的收 敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即
0＜|z|＜ Rx+
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例：求左边序列的Z变换
例2.3 求序列 x(n) anu(n 1) 的Z变换。
解：
1
X (z) an zn (az)n
因果序列的Z变换: 单边Z变换可以看成因 果序列情况下的双边Z变换
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Z平面与单位圆
Z平面: Z变换定义式中z所在的复平面，
z是一个连续复变量，具有实部和虚部
变量z的极坐标形式
z | z | ej
单位圆:
在Z平面上|z|= 1为半径的圆
单位圆上的参数可表示为 z ej
8
例: 求序列的Z变换
值情况有关。 （具体见教材p40与例题）
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例：求有限长序列的Z变换
例2.2 求序列 x(n) anRN (n) 的Z变换。 解：根据Z变换的定义
X (z)
N 1
an zn
n0
N 1
(az 1)n
n0
1
1
(az 1 ) az1
N
讨论：
假设|a|是有限值，且|a|＜1。
X(z)有一个z= a的极点，但也有 一个z= a的零点，将零极点对消。
收敛域为0＜|z|≤+∞。
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右边序列
右边序列只在有限区间n≥n1 内具有非零的有 限值，在此区间外序列值都为零
Z变换
X (z) x(n)zn nn1
(2.5)
假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛
| x(n)z1n |＜
nn1
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右边序列（因果）的收敛域
假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1|
Z变换及其收敛域的定义 几种序列的Z变换及其收敛域 逆Z变换 Z变换的性质和定理 利用Z变换求解差分方程
6
2.2.1 Z变换及其收敛域的定义
序列的Z变换定义
双边Z变换
X (z) [x(n)] x(n)zn n
单边Z变换
X1(z) 1[x(n)] x(n)zn n0
(2.1) (2.2)
第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
本章目录
序列的Z变换 序列的傅里叶变换 序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯
变换、傅里叶变换的关系 Matlab实现
2
2.1 引言
信号与系统的分析方法:
时域分析 变换域分析
连续时间信号与系统
信号用时间 t的函数表示 系统用微分方程描述
离散时间信号与系统
例2.1 求序列 x(n) anu(n) 的Z变换。
解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义
X (z) x(n)zn an zn (az1)n
n
n0
n0
1 az1 (az1)2 (az1)3
分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。
当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。 X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
1
X (z) | x(n)zn | | x(n)zn | | x(n)zn |
nn1
nn1
n0
X1(z) X2(z)
显然，当z取有限值时，级数X1(z) 的值有限， 而级数X2(z) 收敛。所以，级数X(z)的收敛域是 以Rx-为半径的圆的外部区域，即
Rx-＜|z|＜+∞
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左边序列
信号用序列表示 系统用差分方程描述
3
时域与频域分析
连续时间信 号与系统
时间域
傅里叶变换
推 广
拉普拉斯变换
频率域
(复频域 )
离散时间信 号与系统
时间域
傅里叶变换
推 广
Z变换
频率域
(复频域 )
4
本章主要内容
序列的Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质
5
2.2 序列的Z变换