小世界网络
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图 5 WS 小世界网络的集聚系数和特征路径长度
NW 模型：Newman 在 WS 小世界模型的基础上，通过捷径额外链接建构了另一种小世界模型，称为 NW 小世界模型[15]。其构建方法为：在规则网络的基础上，按确定平均连接度个数，添加随机选择的点（随机网络），不再拆开规则网络的连接。实际上，NW 小世界模型是规则网络和随机网络的叠加（见图6）。
第二章 小世界网络的特性
Watts和Strogatz的开创性文章引发了研究小世界网络和Watts-Strogatz(WS)模型特性的热潮。通过进一步研究Newman和Watts对WS模型的作了改进，其中边被加入随机选取的两点之间，但却不从规则网中移除。这一模型比原始Watts-Strogatz模型容易分析，因为它不会形成孤立的群集，但是在原始模型中有可能发生。对于足够小的p和大N，这一模型等价于WS模型。接下来我们将总结关于小世界网络的主要特性。
首先,网络的现象涵盖极其广泛,因此,对网络的研究极具意义。其次,复杂网络的研究,在大量网络现象的基础上抽象出两种复杂网络:一种即小世界网络,另一种即无标度网络。这两种网络都同时具有两个基本特征:高平均集聚程度、小的最短路径。对这两种网络的研究，有利于人们理解现实世界中的网络现象。
科学家在研究复杂网络的过程中,通过在规则网络的基础上,断开其中某些顶点的链接,然后导入随机链接其中若干顶点的方法,结果构造出来的网络立刻就具有了小世界的特性。
对于规则环状网格和随机网络之间添加随机再连接的过程，没有改变图中的顶点数或者边数。N 个顶点的环，每个顶点通过随机的边连接到它的 k 个最近的邻居。我们选择一个顶点和它的边，以顺时针方向连接它和它最近的邻居，然后以概率 p 重新连接这条边到一个环上随机选择的顶点，不允许重复，否则我们不动这条边。我们通过沿着环顺时针移动来重复这个过程，在轮流的过程中每个点都要考虑到直到一圈结束。接着再考虑顺时针连接它们第二近邻顶点的边。沿着这个循环操作并且在每一圈以后逐步向远距离的邻居行进，直到原始网格中的每一条边都被考虑过（见图4）。
总的来说复杂网络是研究复杂系统的一种方法和途径，按照研究对象来分可以分为生物网络、科技网络和社会网络，它们具有很多的共同特点和特性，其中小世界特性[1,6]和无标度特性[7,8]尤其突出。
1.1.2研究复杂网络的意义
复杂网络的研究,为我们提供了一种复杂性研究的新视角、新方法,并且提供了一种比较的视野。可以在复杂网络研究的旗帜下,对各种复杂网络进行比较、研究和综合概括。
图 3 随机网络
1.2.3 小世界网络
WS 模型：1998 年，Watts 和 Strogatz 在规则网络和随机网络的基础上提出了著名的 WS 小世界网络[12]。本质上说，WS 小世界模型是在一维规则网格中引入一定随机性的网络结构，其构建方法是：在平均连接度为 k 的一维规则网络中，按顺序浏览每一个连接，并以概率 p 将连接断开，把连接的一端移到另一个随机选取的位置。虽然一些连接伸展到较远的地方，由于 p 很小，模型仍然大致维持规则结构，这些较长的连接称为捷径。
随机网络的形象化描述是，假设总数为 N 的群体，平均每人有 K 个邻居（即每个点平均与 K 个点相连，K 称为网络配位数），与每个邻居的连接都称为一个键或边，这里的连接都是双向对称的，网络中共有 NK/2 个键。于是选取 N 个点，随机连接其中一些点形成 NK/2 条边代表他们之间的联系，就构成了一个随机网络（见图3）。
My thesis introduces the process of the development of the structure theory of Small-World Network, from the regular network, random network to Small-Word Network, under the promise of the researching background of Small-Work Network. In order to make people understand the model of the small world network better, the average path length, clustering coefficient and degree distribution are also introduced in my thesis. Besides, I made some preliminary introduction about the application of Small-Word Network in Internet and public consensus.
本文为了使人们更好地了解小世界网络模型,由规则网络，随机网络逐步发展到小世界网络的过程做了简要的阐述。本文还介绍了小世界网络的平均路径长度，群集系数和度的分布，并且对于小世界网络在Internet,舆论方面的应用做了一些初步的介绍。
关键词：复杂网络 小世界网络 流言传播 Internet小世界网络
南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院
毕 业 论 文（设 计）
（ 2013 届）
题目：小世界网络
院（系、部）：信息工程学院
专 业：物理（师范）
姓 名：闵鸿华
学 号12090121
指导教师：陈亮
南京师范大学泰州学院教务处 制
摘
近年来,学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。特别是,国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。1998年Watts和Strogatz在Nature杂志上发表文章,引入了小世界(Small一World)网络模型。
数学家和物理学家在考虑网络的时候,往往只关心节点之间有没有边相连,
图1
至于节点到底在什么位置,边是长还是短,是弯曲还是平直,有没有相交等等都是他们不在意的.在这里,我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质,相应的结构叫做网络的拓扑结构.那么,什么样的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢?两百多年来,对这个问题的研究经历了三个阶段.在最初的一百多年里,科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示,例如二维平面上的欧几里德格网,它看起来像是格子体恤衫上的花纹;又如最近邻环网,它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.到了20世纪50年代末,数学家们想出了一种新的构造网络的方法,在这种方法下,两个节点之间连边与否不再是确定的事情,而是根据一个概率决定.数学家把这样生成的网络叫做随机网络,它在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络.直到最近几年,由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展,科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络.这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络(complex net-works),对于它们的研究标志着第三阶段的到来.
1.2.1 规则网络
规则模型就像一个规则可循的晶格点阵，模型中各点的连接相同。最简单的规则模型是完全有序的一维点阵。如果将一维点阵中各个点的 K 个邻居连接起来，很明显各个点的邻居又互为邻居体现集团化特征，对点阵采用循环边界条件则会形成环（如图2）。
图 2 规则网络
1.2.2 随机网络
随机网络理论由匈牙利数学家 Erdos 和 Renyi 提出，称为 ER 模型[12]，其定义为：在由 N 个顶点、N(N-1)/2 条边构成的图中，随机连接 g 条边形成一随机网络，由这样的N 个节点、g 条边组成的网络构成一个概率空间，每一个网络出现的概率相等。后来有人又提出二项式模型[13,14]，模型中节点数目 N 固定不变，任意节点对之间以概率 p 连接形成网络，这样整个网络中边的数目是一个随机变量。ER 随机图的节点度服从泊松分布，它具有较小的特征路径长度和较小的聚集系数。
图 4 WS 小世界网络随机化断边重连构造算法
由上述算法得到的网络模型的聚集系数 C(p)和特征路径长度 L(p)的特性，都可以看作是重连概率 p 的函数。图5给出了网络的聚集系数和特征路径长度随重连概率 p 的变化关系（图中对两个值作了归一化处理）。一个完全规则的最近邻耦合网络（对应于p=0）是高度聚集的，但平均路径长度很大。当 p 较小(0<p<<1)时，重新连线后得到的网络与原始的规则网络的局部属性差别不大，从而网络的聚集系数变化不大，但其特征路径长度却下降很快。我们把这种既具有较短的特征路径长度又具有较高的聚集系数的网络称为小世界网络。然而，在该模型中可能存在孤立的节点，它会造成一维网络连接的解体问题。数学上图的解体部分能被这样描述，从处于解体部分的任一节点到图中其余部分的节点没有连接，既距离是无限的。这意味着，对某一给定的 p 值，所实现的图进行节点之间最短距离平均统计时，模型中的点点之间的平均距离可能是无限的。
Abstract
In recent years, the academic research on complex networks is ascendant. In particular, two international pioneeringresearchestriggeranupsurge of considerableworkon complex networks.In1998,Wattsand Strogatzpublishedtheir original articlein the journalnamedNATURE. The small world network modelwasintroducedin this article.
Keywords:complex network Small world network Rumors spread small world network in Internet
目录
第一章 小世界网络模型的建立
1.1小世界网络的研究背景
1.1.1复杂网络
自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述.一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表真实系统中不同的个体,而边则用来表示个体之间的关系,通常是当两个节点之间具有某种特定的关系时连一条边,反之则不连边.有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的.例如,神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1];计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2].类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3,4]、交通网络[5]等等
1.2 小世界网络结构理论发展
1929 年，匈牙利作家 F.Karinthy 最早提出了“小世界现象”的论断。他认为，在地球上的任何两个人都可以平均通过一条由六位联系人组成的链条而联系起来。而后，在1967 年，美国哈佛大学社会心理学教授 Stanley Milgram 通过设计一个连锁信件实验，提出了著名的“六度分离”假说，即“小世界现象”。这体现了一个似乎很普遍的规律：在如今的信息化时代，人们之间的关系已经完全社会化，任何两位素不相识的人都可能通过“六度空间”产生必然联系或关联。这一现象表明，在看似庞大的网络中各要素之间的间隔实际上是非常“近”的，大家在世界上通过一步一步的社会相识寻找到目标的这个短链子理论普遍存在于各种社会、经济网络中，科学家们把这种现象称为小世界效应（Small-world effect）。为了用网络图来解释“六度分离”的小世界效应，，Watts 和 Strogatz在对规则网络和随机网络理论研究的基础上，于 1998 年提出了著名的 WS 小世界网络（SWN）。在此过程中小世界网络经历了如下的发展过程：
图 6 NW 小世界网络随机化重连构造算法
在 NW 模型中由于基础的规则网络的连接始终没有变化，是一种有序的连接关系，而随机连接构成的随机网络，构成一种无序的连接关系。它们的合理叠加描述了客观世界具有的这种有序和无序的混杂特征。而且由于 NW 模型中没有键断开，很好的解决了WS 模型中出现孤立点的问题。
NW 模型：Newman 在 WS 小世界模型的基础上，通过捷径额外链接建构了另一种小世界模型，称为 NW 小世界模型[15]。其构建方法为：在规则网络的基础上，按确定平均连接度个数，添加随机选择的点（随机网络），不再拆开规则网络的连接。实际上，NW 小世界模型是规则网络和随机网络的叠加（见图6）。
第二章 小世界网络的特性
Watts和Strogatz的开创性文章引发了研究小世界网络和Watts-Strogatz(WS)模型特性的热潮。通过进一步研究Newman和Watts对WS模型的作了改进，其中边被加入随机选取的两点之间，但却不从规则网中移除。这一模型比原始Watts-Strogatz模型容易分析，因为它不会形成孤立的群集，但是在原始模型中有可能发生。对于足够小的p和大N，这一模型等价于WS模型。接下来我们将总结关于小世界网络的主要特性。
首先,网络的现象涵盖极其广泛,因此,对网络的研究极具意义。其次,复杂网络的研究,在大量网络现象的基础上抽象出两种复杂网络:一种即小世界网络,另一种即无标度网络。这两种网络都同时具有两个基本特征:高平均集聚程度、小的最短路径。对这两种网络的研究，有利于人们理解现实世界中的网络现象。
科学家在研究复杂网络的过程中,通过在规则网络的基础上,断开其中某些顶点的链接,然后导入随机链接其中若干顶点的方法,结果构造出来的网络立刻就具有了小世界的特性。
对于规则环状网格和随机网络之间添加随机再连接的过程，没有改变图中的顶点数或者边数。N 个顶点的环，每个顶点通过随机的边连接到它的 k 个最近的邻居。我们选择一个顶点和它的边，以顺时针方向连接它和它最近的邻居，然后以概率 p 重新连接这条边到一个环上随机选择的顶点，不允许重复，否则我们不动这条边。我们通过沿着环顺时针移动来重复这个过程，在轮流的过程中每个点都要考虑到直到一圈结束。接着再考虑顺时针连接它们第二近邻顶点的边。沿着这个循环操作并且在每一圈以后逐步向远距离的邻居行进，直到原始网格中的每一条边都被考虑过（见图4）。
总的来说复杂网络是研究复杂系统的一种方法和途径，按照研究对象来分可以分为生物网络、科技网络和社会网络，它们具有很多的共同特点和特性，其中小世界特性[1,6]和无标度特性[7,8]尤其突出。
1.1.2研究复杂网络的意义
复杂网络的研究,为我们提供了一种复杂性研究的新视角、新方法,并且提供了一种比较的视野。可以在复杂网络研究的旗帜下,对各种复杂网络进行比较、研究和综合概括。
图 3 随机网络
1.2.3 小世界网络
WS 模型：1998 年，Watts 和 Strogatz 在规则网络和随机网络的基础上提出了著名的 WS 小世界网络[12]。本质上说，WS 小世界模型是在一维规则网格中引入一定随机性的网络结构，其构建方法是：在平均连接度为 k 的一维规则网络中，按顺序浏览每一个连接，并以概率 p 将连接断开，把连接的一端移到另一个随机选取的位置。虽然一些连接伸展到较远的地方，由于 p 很小，模型仍然大致维持规则结构，这些较长的连接称为捷径。
随机网络的形象化描述是，假设总数为 N 的群体，平均每人有 K 个邻居（即每个点平均与 K 个点相连，K 称为网络配位数），与每个邻居的连接都称为一个键或边，这里的连接都是双向对称的，网络中共有 NK/2 个键。于是选取 N 个点，随机连接其中一些点形成 NK/2 条边代表他们之间的联系，就构成了一个随机网络（见图3）。
My thesis introduces the process of the development of the structure theory of Small-World Network, from the regular network, random network to Small-Word Network, under the promise of the researching background of Small-Work Network. In order to make people understand the model of the small world network better, the average path length, clustering coefficient and degree distribution are also introduced in my thesis. Besides, I made some preliminary introduction about the application of Small-Word Network in Internet and public consensus.
本文为了使人们更好地了解小世界网络模型,由规则网络，随机网络逐步发展到小世界网络的过程做了简要的阐述。本文还介绍了小世界网络的平均路径长度，群集系数和度的分布，并且对于小世界网络在Internet,舆论方面的应用做了一些初步的介绍。
关键词：复杂网络 小世界网络 流言传播 Internet小世界网络
南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院
毕 业 论 文（设 计）
（ 2013 届）
题目：小世界网络
院（系、部）：信息工程学院
专 业：物理（师范）
姓 名：闵鸿华
学 号12090121
指导教师：陈亮
南京师范大学泰州学院教务处 制
摘
近年来,学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。特别是,国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。1998年Watts和Strogatz在Nature杂志上发表文章,引入了小世界(Small一World)网络模型。
数学家和物理学家在考虑网络的时候,往往只关心节点之间有没有边相连,
图1
至于节点到底在什么位置,边是长还是短,是弯曲还是平直,有没有相交等等都是他们不在意的.在这里,我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质,相应的结构叫做网络的拓扑结构.那么,什么样的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢?两百多年来,对这个问题的研究经历了三个阶段.在最初的一百多年里,科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示,例如二维平面上的欧几里德格网,它看起来像是格子体恤衫上的花纹;又如最近邻环网,它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.到了20世纪50年代末,数学家们想出了一种新的构造网络的方法,在这种方法下,两个节点之间连边与否不再是确定的事情,而是根据一个概率决定.数学家把这样生成的网络叫做随机网络,它在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络.直到最近几年,由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展,科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络.这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络(complex net-works),对于它们的研究标志着第三阶段的到来.
1.2.1 规则网络
规则模型就像一个规则可循的晶格点阵，模型中各点的连接相同。最简单的规则模型是完全有序的一维点阵。如果将一维点阵中各个点的 K 个邻居连接起来，很明显各个点的邻居又互为邻居体现集团化特征，对点阵采用循环边界条件则会形成环（如图2）。
图 2 规则网络
1.2.2 随机网络
随机网络理论由匈牙利数学家 Erdos 和 Renyi 提出，称为 ER 模型[12]，其定义为：在由 N 个顶点、N(N-1)/2 条边构成的图中，随机连接 g 条边形成一随机网络，由这样的N 个节点、g 条边组成的网络构成一个概率空间，每一个网络出现的概率相等。后来有人又提出二项式模型[13,14]，模型中节点数目 N 固定不变，任意节点对之间以概率 p 连接形成网络，这样整个网络中边的数目是一个随机变量。ER 随机图的节点度服从泊松分布，它具有较小的特征路径长度和较小的聚集系数。
图 4 WS 小世界网络随机化断边重连构造算法
由上述算法得到的网络模型的聚集系数 C(p)和特征路径长度 L(p)的特性，都可以看作是重连概率 p 的函数。图5给出了网络的聚集系数和特征路径长度随重连概率 p 的变化关系（图中对两个值作了归一化处理）。一个完全规则的最近邻耦合网络（对应于p=0）是高度聚集的，但平均路径长度很大。当 p 较小(0<p<<1)时，重新连线后得到的网络与原始的规则网络的局部属性差别不大，从而网络的聚集系数变化不大，但其特征路径长度却下降很快。我们把这种既具有较短的特征路径长度又具有较高的聚集系数的网络称为小世界网络。然而，在该模型中可能存在孤立的节点，它会造成一维网络连接的解体问题。数学上图的解体部分能被这样描述，从处于解体部分的任一节点到图中其余部分的节点没有连接，既距离是无限的。这意味着，对某一给定的 p 值，所实现的图进行节点之间最短距离平均统计时，模型中的点点之间的平均距离可能是无限的。
Abstract
In recent years, the academic research on complex networks is ascendant. In particular, two international pioneeringresearchestriggeranupsurge of considerableworkon complex networks.In1998,Wattsand Strogatzpublishedtheir original articlein the journalnamedNATURE. The small world network modelwasintroducedin this article.
Keywords:complex network Small world network Rumors spread small world network in Internet
目录
第一章 小世界网络模型的建立
1.1小世界网络的研究背景
1.1.1复杂网络
自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述.一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表真实系统中不同的个体,而边则用来表示个体之间的关系,通常是当两个节点之间具有某种特定的关系时连一条边,反之则不连边.有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的.例如,神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1];计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2].类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3,4]、交通网络[5]等等
1.2 小世界网络结构理论发展
1929 年，匈牙利作家 F.Karinthy 最早提出了“小世界现象”的论断。他认为，在地球上的任何两个人都可以平均通过一条由六位联系人组成的链条而联系起来。而后，在1967 年，美国哈佛大学社会心理学教授 Stanley Milgram 通过设计一个连锁信件实验，提出了著名的“六度分离”假说，即“小世界现象”。这体现了一个似乎很普遍的规律：在如今的信息化时代，人们之间的关系已经完全社会化，任何两位素不相识的人都可能通过“六度空间”产生必然联系或关联。这一现象表明，在看似庞大的网络中各要素之间的间隔实际上是非常“近”的，大家在世界上通过一步一步的社会相识寻找到目标的这个短链子理论普遍存在于各种社会、经济网络中，科学家们把这种现象称为小世界效应（Small-world effect）。为了用网络图来解释“六度分离”的小世界效应，，Watts 和 Strogatz在对规则网络和随机网络理论研究的基础上，于 1998 年提出了著名的 WS 小世界网络（SWN）。在此过程中小世界网络经历了如下的发展过程：
图 6 NW 小世界网络随机化重连构造算法
在 NW 模型中由于基础的规则网络的连接始终没有变化，是一种有序的连接关系，而随机连接构成的随机网络，构成一种无序的连接关系。它们的合理叠加描述了客观世界具有的这种有序和无序的混杂特征。而且由于 NW 模型中没有键断开，很好的解决了WS 模型中出现孤立点的问题。