不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教案

教学过程与内容

教学 后记

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

一、不定积分

1不定积分的概念

原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.

原函数的个数: 若

是

在区间 上的一个原函数, 则对

，

都是

在区间 上的原函数；若

也是

在区间 上的原函数，

则必有

.

可见，若

，则

的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.

不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作

⎰dx x f )(

一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰

x a

dt t f )(是的一个

原

函数。

2不定积分的计算 (1)裂项积分法

例1：dx x x dx x x dx x x )1

21(1211122

242

4⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23

3

。 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x

x x

x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222

22222 例3：22

22

22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰

(2)第一换元积分法

22a x dx -⎰=()2

2

2

cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰

=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C

⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭

由图2.1知

22

sin cos x a x t t a a -=

=

所以

22a x dx -⎰

=

2222

arcsin 22a x a x

a x C a a

a -+⋅+=

22

2arcsin 22a x x a x C a +-+

例8:⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dt

dt t t dt t x

x dx x t 16)1(6162326

c x x x +⎪⎭

⎫

⎝⎛-++-=6361ln 216.

(4)分部积分法

当积分

⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:

)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:

(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰

xdx x n cos 等,方法是把x x e x

cos ,sin ,移到d 后面,分

部积分的目的是降低x 的次数

(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰

xdx x m n arctan 等,方法是把n

x 移到d 后面,

分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln . 例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=

⎰

⎰

⎰

2222()x

x

x x

x e

xdx x e

xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C

-++

例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫

=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰

211

ln (ln 1)dx x x C x x x -+=-++⎰

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