构造函数在导数中的应用ppt
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—— g(x) xf (x) 已知 f (x) xf '(x) 0 如何构造函数？
15.05.2020
【即时训练 1】 （2012·南通二检）设 f(x)是定义在 R 上的可
导函数且满足 f (x) xf '(x) 0 .则不等式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 的解集
为 {x |1 x 2} ．
15.05.2020
【例 1】 （2011·辽宁·理 11 改编）函数 f (x) 的定义域为
R ， f (1) 2 ， 对 任 意 xR ， f (x) 2 ， 则 f (x) 2x 4 的 解 集
为
.
【分析】 题目特征、方法解读：题目应归结为“解抽象函数 型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个 条件能让你联想到“函数的单调性”呢？
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
即时练习：
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
执教者：棠张高级中学 史华锋
高三数学备课组
15.05.2020
【考纲阐释】
所谓“构造函数”即从无到有，即在解 题的过程中，根据题目的条件和结论特征， 不失时机地“构造”出一个具体函数，对学 生的思维能力要求都特别高，难度较大，一 般都作为填空题或解答题的压轴部分，更是 各级各类考试命题的热点之一 .
注 意 到 已 知 中 f (x) 2 ， 只 需 构 造 函 数 g(x) ， 使 得 g(x) f (x) 2 ，不难得到 g(x) f (x) 2x c （这里 C 为常数， 本题中取 C=0），进而利用 g(x) 的单调性，即可找到解题的突破口.
15.05.2020
【解析】 构造函数 g(x) f (x) 2x ，则 g(x) f (x) 2 0 ，
故 g(x) 单调递增，且 g(1) f (1) 2（1） 4 .
另 一 方 面 所 求 不 等 式 f (x) 2x 4 ， 即 转 化 为
g(x) f (x) x g(1) ，逆用单调性定义易知 x 1 ，则不等式的
解集为 (1, Baidu Nhomakorabea .
【体会与交流】 函数是如何构造出来 的？
【讨论】 已知 f (x) xf '(x) 0 如何构造函数？
∴不等式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 的解集为{x |1 x 2} .
15.05.2020
【即时训练
2】（预测题）已知函数
y
f
(x)
ln x . x
（1）求函数 y f (x) 的单调区间；
（2）比较 20162017 与 20172016 的大小，并说明理由？
【解析】由（1）知
【解析】令 g(x) xf (x) ，则 g(x) f (x) xf '(x) 0 ，
∴ g(x) 为增函数，
不 等 式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 可 化 为 x 1f ( x 1) x2 1f ( x2 1) ，
x 1
即 g(
x 1) g(
x2
1)
，由
x
1
0
x2 1 1 x 2 ，
例 3 （2010 年普通高等学校招生全国 统一考试辽宁卷理科第 21 题改编） 已知函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1. （1）当 a 1时，判断函数 f (x) 的单调 性； （2）设 a 1,如果对任意 x1, x2 (0,) ， | f (x1) f (x2 ) 4 | x1 x2 | ，求 a 的取值范 围.
【点评】 取对数在解题中的应用.
15.05.2020
【深度探究】
1.设 0 a b 1，比较 ab 和 ba 的大小.
2.
已知函数
f (x) ln x x
，某同学发现：总存在正实数 a 、
b(a b) ，使 ab ba ，则 a 的取值范围为____________.
15.05.2020
f (x)
ln x x 在 (e,+ ?
) 上是单调递减，
所以
ln 2016 2016
ln 2017 2017
，即
2017gln
2016
2016gln
2017
，
亦即 ln 20162017 ln 20172016 .
又 y ln x 在 (0,+ ? ) 上是单调递增，所以 20162017 20172016 .
15.05.2020
【即时训练 1】 （2012·南通二检）设 f(x)是定义在 R 上的可
导函数且满足 f (x) xf '(x) 0 .则不等式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 的解集
为 {x |1 x 2} ．
15.05.2020
【例 1】 （2011·辽宁·理 11 改编）函数 f (x) 的定义域为
R ， f (1) 2 ， 对 任 意 xR ， f (x) 2 ， 则 f (x) 2x 4 的 解 集
为
.
【分析】 题目特征、方法解读：题目应归结为“解抽象函数 型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个 条件能让你联想到“函数的单调性”呢？
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
即时练习：
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
15.05.2020
执教者：棠张高级中学 史华锋
高三数学备课组
15.05.2020
【考纲阐释】
所谓“构造函数”即从无到有，即在解 题的过程中，根据题目的条件和结论特征， 不失时机地“构造”出一个具体函数，对学 生的思维能力要求都特别高，难度较大，一 般都作为填空题或解答题的压轴部分，更是 各级各类考试命题的热点之一 .
注 意 到 已 知 中 f (x) 2 ， 只 需 构 造 函 数 g(x) ， 使 得 g(x) f (x) 2 ，不难得到 g(x) f (x) 2x c （这里 C 为常数， 本题中取 C=0），进而利用 g(x) 的单调性，即可找到解题的突破口.
15.05.2020
【解析】 构造函数 g(x) f (x) 2x ，则 g(x) f (x) 2 0 ，
故 g(x) 单调递增，且 g(1) f (1) 2（1） 4 .
另 一 方 面 所 求 不 等 式 f (x) 2x 4 ， 即 转 化 为
g(x) f (x) x g(1) ，逆用单调性定义易知 x 1 ，则不等式的
解集为 (1, Baidu Nhomakorabea .
【体会与交流】 函数是如何构造出来 的？
【讨论】 已知 f (x) xf '(x) 0 如何构造函数？
∴不等式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 的解集为{x |1 x 2} .
15.05.2020
【即时训练
2】（预测题）已知函数
y
f
(x)
ln x . x
（1）求函数 y f (x) 的单调区间；
（2）比较 20162017 与 20172016 的大小，并说明理由？
【解析】由（1）知
【解析】令 g(x) xf (x) ，则 g(x) f (x) xf '(x) 0 ，
∴ g(x) 为增函数，
不 等 式 f ( x 1) x 1f ( x2 1) 可 化 为 x 1f ( x 1) x2 1f ( x2 1) ，
x 1
即 g(
x 1) g(
x2
1)
，由
x
1
0
x2 1 1 x 2 ，
例 3 （2010 年普通高等学校招生全国 统一考试辽宁卷理科第 21 题改编） 已知函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1. （1）当 a 1时，判断函数 f (x) 的单调 性； （2）设 a 1,如果对任意 x1, x2 (0,) ， | f (x1) f (x2 ) 4 | x1 x2 | ，求 a 的取值范 围.
【点评】 取对数在解题中的应用.
15.05.2020
【深度探究】
1.设 0 a b 1，比较 ab 和 ba 的大小.
2.
已知函数
f (x) ln x x
，某同学发现：总存在正实数 a 、
b(a b) ，使 ab ba ，则 a 的取值范围为____________.
15.05.2020
f (x)
ln x x 在 (e,+ ?
) 上是单调递减，
所以
ln 2016 2016
ln 2017 2017
，即
2017gln
2016
2016gln
2017
，
亦即 ln 20162017 ln 20172016 .
又 y ln x 在 (0,+ ? ) 上是单调递增，所以 20162017 20172016 .