对数函数的图像与性质

专题9 对数函数的图像与性质
考点1 对数函数的概念
1．函数()()
2
5log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于( )
A ．3
B ． 3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．log (2)a y x = B ．2log 2x
y =
C ．2log 1y x =+
D ．lg y x =
考点2 对数函数的定义域与值域 3．函数(
)x
y lg 42=-的定义域是(
)
A ．()2,4
B ．()2,∞+
C ．()0,2
D ．(),2∞-
4．函数1log 82x x y
的定义域是（ ）
A ．()1,3-
B ．()0,30
C ．()3,1-
D ．()()1,00,3-
5．函数y = ）
A ．3,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．(,1]-∞
D ．3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
6．已知集合}{
13≤<-=x x A ，集合(
){
}2
|lg 2B x y x ==-，则A
B =（ ）
A ．[
B ．(
C ．[-
D ．(-
7．下列函数中，与函数y
=( )
A ．()ln f x x =
B ．()1f x x
=
C ．()||f x x =
D ．() x
f x e =
考点3 反函数
8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数________.
9．函数1()2x f x +=的反函数______
考点4 对数函数的图像
10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．图中曲线分别表示log a
y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ）
A ．a <b <d <c
B ．b <a <c <d
C ．d <c <a<b
D ．c <d <a <b
考点5 对数函数的性质
14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2log y x = B ．3y x x =+
C ．3x y =
D ．1y x
=-
15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
易错专攻
易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错） 16.若，则a 的取值范围是________．
易错点2 （易错点提醒：忽略复合函数中函数的定义域而致错）
17.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.
易错点3 （易错点提醒：忽略符合函数中的值域而致错）
18.已知函数⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 4log 2log )(5.02
，(x ∈，求： （1）求x 2log 的取值范围；（2）求)(x f 的值域．
19.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．[2，＋∞) C ．1[,2]2- D ．1
(,2]2
-
易错点4 （易错点提醒：忽略分段函数的定义域分界点而致错）
20．设函数()()21
2
log ,0
{log ,0x x f x x x >=-<，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．∪
B ．∪
C ．∪
D ．
∪
21．3(21),1
()2
log ,1
a a x a x f x x x ⎧
--<⎪=⎨⎪≥⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2]
C ．11,73
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,17⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
22．已知函数()()211,1log 1,1
a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．312
a << B ．312
a <≤
C ．32
a >
D ．32
a ≥
专题9 对数函数的图像与性质
考点1 对数函数的概念
1．函数()()
2
5log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于( )
A ．3
B ． 3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
【答案】B 【解析】 【分析】
可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入1
8
得出结果． 【详解】
因为函数()f x 为对数函数，
所以函数()f x 系数为1，即251a a +-=，即2a =或3-， 因为对数函数底数大于0， 所以2a =，()2log f x x =，
所以138f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1． 2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．log (2)a y x = B ．2log 2x
y =
C ．2log 1y x =+
D ．lg y x =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据对数函数的定义即可判断. 【详解】
由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合.
故选D
【点睛】
本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义. 考点2 对数函数的定义域与值域 3．函数(
)x
y lg 42=-的定义域是(
)
A ．()2,4
B ．()2,∞+
C ．()0,2
D ．(),2∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
由对数函数的定义域以及指数函数的性质可得函数(
)x
y lg 42=-的定义域．
【详解】
由函数(
)x
y lg 42
=-，
得到x 420->，即x 2242<=， 解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-， 故选D ． 【点睛】
本题考查了对数函数的定义域以及指数函数的性质，是基础题目．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()
f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出.
4．函数1log 82x x y
的定义域是（ ）
A ．()1,3-
B ．()0,30
C ．()3,1-
D ．()()1,00,3-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据对数底以及真数限制条件列不等式，解得结果
【详解】
3820(1,0)(0,3)1,0
10,11x x x x x x x <⎧->⎧∴∴∈-⋃⎨⎨
>-≠+>+≠⎩⎩，选D. 【点睛】
本题考查对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题。

5．函数
y = ）
A ．3,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．(,1]-∞
D ．3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数、对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】
由题意得到：12log (43)0
0431430
x x x -≥⎧⎪
⇒<-≤⎨⎪->⎩， 解得314x <≤，所以函数的定义域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 故选：B 【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
6．已知集合{|31}A x x =-<，集合(
){
}2
|lg 2B x y x
==-，则A
B =（ ）
A ．[
B ．(
C ．[-
D ．(-
【答案】D 【解析】 【分析】
先化简集合B,再求A B 得解.
【详解】
由题得(B =， 因为{|31}A x x =-<，
所以(A B =-.
故选：D 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．下列函数中，与函数y
=( ) A ．()ln f x x = B ．()1f x x
=
C ．()||f x x =
D ．() x
f x e =
【答案】D 【解析】 【分析】
求出y
=.
【详解】
y
=(0,)+∞，
0,0y
>=
>， y
=(0,)+∞，
()ln f x x =值域为R ，选项A 不正确；
()1
f x x
=
值域为(,0)(0,)-∞+∞，选项B 不正确； ()||f x x =值域为[0,)+∞，选项C 不正确；
() x f x e =值域为(0,)+∞，选项D 正确.
故选:D. 【点睛】
本题考查函数的值域，要熟练掌握简单初等函数的值域，属于基础题. 考点3 反函数
8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数()1
f x -=________.
【答案】()1
21x x -≥
【解析】 【分析】
先求得()f x 的值域,再利用反函数的求法求解即可. 【详解】
∪1x ≥,∪21log 1y x =+≥, 由21log y x =+,解得12y x -=,
故()()11
21x f x x --=≥.
故答案为：()1
21x x -≥.
【点睛】
本题主要考查了反函数的求解方法,属于基础题型. 9．函数1()2x f x +=的反函数1
()f x -=______
【答案】2log 1(0)x x -> 【解析】 【分析】 由1
2
0x y +=>可得2log 1(0)x y y =->，x 、y 互换，即可求得反函数.
【详解】 因为1
2
0x y +=>，所以2log 1(0)x y y =->，
交换x 、y 的位置可得函数1
2x y +=的反函数1
()f
x -=2log 1(0)x x ->，
故答案为：2log 1(0)x x ->. 【点睛】
本题考查指数函数的反函数的求法，属于基础题，解题时注意对数函数和指数函数的相互转化，反函数的
定义域是原函数的值域. 考点4 对数函数的图像
10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解. 【详解】
先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解. 如图所示：
故答案为C 【点睛】
本题主要考查函数图像的作法和函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析图像能力. 11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可.
【详解】
解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ，
由20x +>得2x >-，
即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础. 12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1得到a 的取值范围，当0x >时，log a y x =，由函数的单调性即可判断正确答案.
【详解】
由函数||
x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，得01a <<， 所以当0x >时，log a
y x =单调递减，排除A ，C ，D.
故选：B
【点睛】
本题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质，属于基础题.
13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ）
A ．a <b <d <c
B ．b <a <c <d
C ．d <c <a<b
D ．c <d <a <b
【答案】D
【解析】
【分析】 利用在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近，即可得解
【详解】
如图所示，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近，
可知0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查对数函数的图象是如何受底数影响的．
考点5 对数函数的性质
14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．2log y x =
B ．3y x x =+
C ．3x y =
D ．1y x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
逐一判断各选项中函数的奇偶性及单调性，可得出结论.
【详解】
对于A 选项，令()2log f x x =，定义域为{}
0x x ≠，()()22log log f x x x f x -=-==，该函数为偶
函数，当0x >时，()2log f x x =，
所以，函数()2log f x x =在区间()0,∞+上为增函数，在区间(),0-∞上为减函数；
对于B 选项，令()3g x x x =+，定义域为R ，()()()()3
3g x x x x x g x -=-+-=--=-， 该函数为奇函数，由于函数31y x =和2y x =均为R 上的增函数，
所以，函数()3
g x x x =+为R 上的增函数； 对于C 选项，函数3x y =为非奇非偶函数，且在R 上为增函数；
对于D 选项，函数1y x
=-是定义域为{}0x x ≠，该函数为奇函数，且在定义域上不单调. 故选：B.
【点睛】
本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 【答案】B
【解析】
【分析】
与中间值 0和1比较后可得．
【详解】
因为对数函数0.2log y x =是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<.
故选：B.
【点睛】
本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．
易错专攻
易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错）
16.若，则a 的取值范围是________． 【答案】),1()32,0(+∞
【解析】
试题分析：当1>a 时，032log <a 恒成立，当10<<a 时，a a a log 32log <，即3
20<<a ，所以最终a 的取值范围是),1()3
2,0(+∞ ．
考点：对数函数
【方法点睛】对应此题涉及到解对数不等式中的底数，是中档习题，一般来说，底数是未知数，所以要对底数进行讨论，分1>a 和10<<a 两种情况，然后将不等式右边的常数，同样写成同底的对数形式，按照所讨论的单调性进行比较大小，如果底数是确定的数值，化成同底的对数形式，则不需要讨论，直接按单调性比较大小．
易错点2 （易错点提醒：忽略复合函数中函数的定义域而致错）
17.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.
【答案】(]1,2
【解析】
【分析】
确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.
【详解】 0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.
故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤.
故答案为：(]1,2.
【点睛】
本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.
易错点3 （易错点提醒：忽略符合函数中的值域而致错）
18.已知函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 4log 2log )(5.02，(x ∈，求： （1）求x 2log 的取值范围；（2）求)(x f 的值域．
【答案】（1）
21log 42x ≤≤（2）1[,6]4
- 【解析】
试题分析：（1）求x 2log 的取值范围即求函数2log y x =在定义域x ∈下的值域，求解时结合函数单调性可得到其最值；（2）利用对数运算法则将函数式整理变形为关于x 2log 的二次函数，结合x 2log 的范围即二次函数的定义域求解函数的值域
试题解析：（1）设2log y x =，结合函数为增函数，当x ∈，y ⎤∈⎦
，所以x 2log 的取值范
围为⎤⎦
（2）()()220.522224()log log log 1log 2(log )3log 22x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设2log t x =则()232f t t t =-+
2log t x ⎤=∈⎦，结合二次函数对称轴32t =可得函数值域为()1[,6]4
f t ∈- 考点：1．对数函数单调性及最值；2．二次函数单调性及最值
19.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．[2，＋∞)
C ．1[,2]2-
D ．1(,2]2- 【答案】D
【解析】
分析：可看出该函数是由23t x ax a =-+和13
log y t =复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义便可建立关于a 的不等式组，解出即可.
详解：令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a,易知f (t )＝log 0.5t 在其定义域上单调递减,要使f (x )＝log 0.5 (x 2－ax ＋3a )在[1,＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1,＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即所以
即－<a ≤2.故选D.
点睛：本题考查二次函数、对数函数和复合函数的单调性，以及复合函数的定义，对数函数的定义域. 易错点4 （易错点提醒：忽略分段函数的定义域分界点而致错）
20．设函数()()21
2
log ,0
{log ,0x x f x x x >=-<，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 A ．
∪ B ．∪
C ．∪
D ．∪ 【答案】C
【解析】
试题分析：
时，，，当时，，，，
所以有，故选C ． 考点：对数函数的性质，分段函数．
21．3(21),1()2log ,1
a a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,1)
B ．(1,2]
C ．11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】
【分析】
根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数，再由临界点建立不等关系即可求解
【详解】
()f x 是R 上的增函数，∴满足21013log 1212a a a a a ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪≥--⎩，解得(1,2]a ∈
故选B
【点睛】
本题考查由函数的单调性求解参数范围，属于基础题
22．已知函数()()211,1log 1,1
a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为
A ．312a <<
B ．312a <≤
C ．32a >
D ．32
a ≥ 【答案】B
【解析】
【分析】 由函数()f x 在定义域R 上单调递增列不等式组求解。

【详解】
因为函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩
， 若函数()f x 在定义域R 上单调递增，
则()2101211log 11a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--≤+⎩，解得：312a <≤ 故选：B
【点睛】
本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点。