北师大版数学高一必修4例题与探究 2.1从位移、速度、力到向量

典题精讲

例1下列说法正确的是（）

A.AB∥CD就是AB的基线平行于CD的基线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量长度等于0

D.共线向量是在同一条直线上的向量

思路解析：AB∥CD包含AB的基线与CD的基线平行和重合两种情况，故A错；相等向

量不仅要求长度相等，还要求方向相同,故B错；按定义，零向量长度等于0，故C正确；共线向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错. 答案：C

绿色通道：熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.

变式训练下列命题正确的是（）

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

思路解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假若a 与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可有a 与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，选C.

答案：C

例2如图2-1-1，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.

图2-1-1

（1）用有向线段表示与向量相等的向量；

（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.

思路分析：寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑.

答案：（1）与向量相等的向量是CE，DC.

（2）与向量AB共线的向量是CE，EC，DC，CD，DE，ED.

绿色通道：用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.

变式训练某人从A点出发向西走了200 m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450 m 到达C点，最后又改变方向向东走了200 m到达D点.

（1）作出向量AB、BC、CD(用1 c m表示100 m)；

（2）求|AD|.

解：（1）作出向量AB、BC、CD(如图2-1-2).

图2-1-2

（2）∵|AB|=|DC|，且AB与DC方向相同，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴||=|BC|=450 m.

问题探究

问题1（1）在正方形ABCD中，和相等吗？

（2）在平行四边形ABCD中，和DC相等吗？

（3）在梯形ABCD中，AB∥DC，那么AB和DC相等吗？

（4）在四边形ABCD中，和相等吗？

（5）当=时，试探索四边形ABCD有什么特殊性？

导思：从两个向量相等的定义上来分析.

探究：（1）在正方形ABCD中，和的方向相同，长度相等，故=；（2）在平行四边形ABCD中，和的方向相同，长度相等，故=；

（3）在梯形ABCD中，∥，则∥且方向相同，但是||≠||，故

和DC不相等；

（4）在四边形ABCD中，AB和DC的方向不一定相同，长度也不一定相等，故AB和DC 不一定相等；

（5）如图2-1-3所示，在四边形ABCD中，=DC，

图2-1-3 则有和方向相同且长度相等，

∴AB∥DC，并且AB=DC.

∴四边形ABCD是平行四边形，

即当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.