3第6章 误差分析

g ( n) =
x ( n) − x
σ
g (1) =
σ
g (i ) ≥ g 0 (n, α ) (临界值)
1 − α：置信概率
α − 显著度(0.01,0.05)
该测量值含有粗大误差，剔除。
n
0.05 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44
例：一测温仪表，测量范围为0 ℃～100 ℃， 最大绝对误差为0.1 ℃,现测得温度为50.2 ℃, 实际温度为50.1 ℃，求最大示值误差、最大 引用误差。
γ xm
Δxm Δxm = ≥ γ nm = × 100% 希望x → xn x xn
6.2 随机误差的处理
6.2.1 概率分布和特征
¾2)交换法
交换法消除系统误差的原理 天平 被测物A在左,砝码B在右, A*L1=B*L2 被测物A与砝码交换位置,再平衡后 A*L2=C*L1 A=（BC）1/2 几何平均值
交换法的应用
RX R1 R3
GR
2
R3 R1 E
RX
GR
2
E
RX = R3 R3'
交换法消除了不等臂引起的系统误差。
z2.线性系统误差消除方法
G TIAN
6.1.3 名词术语
z精度或精确度
¾ 准确度：反映测量结果偏离真值的程度。 ¾ 精密度：反映测量结果重复一致的程度。 ¾ 精确度：测量结果与真值接近的程度，反映系统 误差和随机误差的综合影响程度。 z精度等级 国家标准GB776-76规定了7个等级 0.1,0.3,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0 z等精度测量：在同等条件下重复多次的测量。 z不确定度：表征测量结果分散性的参数,数值恒为正。
1 11 U 2 = ∑U i = 20.409mV 11 i =1
σ s2
1 11 2 = vi = 0.0145mV ∑ 11 − 1 i =1
再次判断粗大误差，查表得格拉布斯系数G=2.23。 Gσs2=2.23×0.0145=0.032 所有vi2均小于Gσs2, 故其它11个测量值中无坏值。
测量列数据为 x1 , x2 ,L , xd ,L , xn 若 ν d > 3σ , xd 是坏值，舍去。
6.4.2 格罗布斯准则
x1 , x2 , L xn
x(1) ≤ x(2) ≤ L ≤ x( n )
格罗布斯导出 如果
xi x=∑ i =1 n
_
n
σ =
−
∑
−
n
ν
2 i
i=1
n − 1
x − x(1)
-0.06 -0.05 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.06 0.06 0.09
③马利科夫判据（线性系差）
M = ∑ν i −
i =1 k
i = k +1
∑ν
n
i
M ≈ 0, 不含累进系统误差。 M 数值与ν i 相当或更大，有累进系统误差。
5 10
M = ∑ν i − ∑ν i = −0.23 − 0.23 = −0.46°C
i =1 i =8
(4*).周期性系统误差判定（阿卑-赫梅特准则）
设
A=
∑ν ν
i =1
n −1
i i +1
若A > n − 1σ 2
测量列中含周期性系统误差。
6.3.3 系统误差的消弱和消除
分析误差因素，测量前避免、测量中抑制、测量后削弱。
z1.恒值系统误差消除方法
¾1)代替法:用可调标准代替,等效状态下读出等价值. 例如被测电阻在电桥平衡时,用标准电阻箱取代,调节 平衡后,这是的标准电阻值给出被测电阻值.
δ
③有界性
δ ≤ 3σ ( P = 0.9973)
④抵偿性
∑δ
i =1
n
i
=0
6.2.2 随机误差的评价指标
z①算术平均值
n x1 + x2 + L + xn xi 算数平均值： x= =∑ n i =1 n _
δ i = xi − A0
∑ δ = ∑ x − nA
i =1 i i =1 i
n
n
消除定值系统误差后
Δ总 = ±
2 2 e + δ ∑i ∑ i i =1 s i =1 q
s
q
若为N次测量
1 2 Δ 总 = ± ∑ ei + N i =1
∑δ
i =1
2 i
变值系统误差e与随机误差δ互不相关。
例：用光学显微镜测量工件长度共两次，测量结 果为L1=50.026mm，L2=50.025mm，其中主 要误差如下， 随机误差：瞄准误差δ1=±0.8um， 读数误差 δ2 =±1um 变值系统误差：光学刻度尺误差e1= ±1.25um 温度误差 e2= ±0.35um 求测量结果及极限误差。
G TIAN
（A）
（B） 图6.2 打靶弹着点示意图
（C）
思考：精密度、准确度、精确度关系。它们与系 统误差、随机误差的关系。
6.1.4 误差分类及表示方法
按误差出现的规律分类： 系统误差： 随机误差、 粗大误差。
6.1.4 误差分类及表示方法
z（1）绝对误差 Δ x = x − A0 测量结果修正
②残余误差观察法（变值系差） 系统误差+随机误差,根据误差数据（曲线）可判断 出有规律变化的系统误差。 对恒温箱温度测量10次，测得数据如表，有无系 V /℃ T /℃ 差？序号
i i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.06 20.07 20.06 20.08 20.10 20.12 20.14 20.18 20.18 20.21 平均值20.12
③ 计算算术平均值的标准差
σ =
x
−
σ s2
0 . 0145 = ≈ 0 . 005 mV n 11
④ 最后测量结果可表示为
x = x ± 3σ x = 20.41 ± 0.02mV
Pa=99.73%
6.5 测量误差的合成
Δ总 = ∑ Δ i ±
i =1 r 2 2 e + δ ∑i ∑ i i =1 i =1 s q
1 12 U1 = ∑U i = 20.401mV 12 i =1 1 12 2 0.011 372 σs = vi = = 0.032mV ∑ 12 − 1 i =1 12 − 1
② 判断有无粗大误差。 采用格拉布斯准则, 已知测量次数n=12，取置信概率 Pa=0.95, 查表, 得格拉布斯系数G=2.28。 Gσs=2.28×0.032=0.073<|v6|=0.091 故 v6 应剔除, 剔除后重新计算算术平均值和标准差。
分类有 正态分布,均匀分布,t分布,梯形分布,三角分布…
f(δ)
随机误差的产生原因、分布规律、评价指标、消除方法。
根据随机误差 δ i = xi − A0 在某误差区间内概率密度函数
n→∞
1 y = f (δ ) = e σ 2π
δ2 − 2 2σ
0
δ
z正态分布 f(δ) ①对称性 ②单峰性 0
图6.3正态分布概率密度曲线
0
= （抵偿性） 0
A0 =
∑x
i =1
n
i
n
=x
_
带有随机误差的一系列等精度测量,算术平均值可作为 测量的真值。
②标准差 σ y
它决定概率密度曲线形状。 标准差越小，概率密度 曲线形状越陡，测量的 精密度越高。
σ1 σ1 < σ2 < σ3
σ2
-δ 0
σ3
+δ δ
正态分布曲线
图6.4三种不同的 σ
6.1 测量误差的概念和分类
z概念
¾测量误差=测量示值-实际值。 ¾传感器及检测系统的结果都有测量误差，都有 一定的精度要求。
50.2 ℃
温度仪
50.3℃
标准水银温度计
传感器探头 恒温油槽
图6. 1恒温油槽检定温度计的精度
6.1.2误差的来源
1 设备误差 精度不够 2 方法误差 模型缺陷 3 环境误差 状态不标准 4 人员误差 视力、情绪、操作习惯或经验不足
测量的两类问题
¾第一类问题:基本测量
9多次测量计算平均值作为最佳估计，并计算标准差 。 9间接测量根据函数关系由直接测量值求出未知量，并 由直接误差求总误差。 9当测量结果既有随机误差又有系统误差时，用误差合 成方法求出综合误差。
¾第二类问题:检测装置标定
9对检测装置(传感器或仪器仪表)需要获得全量程 范围的动静态转换关系 (数学模型)和最大误差范围。 G TIAN
∫δ e
−
+δ
−
δ2 2σ 2
图6.5单次测量列的极限误差
2 （ ± δ） P = σ 2π
∫
δ
0
e
δ2 − 2 2σ
dδ
δ 令t= ， δ = tσ σ
2 （ ± δ） P = 2π
∫e
0
t
t2 − 2
dt = 2φ (t )
计算t = 3， δ = 3σ 时 2φ （t）=0.9973 1-2φ （t）=0.0027
α = 1-p
0.01 g0（n， α ） 1.16 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.75
例：对某一电压进行12次等精度测量，测量值如下表 所示，若这些测量值已消除系统误差，试判断有无粗 大误差， 并写出测量结果。 解： ① 求算术平均值及标准差:
Δx 实际相对误差 γ A = × 100% A Δx 示值相对误差 γ x = × 100% x Δx 满度（引用）相对误差 γ n = × 100% xn
¾最大引用相对误差: 最大的绝对误差与满量程比值的百分数.
γ nm
Δxm = × 100% ≤ α % xn
要求最大引用相对误差小于仪表的精度等级 例:两台测长仪，测量长度绝对误差分别为0.8mm 0.5mm，仪器测量范围分别为200mm , 100mm, 比较测量精度。
Δx = x − A
A = x − Δx = x + C
Байду номын сангаас
C (修正值 ) = −Δ x
C值在小区间为1个数值，在较大测量范围可为数 表，存储在非易失性存储器中，自动对结果进行修 正。 例：一测温仪表，其修正值为0.1 ℃,现测得温 度为44.5 ℃, 求实际温度。
z（2）相对误差
¾绝对误差与被测量约定值之比(无量纲)。 ¾相对误差表示形 式
随机误差落在±3σ之内的概率为99.73%。
随机误差落在±3σ之外的概率为0.27%。
单次测量的极限误差
δ lim x = ±3σ
多次测量的算术平均值的极限误差
δ
lim x
_
= ±3σ _
x
σ =
x
_
σ
n
6.3 系统误差的分析
6.3.1 系统误差的产生原因 ①测量装置加工工艺因素 ② 环境因素（温度、湿度变化） ③ 测量方法因素（近似计算） ④ 测量人员因素（读数偏大、偏小） 6.3.2 系统误差的发现 ①实验对比法（恒值系差） 用高级标准计量仪器检定仪表，发现系统误差，给出 修正值。 A = xi + C
单次测量列标准差的计算
σ =
∑
n
ν
2 i
i=1
n − 1
ν
i
= xi − x
_
例：用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假设已消除系统 误差和粗大误差，得到数据为 75.01，75.04，75.00，75.03，75.09， 75.06， 75.02，75.05，75.08，75.07。 求算术平均值和标准差。
对称法 9根据随时间线性变化的特点 ，某时间点为中点，取 各对称点两次或多次读数取算术平均。 9中点正好对准时，对称的误差反号，可消除线性系 统误差。
z3.半周期测量法消除周期性系差-*反向对称法
利用半周期反向,两次测量平均后抵消
6.4 粗大误差的剔除
一般由人为因素造成误差过大的测量值称为坏 值，对应的误差为粗大误差。 6.4.1 判断方法；(莱以特)3σ准则
随机误差落在规定误差范围内的概率趋近于1的极端 误差称为极限误差。
f(δ)
极限误差的确定
随机误差δ 落在-∞ 1 σ 2π
−∞
+∞之间概率为1 0.135 0 δ2 % +∞ − 2 2σ e dδ = 1 -3σ +3σ ∫
+δ 的概率为P dδ
99.73% 0.135%
δ
随机误差落在-δ 1 P= σ 2π
求算术平均值和标准差
10
10
x=
−
∑ xi
i =1
10
= 75.045mm σ =
2 ν ∑i i =1
0.00825 = = 0.0303mm 10 − 1 n −1
为表征同一被测量多组重复测量列的算术平均值的分散性:
σ
x
_
=
σ
n
0.0303 σ_ = = = 0.0096mm x 10 n
σ
（3）测量的极限误差
$6 测量误差分析
6.1 测量误差的概念和分类 6.2 随机误差的处理 6.3 系统误差的分析 6.4 粗大误差的剔除 6.5 误差合成与分配 6.6 测量不确定度评定 6.7 数据处理的基本方法
6.1 测量误差的概念和分类
6.1.1 研究测量误差的意 义？
1. 分析误差的性质原因，寻找减小误差的途径。 2. 正确处理测量数据，合理选择和优化计算方法， 使结果—精密、准确、可靠。 3.合理设计仪器和测量方法，选用合适的测量条件, 以便在最经济的条件下得到理想的结果。