第二章利率及利息计算
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利率（interest rate）是在指定时期内利息额同借贷 资本总额的比率，是单位货币在单位时间内的利息 水平。
2.1.1单利和复利
定义2.1 所谓单利是指只对本金计算利息，而对前期已经产 生的利息在后期不在计算利息的利息计算方式。注：在单利 条件下，每期的利息都是常数。
i 定理2.1 给定本金P，每年以利率 进行单利一次，t年后的
ie ei 1
e0.05 1
5.13 00
终值、名义利率与实际利率的计算公式
F P(1 i )mt m
F P(1 it)
1
ie
(1
i )m m
(1 ie )t 1 it
F Peit
1 ie ei
存期 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
年利率
0 0
1.71
2.07
2.25
2.70
一次，则实际利率比名义利率高多少？
8、若要使复利终值在2年后成为现值的16倍，在每半年计算一次利息的 情况下，其年利率应为多少？
2.3贴现率
所谓补偿性余额是指银行为降低经营风险，要求借款企业在银行中保持贷款限额或 按实际借用额一定比例计算最低存款余额。从银行角度上说，降低了贷款风险，但 从贷款企业角度上说，信用条件的履行使得名义利率与实际利10率00 存在一定的差额。 补偿性余额贷款实际利率的计算公式为
实际利率=名义利率／（1-补偿性余额）
（2）t 0或t 1时，单利或复利计算的终值相等。 当 0 t 1时，单利计算的终值较大，但是当利率
较低时，单利和复利 在一年内的利息差异很小。
当 t 1 时，复利计算的终值较大。
（3）复利方式几乎用于所有的金融业务，单利方式 只是用于短期计算或者不足期近似计算。
（4）在原始本金一定的条件下，单利在相等的时间 区间内产生的利息相同；复利在相等的时间区间内 具有相同的利率。
(1
i )mt m
1 ie
(1
i )m m
ie
(1
i )m m
1
i （3）如果一年内连续计算复利，利率为 ，则终值为
F P lim (1 i )m Pei
m
m
t年后的终值为
F Peit
在连续复利情形下，年实际利率为
ie ei 1
例4 求100元本金，以10 00 的利率复利两年，每季度 换算一次的终值。 解：
反解得4的年实利率为：
i
7.53
0 0
例3 现有不允许提前支取的银行定期存款，其利率（保持6年不变）如表 所示。某投资者准备存入1000元，存期为6年，计算最大收益的定期储 蓄组合的平均年利率。
存期／年
1
2
3
4
季结算名利率／0 0
5
6
7
8
解：若选择一个4年期存款和一个2年期存款，则1个货币单位的存款在第
底、第3年底，第4年底。
解：（1）若第2年底取款，年实利率仍然为 7 0 0 ；
（2）若第3年底取款，则单位存款的余额及奖励为：
(1 i)3 (1 7 00)3 (1 2 00)
反解得3的年实利率为： i 7.7100
（3）若第4年底取款，则单位存款的余额及奖励为：
(1 i)4 (1 7 00)4 (1 2 00)
例3 企业采用补偿性余额借款1000万元，名义利率为10 00 ，
补偿性余额比率为 8 00，则实际利率为
（11-080000） 10.87 00
3、一年中计息次数的影响
在一年中计息次数的影响下，所谓名义利率 是指在计息期内复利多次的利率；而实际利率是 指在计息期内只复利一次的利率。
（1）如果每年计算复利1次，一年后终值为 F P(1 i)，
（2）若存入一年半时提前支取，则
3
3
I A (1 0.08) 2 1 0.1224
IB (1 0.10) 4 1 0.1265
显然有 I A I B，所以此情况下选择方式A对储户较为有利。
例2、已知储蓄方式：年利率 7 0 0 ，在每3年底（如果存款未提前支取） 将奖励余额的 2 00 。试对以下三个取款时刻计算实际的年利率：第2年
利率是利息与本金的比值。 利率和利息是等价的。
2.1利率
本金（principal）是指贷款、存款或投资在计算利 息之前的原始金额。
利息：某方投资一定数量的货币于某个业务中，在 没有新资本投入和原始本金抽取的假设下，本金经 过一段时间将达到一个新的价值。这个新的价值与 原始本金相比产生的价值增值即为利息。
此时实际利率与名义利率相等。
（2）在实际的金融业务中，在单位计息期内（1年）要进
行多次利息结算。
季换算相当于一年换算4次，半年换算相当于一年换算
2次，月换算相当于一年换算12次。
如果已知半年换算名义利率为
12
0 0
，这就意味着半年
的实际利率为 6 00 ；如果已知月换算名义利率为12 00，这就
意味着月实际利率为 100 。
i 证明：设ie表示实际利率， 表示名义利率，t 表示时间单位，考虑1
个单位本金。
在单利条件下， i(t 1) 1 (1 it)(1 ie ) i
ie 1 it
可见，在单利条件下的实际利率是时间的递减函数。
在复利条件下，(1 i)t1 (1 i)t (1 ie )
ie i
可见，在复利条件下的实际利率与时间无关，仍等于常数的复利率。
6年底的总额为
（1 0.08）16 （ 1 0.06）8 1.5464
4
4
于是年平均利率为
1
（1 0.5464）6 1 7.54 00
因为这个结果大于两个3年期的平均年利率 7 0 0 ，所以，这种组合是最
大收益组合。
练习题
1、求本金为100元，以 6 0 0的利率：
（1）每半年计算复利一次一年的终值； （2）连续计算复利时的实际利率。
（1）存入6个月时提前支取；
（2）存入一年半时提前支取。
解：设原始本金为1个货币货币单位，并分别用 I A 和 IB 表示两种选择的
利息收入。
（1）若存入6个月时提前支取，则
1
1
I A (1 0.08) 2 1 0.0392
I B (1 0.10) 4 1 0.0241
显然有I A I B ，所以此情况下选择方式A对储户较为有利。
如果半年换算名义利率为 i ，则每次复利的实际利率为 i ，一年后终
值为
F P（1 i )2
2
2
如果每年计算复利m次，一年后终值为
t年后终值为
F P（1 i )m m
F P（1 i )mt m
i 设年实际利率为 ie ，名义利率为 ，则
P(1 ie )t
P(1
i )mt m
(1 ie )t
例膨胀2、率假为设3银0 0行，一实年际期利存率款为利率-1为0 0
2 0 0 ，而同期通货
。也就是说，存在
银行里是亏钱的，储户存入的资金实际购买力在贬值。
注：实际利率可以简单理解为名义利率与通货膨胀率 的差或者名义利率与物价上涨率的差。
2、信用条件的影响
按国际惯例，银行发放短期借款往往带有一些信用条件，而 有一些信用条件则会影响实际利率，比如：补偿性余额。
F P(1 i )mt m
100(1 0.1)42 元 4
100（1 0.025）8 元
121.84元
例4 名义利率为5 0 0 ，期限为2年，求：
（1）半年复利一次的实际年利率；
（2）连续复利的实际年利率。
解：（1）
ie
(1
i )m m
1
(1 0.05)2 1 2
5.06 00
（2）
价值F有如下关系：
F P（1 it)
定义2.2 所谓复利是指前期赚取的利息在后期会继续赚取利 息的利息计算方式。注：在复利条件下，每期的利率都是常 数。
i 定理2.2 给定本金P，每年以利率 进行复利一次，t年后的价
值F有如下关系：
F P（1 i)t
2.1.2单利方式和复利方式的区别
（1）如果利率水平为常数，那么单利条件下的实际利率是时间的递减函 数；而复利条件下的实际利率与时间无关，仍等于常数的复利率。
2.1.3名义利率和实际利率
1、通货膨胀因素的影响
名义利率是指央行或其他提供资金借贷的机构所公布的未调整通货膨 胀因素的利率，即包括补偿通货膨胀（或通货紧缩）风i 险的利率。 实际利率是指在有物价变化时扣除通货膨胀补偿以后的利率。
i r p 如果以 表示实际利率， 表示名义利率， 表示价格增长率，那么名 义利率与实际利率之间的关系为 i 1 r -1 1 p 当通货膨胀率较低时，上式可以简化为
i r- p
例1、今年借10元钱，贷款利率为 10 00（名义利率）， 明年需要还11元。假设今年的桃子价格是1元1个，那 么这10元钱可以买10个桃子，明年桃子价格是1.1元, 物价上涨率为10 00 ，那么明年还11元也只能买10个桃 子。也就是虽然多还了1元，但债权人并没有因此而获 得利润。
2、当连续计算复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3 倍？
3、经过多少时间100元的投资以利率 4 0 0累积的终值是以利率
2 0 0累积的终值的2倍？
4、已知600元投资在复利方式下两年将产生利息264元，计算 2000元以同样的实际利率投资三年的终值。
5、现有以下两种5年期的投资方式： 方式A：年利率为7 0 0 ，每半年计息一次； 方式B：年利率为 8 00，每年计息一次。 比较两种方式的投资收益，进而确定投资选择。
3.24
3.60
实际利率 1.721 2.081 2.25 2.66 3.14 3.37
2.2实际金融问题分析
2.2.1提前支取的处罚
例1、两年定期存款的年利率为10 00，在提前支取时储户可以有以下两种 选择：方式A：利率降为 8 00 ；方式B：原利率不变，扣除3个月的利息。
试对以下两种情况，给出对储户较为有利的选择：
jinrongshuxuezuoye@ 密码：jrsxzy
第2章 利率及利息计算
利率是借款人为取得资金的使用权而向资金所有人支付的报酬， 即借款人进行融资的成本。从另一个角度说，利率是资金所有 人因为出借资金而从借款人手中获得的报酬，即对资金所有人 在出借期间因为不能使用资金而蒙受损失的补偿。
6、某人需要50000元的一年期贷款，市场中有两种可能的融资机会：
方式A：一年期贷款年利率为 5 0 0；
方式B：一年期贷款年利率为 4.500 ，但是最低贷款额度为100000元。
如果一年期可能的投资利率为3 00 ，问：哪种融资方式比较有利？
7、一项100万元的借款，借款期限为5年，年利率为10 00，每半年复利
2.1.1单利和复利
定义2.1 所谓单利是指只对本金计算利息，而对前期已经产 生的利息在后期不在计算利息的利息计算方式。注：在单利 条件下，每期的利息都是常数。
i 定理2.1 给定本金P，每年以利率 进行单利一次，t年后的
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e0.05 1
5.13 00
终值、名义利率与实际利率的计算公式
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F P(1 it)
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存期 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
年利率
0 0
1.71
2.07
2.25
2.70
一次，则实际利率比名义利率高多少？
8、若要使复利终值在2年后成为现值的16倍，在每半年计算一次利息的 情况下，其年利率应为多少？
2.3贴现率
所谓补偿性余额是指银行为降低经营风险，要求借款企业在银行中保持贷款限额或 按实际借用额一定比例计算最低存款余额。从银行角度上说，降低了贷款风险，但 从贷款企业角度上说，信用条件的履行使得名义利率与实际利10率00 存在一定的差额。 补偿性余额贷款实际利率的计算公式为
实际利率=名义利率／（1-补偿性余额）
（2）t 0或t 1时，单利或复利计算的终值相等。 当 0 t 1时，单利计算的终值较大，但是当利率
较低时，单利和复利 在一年内的利息差异很小。
当 t 1 时，复利计算的终值较大。
（3）复利方式几乎用于所有的金融业务，单利方式 只是用于短期计算或者不足期近似计算。
（4）在原始本金一定的条件下，单利在相等的时间 区间内产生的利息相同；复利在相等的时间区间内 具有相同的利率。
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i （3）如果一年内连续计算复利，利率为 ，则终值为
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在连续复利情形下，年实际利率为
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例4 求100元本金，以10 00 的利率复利两年，每季度 换算一次的终值。 解：
反解得4的年实利率为：
i
7.53
0 0
例3 现有不允许提前支取的银行定期存款，其利率（保持6年不变）如表 所示。某投资者准备存入1000元，存期为6年，计算最大收益的定期储 蓄组合的平均年利率。
存期／年
1
2
3
4
季结算名利率／0 0
5
6
7
8
解：若选择一个4年期存款和一个2年期存款，则1个货币单位的存款在第
底、第3年底，第4年底。
解：（1）若第2年底取款，年实利率仍然为 7 0 0 ；
（2）若第3年底取款，则单位存款的余额及奖励为：
(1 i)3 (1 7 00)3 (1 2 00)
反解得3的年实利率为： i 7.7100
（3）若第4年底取款，则单位存款的余额及奖励为：
(1 i)4 (1 7 00)4 (1 2 00)
例3 企业采用补偿性余额借款1000万元，名义利率为10 00 ，
补偿性余额比率为 8 00，则实际利率为
（11-080000） 10.87 00
3、一年中计息次数的影响
在一年中计息次数的影响下，所谓名义利率 是指在计息期内复利多次的利率；而实际利率是 指在计息期内只复利一次的利率。
（1）如果每年计算复利1次，一年后终值为 F P(1 i)，
（2）若存入一年半时提前支取，则
3
3
I A (1 0.08) 2 1 0.1224
IB (1 0.10) 4 1 0.1265
显然有 I A I B，所以此情况下选择方式A对储户较为有利。
例2、已知储蓄方式：年利率 7 0 0 ，在每3年底（如果存款未提前支取） 将奖励余额的 2 00 。试对以下三个取款时刻计算实际的年利率：第2年
利率是利息与本金的比值。 利率和利息是等价的。
2.1利率
本金（principal）是指贷款、存款或投资在计算利 息之前的原始金额。
利息：某方投资一定数量的货币于某个业务中，在 没有新资本投入和原始本金抽取的假设下，本金经 过一段时间将达到一个新的价值。这个新的价值与 原始本金相比产生的价值增值即为利息。
此时实际利率与名义利率相等。
（2）在实际的金融业务中，在单位计息期内（1年）要进
行多次利息结算。
季换算相当于一年换算4次，半年换算相当于一年换算
2次，月换算相当于一年换算12次。
如果已知半年换算名义利率为
12
0 0
，这就意味着半年
的实际利率为 6 00 ；如果已知月换算名义利率为12 00，这就
意味着月实际利率为 100 。
i 证明：设ie表示实际利率， 表示名义利率，t 表示时间单位，考虑1
个单位本金。
在单利条件下， i(t 1) 1 (1 it)(1 ie ) i
ie 1 it
可见，在单利条件下的实际利率是时间的递减函数。
在复利条件下，(1 i)t1 (1 i)t (1 ie )
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可见，在复利条件下的实际利率与时间无关，仍等于常数的复利率。
6年底的总额为
（1 0.08）16 （ 1 0.06）8 1.5464
4
4
于是年平均利率为
1
（1 0.5464）6 1 7.54 00
因为这个结果大于两个3年期的平均年利率 7 0 0 ，所以，这种组合是最
大收益组合。
练习题
1、求本金为100元，以 6 0 0的利率：
（1）每半年计算复利一次一年的终值； （2）连续计算复利时的实际利率。
（1）存入6个月时提前支取；
（2）存入一年半时提前支取。
解：设原始本金为1个货币货币单位，并分别用 I A 和 IB 表示两种选择的
利息收入。
（1）若存入6个月时提前支取，则
1
1
I A (1 0.08) 2 1 0.0392
I B (1 0.10) 4 1 0.0241
显然有I A I B ，所以此情况下选择方式A对储户较为有利。
如果半年换算名义利率为 i ，则每次复利的实际利率为 i ，一年后终
值为
F P（1 i )2
2
2
如果每年计算复利m次，一年后终值为
t年后终值为
F P（1 i )m m
F P（1 i )mt m
i 设年实际利率为 ie ，名义利率为 ，则
P(1 ie )t
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例膨胀2、率假为设3银0 0行，一实年际期利存率款为利率-1为0 0
2 0 0 ，而同期通货
。也就是说，存在
银行里是亏钱的，储户存入的资金实际购买力在贬值。
注：实际利率可以简单理解为名义利率与通货膨胀率 的差或者名义利率与物价上涨率的差。
2、信用条件的影响
按国际惯例，银行发放短期借款往往带有一些信用条件，而 有一些信用条件则会影响实际利率，比如：补偿性余额。
F P(1 i )mt m
100(1 0.1)42 元 4
100（1 0.025）8 元
121.84元
例4 名义利率为5 0 0 ，期限为2年，求：
（1）半年复利一次的实际年利率；
（2）连续复利的实际年利率。
解：（1）
ie
(1
i )m m
1
(1 0.05)2 1 2
5.06 00
（2）
价值F有如下关系：
F P（1 it)
定义2.2 所谓复利是指前期赚取的利息在后期会继续赚取利 息的利息计算方式。注：在复利条件下，每期的利率都是常 数。
i 定理2.2 给定本金P，每年以利率 进行复利一次，t年后的价
值F有如下关系：
F P（1 i)t
2.1.2单利方式和复利方式的区别
（1）如果利率水平为常数，那么单利条件下的实际利率是时间的递减函 数；而复利条件下的实际利率与时间无关，仍等于常数的复利率。
2.1.3名义利率和实际利率
1、通货膨胀因素的影响
名义利率是指央行或其他提供资金借贷的机构所公布的未调整通货膨 胀因素的利率，即包括补偿通货膨胀（或通货紧缩）风i 险的利率。 实际利率是指在有物价变化时扣除通货膨胀补偿以后的利率。
i r p 如果以 表示实际利率， 表示名义利率， 表示价格增长率，那么名 义利率与实际利率之间的关系为 i 1 r -1 1 p 当通货膨胀率较低时，上式可以简化为
i r- p
例1、今年借10元钱，贷款利率为 10 00（名义利率）， 明年需要还11元。假设今年的桃子价格是1元1个，那 么这10元钱可以买10个桃子，明年桃子价格是1.1元, 物价上涨率为10 00 ，那么明年还11元也只能买10个桃 子。也就是虽然多还了1元，但债权人并没有因此而获 得利润。
2、当连续计算复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3 倍？
3、经过多少时间100元的投资以利率 4 0 0累积的终值是以利率
2 0 0累积的终值的2倍？
4、已知600元投资在复利方式下两年将产生利息264元，计算 2000元以同样的实际利率投资三年的终值。
5、现有以下两种5年期的投资方式： 方式A：年利率为7 0 0 ，每半年计息一次； 方式B：年利率为 8 00，每年计息一次。 比较两种方式的投资收益，进而确定投资选择。
3.24
3.60
实际利率 1.721 2.081 2.25 2.66 3.14 3.37
2.2实际金融问题分析
2.2.1提前支取的处罚
例1、两年定期存款的年利率为10 00，在提前支取时储户可以有以下两种 选择：方式A：利率降为 8 00 ；方式B：原利率不变，扣除3个月的利息。
试对以下两种情况，给出对储户较为有利的选择：
jinrongshuxuezuoye@ 密码：jrsxzy
第2章 利率及利息计算
利率是借款人为取得资金的使用权而向资金所有人支付的报酬， 即借款人进行融资的成本。从另一个角度说，利率是资金所有 人因为出借资金而从借款人手中获得的报酬，即对资金所有人 在出借期间因为不能使用资金而蒙受损失的补偿。
6、某人需要50000元的一年期贷款，市场中有两种可能的融资机会：
方式A：一年期贷款年利率为 5 0 0；
方式B：一年期贷款年利率为 4.500 ，但是最低贷款额度为100000元。
如果一年期可能的投资利率为3 00 ，问：哪种融资方式比较有利？
7、一项100万元的借款，借款期限为5年，年利率为10 00，每半年复利