极限分析与滑移线理论

• 垂直边坡临界高度
（无裂缝的垂直边坡）
B
C
已知 t , ct ,
H
刚体
刚体
v
t
上限解
外w 功外 功率1 2H 2tanvcots()图 7—A5 竖直边坡平动机制
内能消散率 w 内Ct cH osvcost
垂直边坡临界高度根据
根据 w外w内
H2Ct sinc co otsts()
求导 dH /d0 有 cr/4t/2
下限定理证明
上述两式相减得
s ( T i T i 0 ) u i d v ( s i ji 0 ) j jd i s [ C v L ( s( TiTi0n )ut ids ) g [ v t ] d L
由Drucker公式得到
(ij i0j)ij≥0
由于C≥ ntg 同时 [C (n tg ) ]v t] [≥0，
• 特征线方程 －推导 特征线方程组
极限平衡方程改写
( 1 s i n c o s 2 ) s i n s i n 2 2 s i n ( s i n 2 c o s 2 ) s i n
x
z
x z
s i n s i n 2 ( 1 s i n c o s 2 ) 2 s i n ( c o s 2 s i n 2 ) c o s
由于 v(*ij ij)*ij ≥0
上限定理证明
又 nt g≤C，则有
S L *(n tg )[ v t* ]dL * sC [ v t* ] dL *s
后两式代入第一式，有
vF iu i * d v sT iu i * d si *j i * j S L * C [ v t * ] d L *s
上限定理证明
另应设变一率机为动 容*ij ，许应的变位速移度速场率可场能u有*i ，间对断应面的，
其上的切向速度为
[
v
* t
]。虚功率方程得
v F i u i * d s T v i u i * d v s i i j * d j S ( v Ln t) g [ v t * ] d L *
关于力的极限平衡理论
力的极限平衡理论假定土体为理想刚塑 性体，依据于经典静力学中刚体平衡理论 推求极限状态解答，简称为极限平衡法。 该方法最为人们所熟悉，其突出优点是简 单，应用广泛。例如，经典土压力计算理 论，假定滑动面的土坡稳定安全系数计算， 地基极限承载力计算等。
关于极限分析理论
极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性体 或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规 则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到 某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑 性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷 载称为极限荷载。极限分析理论就是应用弹性－ 理想塑性体或刚塑性体的普遍定理－上限定理 （求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷 载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称 为极限分析法。
关于滑移线理论
土力学中的滑移线理论是从经典塑性力 学的基础上发展起来的。假定土体为理想 刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流 动规则的标准库仑材料。滑移线理论是基 于平面应变状态的土体内当达到“无限” 塑性流动时，塑性区内的应力和应变速度 的偏微分方程是双曲线这一事实，应用特 征线理论求解平面应变问题极限解的一种 方法，称为滑移线法。
x
z
x z
特征线方程推导
上式是关于 、 的一阶拟线形偏微分方
程组，直接求解这个偏微分方程组极其困 难。由于两族滑移线自己的夹角是
22()
42 2 为此可以将方程改写：以 sin()乘第一 个方程；以 -cos()乘第二个方程，然后
相加，得
特征线方程推导－空间曲面方程
以x , z ， 为变量空间曲面方程
得上限解
H 4Ct ta4 n5 (2t)
垂直边坡临界高度根据
• 下限解
x
①
x 0
H
y y
③
②
x (y H )
x y (y H ) y
y y
图 7— 9 竖 直 边 坡 静 力 场
②区域的莫尔圆
n
①区域坡底处的莫尔圆 图 7— 10 静力场中的莫尔圆
有裂缝的垂直边坡
• 上限解
（证明）
下限定理证明
证：设 ij 为真实的应力场，对应的表面力为 T得i，真u实i为应真变实率的为位移ij 速，率真场实，速由度几场何中方可程能求存 在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为
[vt]；在Su上给定速度为 u i ，在ST上给定
表面力为 T i ，给定的体力为Fi。
下限定理证明
由虚功率方程得
可以表达为
(x, z) (x, z)
求全微分（过程略）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特征线方程推导
空间曲面方程
x2tg xsinc(o s )sin()sdix n( c os())dz z2tg zcosc(o s )sin( )cdoxs( c os())dz
d 2 t g d [ s i n ( ) d x c o s ( ) d z ] c o s
水平线 α
σ τх α
γ σΧ
土体屈服条件为
（ z 2x） 2 x 2 z （ z 2x+ c c t g） 2 s in 2
滑移线概念
• 应力分量表达
当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将 一对剪破面，剪破面与大主应力的夹角为 。设大主
应力 1 与 x 轴的夹角为 ，则三个应力分量x4,2z,xz可分别
v F i u id s v T i u id v s i j id j s v C L [ v t] d Ls
又设另一静力容许的 应力场，对应的表面 力为，由虚功率方程 得
v F i u i d s T v i 0 u i d v s i 0 i jd j s ( v t L n t) g [ v t ] d L
式中，S——速度间断面；
[vt ] ——速度间断面两侧切向
速度的变化。
上、下限定理
下限定理： 在所有与静力容许的应力场满足 F（ij）0 相对应的荷载中，极限荷载最大。 （证明）
上、下限定理
上限定理：
在所有的机动容许的塑性变形位移速率场 相对应的荷载中，外功功率等于物体内能 耗散率所对应的极限荷载为最小。
单剪中能量耗散率
单元体能量耗散率单元体
•
•
Dpnnp
f cntg
•
代入
p n
.
得 D c p
总能量耗散率
材料总能量耗散率
.
D in t D lh cp lh c lvc o s
.
vcos p h是A点的速度v
在剪切面上的速度分量
能量耗散率计算
• 薄变形层上的刚体滑动－能量耗 散率
• 以对数螺线为周界的变形锲体的 能量耗散率
（推导）
上、下限定理
静力容许的应力场 设有物体V，其表面A，面力 i 和体力 f i 已知。
若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条 件，则称为静力容许应力场。 ①在体积V内满足平衡方程，即 ②在边界上满足边界条件，即 ③在体积V内不违反屈服条件，即 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的 应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许 应力场不一定是极限状态时真实的应力场。
x 2 tg x s in c (o s ) c o s ( ) z 2 tg z c o s c ( o s ) c o s ( ) 0
特征线方程推导
在xoz平面内一定存在某曲线 z = z ( x ) ，该曲
线上 和 正好满足方程；沿该线 、
上、下限定理
机动容许的位移速率场 在物体V上，若设定一组位移速率场u i ，满足以下条件，
u 则称 为机动容许的位移速率场。 ①在体积V内满足几
i 何方程，即 i*j 12(ui*,j u*j,i) ②在边界Su上满足位移边界条件，或速度边界条件， 并使外力做正功。
由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速率场必定是机动容许 的位移速率场；但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速 率场。
方向。
α族曲线
θ＋μ θ θ-μ
μμ β族曲线
σ τ
σ1 σΧ σ3
τ
τ σΧ σ σ3 σ τ
1
图6.2
滑移线与滑移线方程
线和 线的微分方程为
dz tg( )
dx
dz tg( )
dx
α族曲线
θ＋μ θ θ-μ
μμ β族曲线
σ τ
σ1
σΧ
σ3
τ
τ σ3 σ
σΧ σ τ
1
图6.2
应力平衡方程的特征线方程
上、下限定理
虚功方程与虚功率方程
虚功原理表明：对于一个连续的变形体，
任意一组静力容许的应力场和任意一组
机动容许位移场，外力的虚功等于内力
的虚功。
A T iu i* d A V F iu i* d A v i0ji* d j v
同理虚功率原理可表示为：对于任 意一组静力容许应力场和任意一组 机动容许的位移速率场，外力的功 率等于物体内虚变形功率。
即剪应力做正功率知 s (Ti Ti0)uids ≥0， 得证。
上限定理证明
上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速 率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。
证场：，设其对 i应j 为的物表体面达力到为极T限i，状u i态为的真真实实位应移力速 率场，由几何方程求得的应变率为 ij ，
真实速度场中可能有速度间断面SL，其上 的速度切向跃值为[vt]；体力为Fi。
显然只有当 u*i u i 时，上式等号成立。上限定理得到证明。
事实上，不妨设Fi,Ti 就是真正的极限荷载，对应的静力许可应力场F（ij）＝0
满足左边是外功功率，右边是能量耗散率，这就证明满足外功功率＝能量耗散率 塑性变形时的荷载最小。
上、下限定理应用举例
• 地基极限承载力 下限解 上限解
上、下限定理应用举例
正交流动规则
塑性应变率之间的关系（图）
1p 3p
F
1
F 1sintg()
3 1sin
42
屈服函数
F 1 ( 1 s) i 3 n ( 1 s) i 2 C n c o 0
或
.
p F F 1 np n tg
.
np p tg
屈服函数 F C n tg 0
两种表达同
地基承载力（下限界）
q
z z
H
H
z z
H
H
1区
2区
3区
cu
z 1、3区
2区
H
z q
上、下限定理应用举例
地基承载力（上限界）
机动许可速度场（附图：几种情况讨论） 圆弧滑动面
4 5 o 斜面
6 0 o 斜面
滑移线概念
• 基本假定 • 基本方程
平衡方程为
x yx sin
x y
xy z cos
x z
表达为
x ( 1 s i n c o s 2 ) c c t g z ( 1 s i n c o s 2 ) c c t g
xzsinsin2
式中 （ zx)+cctg 称为平均法向引用应力
2
滑移线
在平面应变问题中，平面上任 一点度有两个正交主应力，将 各点主应力方向连续地连接起 来就是主应力迹线。当土体处 于屈服状态时，每一点都存在 一对剪破面，即面和面，将平 面上各点剪破面连续地连接起 来就可以得到两族曲线，称为 滑移线（或滑动线。滑移线上 一点的切线就是该点的滑动面
极限分析与滑移线理论
概述
对于土体，滑移线理论、极限分析理论 与力的极限平衡理论同属极限状态理论的 范畴，都是求土体达到极限状态时解答的 理论方法。这些理论方法都是假定分析对 象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑 材料到达极限状态的过程，即不考虑材料 的具体应力应变关系，从而求得土体达到 极限状态时的解答，但他们各自求解问题 的视角和方法不同。
w 外 0 .5 H 2 ta ( 1 n n 2 ) v ct o ) s H ( 刚体 刚体 nH
w 内Ct cH o(s1n)vcots
t
B
A 图 7—7 不能抗拉的竖直边坡
H(2 1C tn)sinc co o ttss()
H (1 4n)C tta4 n5 (2t)
上、下限定理应用举例
A T iu i* d A V F iu i* d v v
d 0*
ijij
v
如果物体内部存在速度间断时，
其虚功率方程可表示为： A T i u i * d v F A i u i * d v v i 0 ji * d j s ( v n t) g [ v t ] ds
以上几个定理的证明可参考土力学有关 书本，这里从略。根据虚功率方程可以 证明极限分析中两个重要的定理，即上 下限定理。