矩形性质与判定教案(电子版)

形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．

矩形性质1：矩形的四个角都是直角．

矩形性质2：矩形对角线相等．

设问：如何用理论推理的方法来证明矩形的对角线相等呢？（让学生思考并提问回答，再让学生板书）

讲矩形判定定理1，对角线相等的平行四边形是矩形。

已知：在平行四边形ABCD中，AC=DB，求证：平行四边形ABCD是矩形。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC。

又∵AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB。

3．思考题：已知如图3，O 是矩形ABCD 对角线交点，

AE 平分BAD ∠，ο

120=∠AOD ，求AEO ∠的度数（让学

生板书，然后教师讲评）

八、布置作业：课本习题2 图3

板 书 设 计

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课题

19.1 矩形（2）

总序号

就来研究这些方法．

方法1：有三个角是直角的四边形是矩形．（并让学生写出推理过程。）

矩形判定方法2：对角钱相等的平行四边形是矩形．（分析判定方法2和学生一道写出证明过程。）

归纳矩形判定方法（由学生小结）：

（1）一个角是直角的平行四边形．（2）对角线相等的平行四边形．（3）有三个角是直角的四边形．

2．矩形判定方法的实际应用

除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．

3．矩形知识的综合应用。（让学生思考，然后师生共同完成）

例：已知

ABCD 的对角线AC ，BD 相交于

O ，△ABC 是等边三角形，cm 4=AB ，求这个平行

四边形的面积（图2）． 分析解题思路：（1）先判定

ABCD 为矩形．（2）

求出Rt △ABC 的直角边BC 的长．（3）计算BC AB S ⋅=．

三．小结：（1）矩形的判定方法l 、2都是有两个条件：

变成菱形？

学生活动：

通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．

生甲：将中点固定在一起，说明对角线互相平分，所以这是一个平行四边形．

生乙：转动十字架，变成菱形时，看起来对角线要互相垂直． 生丙：那就是说对角线垂直的平行四边形是菱形． 生乙：我觉得也可以说成：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

生甲：是的，这两种说法都对．对角线平分能得到平行四边形嘛．

师：同学们的研究和分析合情合理，能不能证明这个命题呢？ 生：能：如图（1）（b ）

90OB OD

AO AO AOB AOD =⎫

⎪

=⇒⎬⎪∠=∠=︒⎭

△AOB ≌△AOD ⇒AB=AD ． 又四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．

师：大家做得很好．这样，我们就得到了一个变形的判定定理．

判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 推论：对角线互相垂直，平分的四边形的是菱形． 应用举例：

【例3】如图

Y ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，

AB=5，AO=4，BO=3，求证

Y ABCD 是菱形．

证明：∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB 2=AO 2+BO 2． ∴△AOB 是直角三角形． ∴AC ⊥BD ． ∴

Y ABCD 是菱形．

议一议：下列办法画菱形采取什么原理？

先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，•得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就画出一个菱形ABCD ． 学生活动：

1．按要求画出四边形ABCD ，发现它是菱形，产生直观感受．

2．证明四边形ABCD 是菱形．

AB DC ABCD AD AB BC AB AD

=⎫⎫

⇒⎬⎪

==⎭⎪

⎪

⇒⎬⎪=⎪⎪⎭

四边形是平行四边形四边形ABCD 是菱

形．

师生总结：得菱形的第二个判定方法：

判定定理2：四边相等的四边形是菱形．

师：我们通过类比的方法得出的菱形的判定方法．请同学们完成开课时给的表格．（老师再次播放课件，加深学生对菱形、矩形的性质和判定的理解）

做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．

（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．（3）邻角相等的四边形是菱形．

（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．

（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．

（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

引导学生懂这类问题的解决方法是：认为正确的命题要进行证明，认为错误的命题要举出反例．最后得出：（1）（2）（5）（7）是正确的，其余是错误命题．

三、随堂练习

课本练习

2．解：如图,∵AB=9，AO=1

2AC=6，BO=1

2

BD=35．且

92=62+（35）2．

∴AB2=AO2+BO2．

∴△AOB是直角三角形．

∴AC⊥BD，

∴ABCD是菱形．

∴S菱形ABCD=1

2AC·BD=1

2

×12×65=365．

3．如图，因为纸条等宽，所以△ABC以BC为底的高和以AB为底的高相等，•所以AB=BC．

纸条交叉重叠在一起可得：AB∥CD，AD∥BC．

所以四边形ABCD是平行四边形．

因此可得重合的四边形ABCD是一个菱形．

五、课后作业

1．习题

2．预习正方形的判定

20.3 菱形的判定

板书设计1．菱形的判定方法

（1）定义：邻边相等的平行四边形

（2）判定定理：对角线互相垂直的平行四边形

四边相等的四边形——菱形

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