数字滤波器的基本概念

m=1
k =1
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4.几点说明
(1). z(n−m) 表示原点处零极点，它到单位圆
的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量ω(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。
第五讲 数字滤波器基本概念
数字信号处理 面向专业：自动化系 授课教师：刘剑毅
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一.从线性时不变系统谈起
LTI系统可以用常系数线性差分方程表示：
N
M
∑ ak y(n − k ) = ∑ bm x(n − m )
k=0
m=0
x(n)
离散时间线性
y(n)
移不变系统
*常系数：a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数。 *阶数：y(n)变量k的最大序号与最小序号之差，如 N=N-0。 *线性：y(n-k)，x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。
H(z)就称作线性移不变系统的系统函数。
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2.频率响应
H (e jω )
单位圆 z = e jω 上的系统函数就是系统的频率响应，即 系统单位抽样响应h(n)在单位圆上的Z变换。
∞
∑ H (e jω ) = h(n)e− jωn n=−∞
对于线性移不变系统：
y(n) = x(n) ∗ h(n)
为抽样频率的一半。
2. 按单位抽样响应的类型分：
IIR滤波器（N阶）
M
∑bk z−k
H(z) =
k =0 N
∑ 1− ak z−k
k =1
特点： 1、单位冲激响应h(n)是无限长的。 2、系统函数H（z）在有限Z平面
（0 < Z < ∞ ）上有极点存在。
FIR滤波器（N-1阶）
N −1
∑ H (z) = h(n)z−n n=0
特点： 1、h（n）在有限个n值处不为零。 2、H（z）在 z > 0处收敛，极点全部 在Z=0处（N-1阶极点）， z → ∞ 时，有N-1阶零点。
二. 分析“系统”的工具
1.系统函数:
x(n)
h(n)
y((nn))
线性移不变系统的单位抽样响应h(n)
Y (z) = X (z)H (z), H (z) = Y (z) X (z)
实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位 延迟、乘以常数。
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A Formal Definition: 数字滤波器—— 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系 改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些 频率成分的器件。
举例：
X (e jω )
0
H (e jω )
H(ejω)为矩形窗时 的情形
当输入、输出均为是离散信号时，这样的滤波器称作 数字滤波器。
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用于表述滤波器的LTI系统差分方程可以改写 为如下形式：
N
M
∑ ∑ y(n) = ak y(n − k) + bk x(n − k)
k =1
k =0
因此滤波器的功能可以认为就是对输入序列 x(n) 进行一定的运算操作，从而得到输出序列 y(n) 。
对上式因式分解，并令 K = b0 a0
得：
M
M
∏ (1− cm z−1)
∏ (z − cm )
H(z) = K
m=1 N
= Kz N −M
m=1 N
∏ (1− dk z−1)
∏(z − dk )
k =1
k =1
M
∏ (e jω − cm )
H (e jω ) = Ke j(N −M )ω m=1
= H (e jω ) e j arg[ H (e jω )]
k =1
e jω e jω
G − cGm − dk
= =
ιGρGk m==ιkρe mjΦek
jθ
m
dGcGkm极零点点向向量量，，ιGρkG极m零点点指指向向向向量量。；
M
∏ ρm
因此，H (e jω ) =
K
m=1 N
;
∏ιm
k =1
arg[H (e jω )] = arg[K ] +
M
N
∑θm − ∑ Φk + (N − M )ω
ωc π ω
0
Y (e jω )
ωc π ω
0
ωc π ω
分类： 1. 按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，Ω
为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πf × T= 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s/ 2 = π 范围，这 是因为根据采样定理，带限信号的最高截止频率只能
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所谓“滤波器”就是这些“系统”。
x(n)
h(n)
y(n)
y(n) = x(n) ∗ h(n)
对其进行Z变换，得:
Y(z) = X (z)⋅ H (z)
之前主要讨论“变换”，即如何从x(n),y(n)到X(z),Y(z)或 是其他各种变换域。
滤波器则讨论“系统”，即如何从x(n)到y(n)，或是从X(z) 到Y(z)的系统分析及设计问题。
Y(z) = X (z)H(z)
Y (e jω ) = X (e jω )H (e jω )
也就是说，其输出序列的DTFT等于输入序列的DTFT与 频率响应的乘积。
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3.频率响应的几何意义
M
∑ 系统函数的一般表达式：
H(z) =
Y (z)
=
bm z −m
m=0
∑ X (z)
N
ak z−k
k =0
如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作无限长单位冲激响应(IIR)系统。
如果ak = 0(k =1, 2,", N)
M
∑ 则，H (z) = bmz−m; m=0
此时，h(n)为有限长序列的系统，称为有限长单 位冲激响应(FIR)系统。
N
∏ (e jω − dk )
k =1
系统函数 频率响应
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模：
M
∏ e jω − cm
H (e jω ) = K
m=1 N
∏ e jω − dk
相角：
k wk.baidu.com1
M
∑ arg[H (e jω )] = arg[K ] + arg[e jω − cm ]
m=1
N
∑ − arg[e jω − dk ] + (N − M )ω
2
两边取Z变换，得：
N
M
∑ ∑ ak z − k Y ( z ) = bm z − m X ( z )
k=0
m=0
M
M
∑∑ ∑∑ H (z) =
Y (z) X (z)
=
bm z−m
m=0
N
ak z−k
bm z−m
= m=0 N 1− ak z−k
k=0
k =1
只要有一个ak ≠ 0，h (n) 序列就是无限长的。