采用分数阶导数的高斯滤波微分算子边缘检测方法
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标， 为了同时达到平滑和边缘增强的目的， 在局部预处理领域提出了很多算法， 基本是优化抗噪声和边缘 增强的折衷， 在这方面Ｃｎｙ ａｎ 提出了最优的边缘检测滤波器近似为高斯函数的一阶导数， 即 。 琴 ｈ ＞ ＂（ ） ｘ （） １ 涯扁 ３ 这一滤波微分算子在图像处理中取得了良 好的效果， 但是无论是求梯度算子的极大值还是求拉普拉 斯算子的过零点， 都是利用了整数阶导数， 而分数阶导数， 尤其是高斯函数的分数阶导数在边缘检测中的 应用没有得到深入的讨论。本文对于采用分数阶导数的高斯算子在边缘检测中的应用进行了研究， 并与 高斯一阶微分算子进行了比较， 从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的边缘增强和细化。
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图 １ 边缘检测的一般过程
［ 收稿日 ２０－０－１ 期〕０４ ６ ７ ［ 作者简介〕 李惠光（ ４ 一） 黑龙江齐齐哈尔人， １７ ， ９ 男， 博士生导师， 主要从事控制理论与控制工程方面的 科研与教学工作。
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２ 分数阶导数高斯滤波微分算子在边缘检测中的性能分析
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１３ 分数阶导数的高斯滤波微分算子 ． 由于实际信号都是有噪声的， 边缘检测是一个病态问题， 所以在用分数阶微分算子提取边缘前， 要先
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《 冶金 自 动化》０４ ２０ 年增刊
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０ 引言
边缘是指图像局部亮度变化最显著的部分， 虽然图像边缘点产生的原因不同， 但是它们都是图像上 灰度的不连续点， 或者灰度变化剧烈的地方， 因此， 图像的边缘通常与图像亮度的一阶导数的不连续性有 关。 微分运算正是基于边缘的这种不连续性， 检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测 的基本微分算法。在边缘检测中的抗噪声方面采取的平滑滤波和增强边缘的梯度算子是相互抵触的目
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知， 变量区间为ｘ ［ ， ， 取自 Ｅ －５５ 数据长度Ｎ为１ ， ］ ７ 分数阶导数ｑ ． ０ ＝１３尺度变量。 ． （ 是一维加 ， ＝１５图４ａ ， ） 噪阶跃型边缘的图像， 分别与高斯的一阶和分数阶导数的滤波微分算子做卷积滤波微分处理。由图４ｂ， （） （比 。 较知， ） 分数阶导数的高斯滤波微分处理得到的边缘细化和定位要比 一阶导数算子方法好。
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图２ 一维无噪声阶跃型边缘
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１ 分数阶导数在边缘检测中的分析 ． ２ 在 Ｍａ 的边缘检测理论中， ｒ ｒ 首先使用大窗口的Ｇ ｕｓｎ ａｓａ 滤波器， ｉ 对图像进行低通滤波， 然后用微分 算子（ 梯度极大值和二阶导数过零点） 提取边缘（ 见图 １０ ）
式中，为微分运算的阶数， ４ 当取整数 １２ 为整数滤波微分器； 取区间［， 的分数时， ，时， 当ｑ １２ ］ 是分数阶滤
波微分器。
由式（０知， 可以将先平滑后微分运算合并为一步， １） 求出滤波函数 ｈ 的分数阶微分算子 ｈ ） （） ｘ ‘ ， ９ｘ 然后检测ｆｘ⑧ｈ （） ｆ ‘ ｘ的局部最大值， （） ９ 从而确定边缘。 常用微分平滑滤波器是高斯函数 ｈｘ ， （）见式（） １。由公式（）（）（０得出分数阶导数的高斯滤波 １，３，１） 微分算子 ｈ ） 为 （（） ｑｘ
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１ 分数阶导数的高斯滤波微分算子
１１ 分数阶微积分式 ．
本文所要涉及到的关于分数微积分的 Ｒｅ ａｎ ｉ ｖ ｌ定义为： ｉ ｎ －Ｌｏ ｉｅ ｍ ｕｌ
（ （ 一ａ ） ｒ 一ｑ ａ ｘ ）“ （ ）
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《 冶金 自动化》０４ ２０ 年增刊
采用分数阶导数的高斯滤波微分算子边缘检测方法
李惠光， 王平顺， 李国友
（ 燕山大学 电 气工程学院， 秦皇岛０６０） 河北 ６０４
〔 要〕 摘 检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测的基本算法， 但是这些算子都是利用了整数阶导数， 而分数阶导数， 尤其是高斯滤波函数的分数阶导数在边缘检测中的应用没有得到深人的研究。本文研究了分数阶导数的 高斯滤波算子在边缘检测中的 应用， 从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的 边缘细化。 〔 关甘词〕 边缘检测； 分数微分法， 分数阶高斯导函数； 边缘细化
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在拐点处的左右导数数值差别越大， 边缘就越容易看出， 边缘越明显， 边缘的差值决定了边缘的清晰 度和细化程度。定义边缘细化程度的一个比较函数 凡 ，， Ｓ 为滤波微分响应最大值的 Ｎ％处的带宽△ ｘ
１２１ 无噪一维阶跃型边缘的分数阶导数分析 ．． 令一维无噪阶跃型边缘如图 ２ 所示， 拐点位于 Ｘ ＝２０ 则数学函数描述为： ｏ 处， ０
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对信号进行平滑滤波。 平滑滤波器的脉冲传递函数用ｈ 表示， （） ｘ 对信号 ｆ 滤波， （） ｘ 滤波后的信号为 ｇ （） （） （）⑧表示卷积运算）然后再对 ｇｘ 求分数阶导数以检测边缘点。由于滤波运算与卷 ｘ ＝ ＆ｈｘ ｆ ｘ ， （）
积运算次序有如下的关系：
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《 冶金 自动化》０４ ２０ 年增刊
由图 １ 在边缘检测中， 知， 先对图像函数 ｆｘｙ用滤波函数 ｈｘｙ进行平滑滤波处理， （，） （，） 目的是得到 去噪的理想信号， 然后再作微分运算， 求出边缘。因此， 在研究分数阶导数的高斯滤波微分算子之前， 我
们先讨论无噪阶跃型边缘的分数阶导数的性质。
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标， 为了同时达到平滑和边缘增强的目的， 在局部预处理领域提出了很多算法， 基本是优化抗噪声和边缘 增强的折衷， 在这方面Ｃｎｙ ａｎ 提出了最优的边缘检测滤波器近似为高斯函数的一阶导数， 即 。 琴 ｈ ＞ ＂（ ） ｘ （） １ 涯扁 ３ 这一滤波微分算子在图像处理中取得了良 好的效果， 但是无论是求梯度算子的极大值还是求拉普拉 斯算子的过零点， 都是利用了整数阶导数， 而分数阶导数， 尤其是高斯函数的分数阶导数在边缘检测中的 应用没有得到深入的讨论。本文对于采用分数阶导数的高斯算子在边缘检测中的应用进行了研究， 并与 高斯一阶微分算子进行了比较， 从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的边缘增强和细化。
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图 １ 边缘检测的一般过程
［ 收稿日 ２０－０－１ 期〕０４ ６ ７ ［ 作者简介〕 李惠光（ ４ 一） 黑龙江齐齐哈尔人， １７ ， ９ 男， 博士生导师， 主要从事控制理论与控制工程方面的 科研与教学工作。
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（２ １）
式中， 为Ｇ ｍ ａ 数； ｒ ａ ｍ 函 Ｎ为数据长度；为微分的分数阶数。 ｑ
２ 分数阶导数高斯滤波微分算子在边缘检测中的性能分析
下面 数阶 数的 斯滤 微分 导 高 波 算子对含噪的阶 边缘滤波 用分 跃 微分。 公式（ ， ）（ ）（ ）（ ） 由 １ （ ， ０， １， ２ ）３ １ １ １
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图３ 当４ 值取区间（，） ｆｌ １ 时， ｑｘ图 ２ （）
１３ 分数阶导数的高斯滤波微分算子 ． 由于实际信号都是有噪声的， 边缘检测是一个病态问题， 所以在用分数阶微分算子提取边缘前， 要先
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设滤波函数为高斯函数 ｈ （） ｘ 值算法由式（１给出： １）
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《 冶金 自 动化》０４ ２０ 年增刊
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一 ，目 ． 一 一司一一．
０ 引言
边缘是指图像局部亮度变化最显著的部分， 虽然图像边缘点产生的原因不同， 但是它们都是图像上 灰度的不连续点， 或者灰度变化剧烈的地方， 因此， 图像的边缘通常与图像亮度的一阶导数的不连续性有 关。 微分运算正是基于边缘的这种不连续性， 检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测 的基本微分算法。在边缘检测中的抗噪声方面采取的平滑滤波和增强边缘的梯度算子是相互抵触的目
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知， 变量区间为ｘ ［ ， ， 取自 Ｅ －５５ 数据长度Ｎ为１ ， ］ ７ 分数阶导数ｑ ． ０ ＝１３尺度变量。 ． （ 是一维加 ， ＝１５图４ａ ， ） 噪阶跃型边缘的图像， 分别与高斯的一阶和分数阶导数的滤波微分算子做卷积滤波微分处理。由图４ｂ， （） （比 。 较知， ） 分数阶导数的高斯滤波微分处理得到的边缘细化和定位要比 一阶导数算子方法好。
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１ 分数阶导数在边缘检测中的分析 ． ２ 在 Ｍａ 的边缘检测理论中， ｒ ｒ 首先使用大窗口的Ｇ ｕｓｎ ａｓａ 滤波器， ｉ 对图像进行低通滤波， 然后用微分 算子（ 梯度极大值和二阶导数过零点） 提取边缘（ 见图 １０ ）
式中，为微分运算的阶数， ４ 当取整数 １２ 为整数滤波微分器； 取区间［， 的分数时， ，时， 当ｑ １２ ］ 是分数阶滤
波微分器。
由式（０知， 可以将先平滑后微分运算合并为一步， １） 求出滤波函数 ｈ 的分数阶微分算子 ｈ ） （） ｘ ‘ ， ９ｘ 然后检测ｆｘ⑧ｈ （） ｆ ‘ ｘ的局部最大值， （） ９ 从而确定边缘。 常用微分平滑滤波器是高斯函数 ｈｘ ， （）见式（） １。由公式（）（）（０得出分数阶导数的高斯滤波 １，３，１） 微分算子 ｈ ） 为 （（） ｑｘ
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１ 分数阶导数的高斯滤波微分算子
１１ 分数阶微积分式 ．
本文所要涉及到的关于分数微积分的 Ｒｅ ａｎ ｉ ｖ ｌ定义为： ｉ ｎ －Ｌｏ ｉｅ ｍ ｕｌ
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《 冶金 自动化》０４ ２０ 年增刊
采用分数阶导数的高斯滤波微分算子边缘检测方法
李惠光， 王平顺， 李国友
（ 燕山大学 电 气工程学院， 秦皇岛０６０） 河北 ６０４
〔 要〕 摘 检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测的基本算法， 但是这些算子都是利用了整数阶导数， 而分数阶导数， 尤其是高斯滤波函数的分数阶导数在边缘检测中的应用没有得到深人的研究。本文研究了分数阶导数的 高斯滤波算子在边缘检测中的 应用， 从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的 边缘细化。 〔 关甘词〕 边缘检测； 分数微分法， 分数阶高斯导函数； 边缘细化
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１２１ 无噪一维阶跃型边缘的分数阶导数分析 ．． 令一维无噪阶跃型边缘如图 ２ 所示， 拐点位于 Ｘ ＝２０ 则数学函数描述为： ｏ 处， ０
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对信号进行平滑滤波。 平滑滤波器的脉冲传递函数用ｈ 表示， （） ｘ 对信号 ｆ 滤波， （） ｘ 滤波后的信号为 ｇ （） （） （）⑧表示卷积运算）然后再对 ｇｘ 求分数阶导数以检测边缘点。由于滤波运算与卷 ｘ ＝ ＆ｈｘ ｆ ｘ ， （）
积运算次序有如下的关系：
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《 冶金 自动化》０４ ２０ 年增刊
由图 １ 在边缘检测中， 知， 先对图像函数 ｆｘｙ用滤波函数 ｈｘｙ进行平滑滤波处理， （，） （，） 目的是得到 去噪的理想信号， 然后再作微分运算， 求出边缘。因此， 在研究分数阶导数的高斯滤波微分算子之前， 我
们先讨论无噪阶跃型边缘的分数阶导数的性质。