浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形各边的关系

精心整理浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系

作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，也是中考经常考查的一个重要的知识点。解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题

怎样把它转化为一个具体的二次函数问题。（即转化为二次函数：y=ax2+bx+c,当a＞0时

y有最小值且当x=－

2a 时，y的最小值为

2

4a

；当a＜0时，y有最大值且当x=－

2a

时，y的

最大值为：

2

4

4

ac b

a

-

）。这里我要谈的最值问题是我在教学时从一个具体特殊的直角三角形中矩形

面积的最大值问题入手，层层引入观察、猜想、探讨、论证，并总结归纳得到了在一般的三角形中矩形面积的最大值问题与三角形三边的关系以及三角形面积与三角形三边的关系，具体探讨论证过程如下。

九年级数学课本下册（北师版）有这样一个问题：在一

个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别

在两直角边上如图（1）所示：

1.如果设矩形的一边AB=x米,则AD边的长度如何表

示？

2.设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的值最

大？最大值为多少？

解：1.由（1）图易得：R t△FDC∽Rt△FAE,∴FD

FA

=

DC

AE

，

∵FD=FA—DA，AF=30米。设DC=AB=x,AE=40米。∴FA DA

FA

-

=

AB

AE

,即

30

30

AD

-

=

40

x

，解得：

AD=30-30

40

x。

2.由矩形的面积公式可得：

y=A·AB=

30

(30)

40

x x

-=-2

3030

(40)

4040

x x

-=-【22

4020

2()

22

x x

-••+-2

20

()

2

】

化简得：y=-30

40

2

304

2

4

4

x

⨯

()+

-.也可以表示为：y=﹣

30

40

2

13040

2

2

4

2

x

⨯

()⨯

-+,

即Y=-30

40

(x-20)2+300

大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在直角

边AE的一半）时,矩形面积y有最大值且最大值为300平方米(AF与AE积的四分之一)即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。或者说其面积的最大值为直角三角形面积的一半。

在上面的解答过程中我们不难发现矩形面积存在最大值时，矩形的一边必须为其所在直角边长的一半，此时矩形面积的最大值的大小也与直角边有关，并且其面积的最大值为直角三角形面积的一半。

至此，我们可以从一个具体的直角三角形得到：直角三角形中矩形面积的最大值有这种关系：当矩形一边的长为它所在直角边边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积为直角三角形

面积的一半。上面我们所说的只是一个具体特殊的直角三角形，

那么一般的直角三角形中矩形面积的最大值是否也有这种结论

呢？下面我们就针对一般的直角三角形中矩形面积的最大值的各

种情形来分析探讨论证一下。

如图（2）所示：矩形在直角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C所

对的边的长分别为a,b,c且矩形一边x在直角边CB边上与其相邻

的边为h。

证明：设矩形一边x相邻的另一边为h,（x在直角边BC上）,由图易得：b h x

b a

-

=，

所以h=b－b

a x,

设矩形的面积为y,则有：y=xh

即：y=x(b-b

a

x)=-

b

a

(x-

2

a

)2+

4

ab

。可见这种情况和我

们上面猜想的结论是相吻合的。

如图(3)要是所示：矩形的一边x在另一直角边AC上与其相邻的边为h，是否也存在同样的结论呢？

证明：同理可得;h=a－a

b x,

设矩形的面积为y,则有：y=xh

即：y=x(a-a

b

x)=﹣

a

b

(x-

2

b

)2+

4

ab

。

可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。

如图(4)所示：要是矩形的一边x在直角三角形斜边AB上与其相邻的边为h，那么这种情况又如何呢？

证明：如图（4）所示：矩形DEFG在三角形ABC中，矩形

的一边EF 在直角三角形斜边AB 上与其相邻的边为h ，∠A ,∠B,∠C 所对的边的长分别为a,b,c 。由图易得：R t △CGD ∽Rt △CBA,∴CG DG CB AB =,由题意得：GD=EF=x,CB=a,AB=c,CG=CB-GB. ∴CB GB x CB AB -=,即a GB a -=x c

， ∴GB=a-a c

x. 由图可得：在Rt △ABC 中，

SinB=AC AB =b c

. 在Rt △GFB 中，SinB=

GF GB .∴GF AC GB AB =.即：GF b a c

a x c =-， 解得：GF=()

b a a x

c c

-， 设矩形的面积为y 则:y=GF ·EF=()b a a x x c c

-⋅, 化简得：y=-221()222

ab c ab x c -+⋅ 可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。

由上可得直角三角形都有这样的结论：直角三角形中矩形面积的最大值和直角三角形各边都有这种关系：当矩形一边的长为它所在边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积为直角三角形面积的一半。

上面我们经过观察、讨论、猜想并论证了直角三角形中矩形面积的最大值与直角三角形各边有这种结论，既然直角三角形有这种规律，那么我们这时就可以大胆的设想一下是不是一般的三角形

也有相同的结论呢？（即已知三角形三边，矩形在三角形中，当矩形

一边的长为它所在边边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大

面积为三角形面积的一半）

证明：如图（5）所示：已知三角形ABC,∠A,∠B,∠C 的对边分

别为a,b,c 。.AD 为BC 边上的高，三角形ABC 中矩形的一边x 在BC

边上,另一边长为h 。

由图易得：①BD+DC=a .②BD 2+AD 2=c 2.③DC 2+AD 2=b 2.由上面三

式可解得：AD=2224442ab ac bc a b c [()+()+()]-(++)。 设矩形的一边为x 相邻的另一边为h 如图⑸所示.由图易得：AD h x AD a

-=，