材料力学(I)第二章

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第二章 轴向拉伸和压缩
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截 面上各点处的正应力σ 都相等。
FN 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 σ = 。 A
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力 拉(压)杆内的应力 - 应力·拉
在确定了杆的轴力以后，还不能判断杆是否会因强度不足而破坏， 要判断杆是否满足强度要求，还必须知道内力的分布集度，以及材料 承受荷载的能力。杆件截面上内力的分布集度，称为应力。
Ⅰ.应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积∆A上分布 内力的平均集度即平均应力， p =
轴力背离截面FN=+F
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第二章 轴向拉伸和压缩
轴力指向截面FN=-F
用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。
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当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截面 上的轴力将各不相同。为表明横截面上的轴力随横截面 位置而变化的情况， 可用平行于杆轴线的坐标表示出横截面的位置，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘 出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图。
σ 2 > σ1
所以，最大工作应力为 σmax= σ2= -1.1 MPa (压应力）
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
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第二章 轴向拉伸和压缩
某一截面上法向分 法向分量 总应力 p 切向分量 应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。 切应力τ 正应力σ 布内力在某一点处 的集度 某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
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第二章 轴向拉伸和压缩
F (c)
F
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
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例题2-1 试作此杆的轴力图。 例题 -
(a)
等直杆的受力示意图
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第二章 轴向拉伸和压缩
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。
FN,max = FN 2 = 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
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第二章 轴向拉伸和压缩
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
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Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN = ∫ σ d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力σ，与切应力无关； (2) σ在横截面上的变化规律，横截面上各点处σ 相等 时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力 FN；横截面上各点处σ 不相等时，特定条件下也可组成轴 力FN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。 。
屋架结构简图
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（a） F/2 q=F/A F/2
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（b） F F F F
q
F/2 F/2
F
F F F
这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理 论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。 上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚 绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
F q
FR = F
FN2
∑F
x
=0 Fx1 =0 l
F F
FR = F
x1
FN2 + 2 F - FR FN2 Fx1 = −F l
Fx1 F ′′ = l
FN 2
F
x1
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第二章 轴向拉伸和压缩
F F
q=F/l F
l F +
2l
l F +
F FN 图 作业 2-1
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应力具有如下特征： *应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处， 因此，讨论应力时必须明确是在哪一截面上的哪一点 处。 *在某一截面上一点处的应力是矢量。对于应力 分量，通常规定离开截面的正应力为正，反之为负， 即拉应力为正，压应力为负。对截面内部（靠近截面） 的一点产生顺时针转向力矩的切应力为正，反之为负。 *整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的 合成，即为该截面上的内力。
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
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截面法·及轴力图 §2-2 内力 截面法 及轴力图 - 内力·截面法
Ⅰ. 内力 材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。 根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
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为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
m
∆F ，其方向和大小一般 ∆A
而言，随所取∆A的大小而不同。
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第二章 轴向拉伸和压缩
∆F dF 该截面上M点处分布内力的集度为 p = lim ∆A = dA ，其 ∆A→0
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为该截面上 m点处的总应力。
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解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力 斜截面上的内力： Fα = F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。 斜截面角度α以横截面外向法线至斜截面外向法线为 逆时针转向时为正，顺时针转向时为负。
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通过以下几步来求解正应力在截面上的变化规律：
a.考察杆件在受力后的变形情况； b.由表及里的做出杆件内部变形情况和几何假设； c.根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律； d.然后通过应力与dA之乘积的合成，即为内力的静力学关系； e.最后得到以内力表示的应力计算公式。
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第二章 轴向拉伸和压缩
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力pα相等。
斜截面上的总应力：
Fα F F pα = = = cos α = σ 0 cos α Aα A / cos α A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力， 并相应求得杆内的最大正应力。
σ max =
FN ,max A
最大轴力所在的横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为 最大工作应力。
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例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
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Ⅱ. 截面法·轴力及轴力图
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。
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横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直 于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左 边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向 截面产生缩短变形为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的 拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法 F 向力FN后用式 σ = N 求拉应力。 bδ FR FN = 2 而
d FR = ∫ ( pb ⋅ d ϕ )sinϕ = pbd 0 2
π
所以
1 pbd pd (2 ×106 Pa)(0.2 m) ( )= = σ= bδ 2 2δ 2(5 × 10-3 m) = 40 × 106 Pa = 40 MPa
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力 Ⅰ
FN1 − 50 × 10 3 N = σ1 = A1 (0.24 m ) × (0.24 m ) = −0.87 × 10 6 Pa = −0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 − 150 × 10 3 N σ2 = = (0.37 m )(0.37 m ) A2 = −1.1 × 10 6 Pa = −1.1 MPa (压应力)
F l
例题2-2：试作此杆的轴力图。 F F F F F FR F
FR = F
q=
F l 解： FR 1 2 F'=2ql F 3 1 2l 2 q l 3 F
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Biblioteka Baidu第二章 轴向拉伸和压缩
1
FR = F
F F
FN1 = F
2
q
3 F x
1
FR = F
2
FN 3 = F
3 F
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 截面法·及轴力图 §2-2 内力 截面法 及轴力图 - 内力·截面法 §2-3 应力 拉(压)杆内的应力 - 应力·拉 2杆的变形·胡克定律 §2-4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 安全因数·许用应力 §2-7 强度条件 安全因数 许用应力 - 强度条件·安全因数 §2-8 应力集中的概念 -
内容回顾：
实际结构中的某些杆件可近似为轴向拉伸压缩杆件。 ★什么是轴向拉伸和压缩杆件？ ——杆在两端各受一集中力F作用，两个力F大小相等，指向相反， 线与杆轴线重合。 其变形特征是杆将发生纵向伸长或缩短。 ★ 轴向拉伸和压缩杆件内力情况怎样？ 应用截面法分析得到： 轴向拉伸和压缩杆件横截面上内力为一轴向力Fn 轴向力的大小，可由平衡方程求得。在轴向力未知时，一般假设为正值，即 受拉。 ★ 轴向力正负号规定： 引起纵向伸长变形的轴力为正，即拉力。 引起纵向缩短变形的轴力为负，即压力。 ★并且引入轴力图来表明杆件横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况。 且作用