基本不等式优秀课件
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点Q作垂直于AB
B 的弦PQ，连 ab
AP,BP, a b
则半弦PQ=2____,
半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
知识要点：
1.重要不等式： a2 b2 2ab(a, b R)
当且仅当a=b时，等号成立.
2.基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
构造条件
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
谢 谢！
1.设 a >0，b >0，若
3是
3a与
3b
的等比中项，则
1 a
1 b
得最小值为（ B）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
作业
(课本100页)
1.x＞0, 当x取何值时， x 1 的值最小？最小
值是多少？
x
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x 0求 y 3x 12 的最小值.
x
练习2:若 ab 0 求 y a b 的最小值. ba
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
(1)(a 1)(b 1) 4 ab
(2)(a b)(1 1) 4 ab
例2:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x3
（1）不同点：两个不等式的适用条件不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 （3）不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三 相等”
三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值
ab a b（a 0,b 0） 2
a b 2 a（b a 0,b 0）
来自百度文库
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
角形，它们的面积总和是s1 =2—a—b—
问3：观察图形S与s1有什么样的大小
关系？ 易得，s > s ,即
D
1
a2 b2 2ab
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
Ea F
cb
a2 b2 B
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
当a = b时
a2 + b2 = 2ab
问5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b
还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们 有
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
二、新课讲解
1.思考:如果用 a,去b替换 a2 中b2的 2,ab a, b
2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
几何方法：
P
A
a o Qb
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗?
如图,AB是圆o的
直径，Q是AB上 任一点，
AQ=a,BQ=b,过
§3.4基本不等式
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=a2 b2 则正方形的面积为S=a2 b2 。
能得到什么结论?
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
代数方法：
证明:当
a
0, b
0
时,
a
2
b
ab .
证明:要证 a b ab ① 分析法
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
B 的弦PQ，连 ab
AP,BP, a b
则半弦PQ=2____,
半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
知识要点：
1.重要不等式： a2 b2 2ab(a, b R)
当且仅当a=b时，等号成立.
2.基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
构造条件
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
谢 谢！
1.设 a >0，b >0，若
3是
3a与
3b
的等比中项，则
1 a
1 b
得最小值为（ B）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
作业
(课本100页)
1.x＞0, 当x取何值时， x 1 的值最小？最小
值是多少？
x
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x 0求 y 3x 12 的最小值.
x
练习2:若 ab 0 求 y a b 的最小值. ba
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
(1)(a 1)(b 1) 4 ab
(2)(a b)(1 1) 4 ab
例2:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x3
（1）不同点：两个不等式的适用条件不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 （3）不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三 相等”
三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值
ab a b（a 0,b 0） 2
a b 2 a（b a 0,b 0）
来自百度文库
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
角形，它们的面积总和是s1 =2—a—b—
问3：观察图形S与s1有什么样的大小
关系？ 易得，s > s ,即
D
1
a2 b2 2ab
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
Ea F
cb
a2 b2 B
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
当a = b时
a2 + b2 = 2ab
问5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b
还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们 有
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
二、新课讲解
1.思考:如果用 a,去b替换 a2 中b2的 2,ab a, b
2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
几何方法：
P
A
a o Qb
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗?
如图,AB是圆o的
直径，Q是AB上 任一点，
AQ=a,BQ=b,过
§3.4基本不等式
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=a2 b2 则正方形的面积为S=a2 b2 。
能得到什么结论?
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
代数方法：
证明:当
a
0, b
0
时,
a
2
b
ab .
证明:要证 a b ab ① 分析法
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？