复系数一元二次方程求解

复系数方程的求解

知识点：

1.复系数方程的一般求解方法；

2.复系数方程与实系数方程解的关联性；

教学过程：

1.系数为复数的方程统称为复系数方程；

2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法；

3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理；

4.复系数一元n 次方程有且仅有n 个根（k 重根按k 个根记），此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。并称为代数基本定理．．．．．．

。 例1.解关于x 的方程：

（1）2340x i --=

（2）2(1)0x i x i -++=

（3）2(1)(1)260i x i x i +----=

（4）2(3)430x i x i -+++=

（5）22252(2)0x x x x i -++--=

例2.设方程20x px k -+=有一个根是12i +。

（1）若p R ∈，求实数k 的值；

（2）若4p =，求复数k 的值；

例3.解关于x 的方程(1)(1)0,n n x x n N +--=∈。

例4.设1,,x u vi u v R =+∈是关于x 的方程20,,ax ibx c a b R ++=∈的根，求方程的另一个根；

例5.设k R ∈，关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解，求k 的值，并求方程的根。

例6.已知关于x 的方程222(1)(1)0a i x a i a i +++++=有实数解，求实数a 积方程的根。

例7.已知关于x 的方程09)6(2=+++-ai x i x ,a R ∈有实数根b 。

（1）求实数,a b 的值；

（2）若复数z 满足02=----

z bi a z ，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的值。

例8.关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，12,,z z m 均是复数，且i z z 20164221+=-. 设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα.求|m |的最大值和最小值。

例9.已知方程6310x x ++=，求证：在复平面上连结(1,0)与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3．

例10.已知c o s c o s c o s s i n

，利用复数求证：

++=++=

x y z x y z

x y z

++=。

c o s2c o s2

例11.已知复数z满足109

++-=，求证：||1

z z i zi

111010110

z=。

作业：

1.解下列方程：

（1）2

z z =；（2）24||30z z -+=；（3）2250z zi --=；（4）2(3)430z i z i --+-=

2.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根,试求纯虚数m 的值.

3.已知复数z 1满足：)(22,34)21(*11N n i z z i z i n n ∈+=-+=++.

(1)求复数z 1（2）求满足n z 13≤的最大正整数n.

4.已知关于x 的方程2430x zx i -++=有实数解，求复数z 的模的最小值；

5.设复数α、β对应于复平面上的点A 、B ，且04222=+-βαβα，13=+-i α，O 为原点，求OAB ∆的最大面积。

6.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 求复数1995

201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数；

7.关于x 的方程2120x z x z m +++=，12,,z z m C ∈的两个根,αβ满足||αβ-=，若212416200z z i ---=。求||m 的最值。

8.已知方程2(4)40,x i x ai a R ++++=∈有实数根b ，且z a bi =+，求复数(1)(0)z ci c ->的辐角主值的取值范围。

9.如果复数||1w =，求证：关于x 的方程*1(),1n ix w n N ix

+=∈-的所有根都不是相等的实数。 10.设,,0p q C q ∈≠，关于x 的方程220x px q ++=的两个根的模相等，求证：p q 是实数。