数学建模_电力生产问题

电力生产最优化问题

摘要

本文解决的是发电机使用的非线性最优化问题。为满足每日电力需求，且总成本最小，可把每天分为七个时间段，要计算一天的最小成本即是分别求出每个时间段的最小成本，从而累加得出一天的最小总成本。我们采用了LINGO 软件实现整个流程，最终求出七个时段总成本的最优解，即每天使用发电机的总成本的最小值，并进行了误差分析，模型的评价与推广。

对于问题一：对数据进行初步分析和处理后，考虑到数据的复杂性及多样性，我们应用普遍的分段思想以及最优化思想，建立二次规划模型。将每天分为7个时段，通过利用第i 时段型号j 发电机的使用数量ij X 及其功率ij Y ，并应用LINGO 程序，最终分别计算出每个时段使用发电机所花费的成本最小值min i W ，

对于问题二：本问是要在问题一的基础上加以改进，要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，即发电机在任何时刻其输出功率均要满足要求，在计算电力需求量时，发电机要按80%的输出功率计算；最终得出此情况下每天最小成本为1913537元。

最后，观察模型结果可发现，型号2与型号3发电机使用相当频繁，建议可适当增加此类发电机台数。

关键词：lingo 软件 最优化思想 二次规划模型

一．问题重述

问题背景：

电是我们这个社会不可缺少的资源之一。我们身边处处都需要电，小到电灯、电扇，大到飞机、卫星。对电力资源的合理利用是目前重要任务之一。在可持续发展的社会中，如何节约资源、提高效率是当前社会面临的重要问题之一，本题即是要求合理分配发电机使用数量，以减小发电成本的问题。

题目要求：

为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。

一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。

只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

本文要解决的问题有：

问题一：试确定在每个时段应分别使用各型号发电机的数量，以使每天的总成本最小，并求出最小总成本。

问题二：在现实生活中，用电量不可能恒定不变，所以为了更符合实际，增强方案的可行性，要求发电机要保留一定的发电能力，以应对突发情况。所以假设：在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。试确定每个时段又应分别使用各型号发电机的数量，以使每天的总成本最小，并求出此时的最小总成本。

二．模型的假设

假设1：在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。

假设2：发电机工作期间不发生任何故障。

假设3：发电机之间的摩擦不消耗功率。

假设4：发电机输出过程其功率始终保持不变。

假设5：关闭发电机过程不做任何考虑。

假设6：关闭和启动发电机时均是瞬时完成，不记相应使用的时间。假设7：发电机自身不消耗功率。

G相等。

假设8：在一时段内，每小时所需要的功率

i

三．符号说明

四． 模型的建立与求解

问题（一）

1.1 模型分析

该问题是一个分段求解问题，比较复杂不易求出精确的最优解，故只能近似求出其最优解来。

我们把每天分为7个时段，通过求每个时段发电机使用的总成本来求每天的总成本，即为各各时段总成本之和。然后要确定发电机在每个时段所使用的发电机的型号以及所使用的数量和输出的实际功率，而每个时段的总成本是由三个部分组成的，分别为：固定成本、启动成本、边际成本。据此对每个时段建立模型及其相应的约束条件，又各各时段中若已经启动的发电机就不用再启动，所以无需相应的额外启动成本，故第1时段与后6个时段计算情况不同，所以我们要分时段来求各时段的启动成本。 1.2 模型的建立 1.2.1 确定目标函数

我们确定的目标函数是为了解决电力生产优化问题。在满足需求量的情况下，为了使每天发电成本最低，则需要每个时段有最小成本，所以我们建立如下目标函数

7

1min min i i W W ==∑

为了解决问题，我们进一步研究每个时段的最小成本，由于成本由启动成本、固定成本、边际成本组成，所以我们经分析可得出第i 时段的总成本为：

4

1[**()***]i ij j ij i ij j j i ij j W F A X T Y M B T X ==++-∑

因为ij F 代表第i 时段j 型号发电机的总启动成本，在第1是时段时，开多少发电机，就需要多少次启动成本。而从第二次开始，如果比上一时间段开机少，本时段就不需要此启动成本；如果开机比上一时段多，则只需要计算多出发电机的启动成本。所以，我们最终得出第i 时段j 型号的启动成本公式为：

(1)(1)(1)*,1*(),2,3,4,5,6,7,0,j ij ij j ij i j ij i j ij i j

C X i F C X X i X X X X ---⎧=⎪

=-=>⎨⎪

≤⎩

1.2.2确定约束条件

ⅰ. 因为ij X 代表第i 时段型号j 发电机使用数量，所以ij X 应小于等于本型号发电机总的数量，且为整数，即：

1234010040803

i i i i X X X X <=<=⎧⎪<=<=⎪

⎨

<=<=⎪⎪<=

<=⎩ （ij X 为整数）

ⅱ. 同时由于ij Y 代表第i 时段单个型号j 的功率，所以ij Y 的大小应该介于最小输出功率与最大输出功率之间，即：

12

347501500100017501200200018003500

i i i i Y Y Y Y <=<=⎧⎪<=<=⎪⎨<=<=⎪⎪<=<=⎩

ⅲ. 发电机的发电量要满足电量需求，而i G 代表第i 时段每小时所需要的功率，所以每小时发电量要大于等于i G ，即： 4

1*i ij ij j G X Y =<=∑

1.2.3 综上所述，得到问题一的最优化模型

7

1

4

1min min [**()***]i i i ij j ij i ij j j i ij j W W W F A X T Y M B T X ==⎧

=⎪⎪⎨⎪=++-⎪⎩

∑∑

41

112233

44*010,7501500;..04,10001750;

08,12002000;

03,18003500;i ij ij

j i i i i i i i i G X Y X Y s t X Y X Y X Y =⎧

<=⎪⎪

⎪<=<=<=<=⎪<=<=<=<=⎨⎪<=<=<=<=⎪

⎪<=<=<=<=⎪⎩

∑（ij X 必须取整数）

1.3 模型的求解.

首先，我们分析题目得到，总成本由启动成本、固定成本、边际成本组成。 启动成本：分析易知，启动成本只与本型号发电机的数量有关，与其输出功率无关。其值为：各型号发电机数量与其各自的启动成本之积的求和。

固定成本：因为当发电机接入电网时，其输出功率不应低于其最小输出功率，