医用高等数学课件：定积分

y
b a
f
( x)dx
S1
S2
S3
y = f(x)
S1
S3
a
O S2
b
x
医用高等数学
二、定积分的性质
性质3-5
b
b
kf (x)dx k f (x)dx
a
a
( k 为常数).
b
b
b
性质3-6 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
性质3-7 定积分对于积分区间具有可加性
积分上限
b
n
a
f (x)dx lim 0
i 1
f (xi )Dxi
积分和
积分下限 被 积 函 数
被 积 [a, b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
医用高等数学
根据定积分的定义，曲边梯形的面积为
S
b
a
f
( x)dx
变速直线运动的路程为 S T2 v (t )dt T1
注意:(1) 定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问 题，将其一般化，就得到定积分的概念.
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定义3-3 设f (x) 在区间 [a,b]上有定义, 用 n 1 个分
点 a x0 < x1 < x2 < xn b ,将区间 [a,b] 分成 n 小区间, 记 Dxi xi xi1 (i 1, 2,n) ,任取点 xi [xi1, xi ] ,作和式
n
i2
i 1
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
(4) 取极限 当 0 n
所以
1 x2dx lim
0
0
n i 1
f (xi )Dxi
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1 3
医用高等数学
定积分的几何意义
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、 直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
n
f (xi )Dxi
i 1
记
max
1in
Dxi
,如果无论区间
[a, b]
如何分法,x i
点如
何取法,当 0 时,和式的极限存在,则称此极限为f (x)
b
在区间 [a,b] 上的定积分,记作 f (x)dx,即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (xi )Dxi
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n
路程的精确值
S
lim
0
i 1
v( i )Dti
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n
曲边梯形的面积
S
lim 0
i 1
f (x i )Dx i
n
变速直线运动的路程
S
lim
0
i 1
v( i )Dti
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
最大值及最小值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质3-10（定积分中值定理）
如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,则在 [a,b]上至少 存在一个点 x ，使
y y=f (x)
S
Oa
b
a
f
(
x )dx
S
bx
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积 的负值,即
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y a
O
S
b
x
b
a
f
(
x )dx
S
y=f (x)
b
当f(x)在区间[a,b]上时正时负,则定积分a
f
( x)dx表示
曲线y=f(x)与x 轴介于a、b之间的各部分面积的代数和.
等分,分点为
xi
i n
(i 1, 2,, n)
,小区间
[xi1, xi ]
的长度
Dxi
1 n
(2) 近似 取 xi xi
Dsi
f
(xi )Dxi
( i )2 n
1 n
y x2
(3) 求和
n
i 1
f (xi )Dxi
n i1
i n
Baidu Nhomakorabea
2
1 n
o
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1 i 1 i
nn
Dsi
1 n3
n
((34))求取和极:限曲:设边梯m形a的x{D面x积1, D近Ax2似,li为m, 0Dix1n}f,(曲x i )边Dx梯i; .形的面积为
y
n
S
lim 0
i 1
f (x i )Dx i
y=f(x)
医O用高等a 数学 xi xi xi+1
b
x
求变速直线运动的路程
设某物体做变速直线运动,其速度为 v v(t).求在时
(2) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而
与积分变量的记法无关，即
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u )du
b
(3) a b 时,规定 a f (x)dx 0
a b时,规定
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
b
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例3-36 利用定义计算定积分
n 解
(1)分割 将[0,1]
”
医用高等数学
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第二节 定积分
一、定积分的概念 二、定积分的性质 三、牛顿----莱布尼兹公式 四、定积分的换元法和分部积分法
医用高等数学
一、定积分的概念
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、 xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形.
y y=f (x)
间间隔 [T1,T2 ]内所走过的路程,其中 v(t) 为区间 [T1,T2 ]上的
非负连续函数. 路程=速度X时间
解决变速运动的路程的基本思路
把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看 作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到 路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值．
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O t0 T1 t1
ti1 i ti tn1 tn= T2 t
(1)分割 T1 t0 < t1 < t2 < < tn1 < tn T2
(2)近似 Dsi v( i )Dti
Dti ti ti1
(3)求和
n
S v(i )Dti i 1
(4)取极限
max{Dt1, Dt2, , Dtn}
Oa
b
x
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怎样求曲边梯形的面积？看下面的动画演示:
y y=f (x)
Oa
b
x
分割越细,小矩形面积的和越趋近于曲边梯形的
面积.
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求曲边梯形的面积
(1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi)
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注意：不论 a,b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
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性质3-8 如果在区间 [a,b] 上, f (x) g(x) 则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
性质3-9 设 M及 m分别是函数 f (x) 在区间[a,b]上的