4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)(2)

2 ＝∫2x2dx＋∫22xdx＋∫13dx 1 1
x3 2 25 2 2 2 ＝ |1＋x |1＋3x |1＝ . 3 3
(2)∫π(sin x－cos x)dx 0 ＝∫πsin xdx－∫πcos xdx 0 0
π ＝(－cos x) |π－sin x |0 ＝2. 0
1 21 ∫2x＋ dx＝∫2xdx＋∫1 dx (3) 1 1
[2,4]三段积分求和．
[精解详析]
图像如图．
4 0 4
f(x)dx＝

2 0
sin xdx＋

2 2
1dx＋
2
(x－1)dx
2 0
＝(－cos x)
＋x
2 2
1 4 2 ＋2x －x|2
π π 2－ ＋(4－0)＝7－ . ＝1＋ 2 2


x
x
3
3
[一点通]
应用微积分基本定理求定积分时，首先
要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先
估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程 中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导 函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用 微积分基本定理求出结果．
6．若∫1(k－2x)dx＝2 012，则 k＝________. 0
1 1 解析：∫0(k－2x)dx＝(kx－x2) 0＝k－1＝2 012，
∴k＝2 013.
答案： 2 013
π ∫asin xdx，则 f( )＝________. 7．已知函数 f(a)＝ 0 2
a 解析：f(a)＝∫asin xdx＝－cos x |0＝－cos a＋1， 0
数与定积分之间有什么联系？
提示： f(x)dx＝F(b)－F(a), 其中 F′(x)＝f(x)．
b a
微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)， 则有
∫bfxdx＝ F(b)－F(a) a
定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称
F(x)是f(x)的一个 原函数 ．
5 ＝cos 1－ . 3
[例 3]
已知函数 f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 为奇函数， 且 0
1 f(1)－f(－1)＝ ，试求 a，b 的值． 3
[精解详析]
f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 0
a b2 x a 3 b 2 3 ＝3t ＋2t ＋t |0＝ x ＋ x ＋x. 3 2
4


2
2
0 |－2＝8＋2＝10.
答案：10
5．已知
sin x－1，x≤0， F(x)＝ 2 x ，x>0，
求定积分∫1 1F(x)dx. －
0 解：∫1 1F(x)dx＝∫－1(sin x－1)dx＋∫1x2dx － 0
＝(－cos
0 x－x) |－1＋
1 31 x |0 3
[一点通]
(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分
可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的
分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然 后求解．
4 4.∫－2|x|dx＝________.
1 2 1 24 4 0 解析：∫－2|x|dx＝∫0xdx＋∫－2(－x)dx＝ x |0＋－ x
π ∴f2 ＝1.
答案：1
8．已知 f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且 f(x)dx＝1，
0
1
求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 4＝3a＋b， 又 f(x)dx＝
0
1 1
1 a 2 ax ＋bx |1＝ ＋b＝1， (ax＋b)dx＝ 2 0 2 0
在计算定积分时，常常用记号F(x) | F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作
b ∫af(x)dx＝F(x)| b＝ F(b)－F(a) ． a b a
来表示F(b)－
微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系， 即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导
函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1



问题3：求F(2)－F(1)的值．
1 1 3 2 2 提示：F(2)－F(1)＝ ×2 － ×1 ＝ . 2 2 2
问题4：你得出什么结论？
提示： f(x)dx＝F(2)－F(1)，且 F′(x)＝f(x)．
问题 5：由 f(x)dx 与 F(2)－F(1)之间的关系，你认为导
1
2
2 1
b ∵f(x)为奇函数，∴ ＝0，即 b＝0. 2 1 a a 1 5 又∵f(1)－f(－1)＝ ，∴ ＋1＋ ＋1＝ .∴a＝－ . 3 3 3 3 2
[一点通] (1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变 量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分
下限不大于积分上限．
(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数， 可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的 性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．
[例1]
计算下列各定积分：
(1)∫1(2x＋3)dx； 0 (2)∫0 π(cos x＋ex)dx； － 1 ∫3(2x－ 2)dx. (3) 1 x
[思路点拨]
先求被积函数的原函数，然后利用微积
分基本定理求解．
[精解详析]
(1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
1 ∴∫1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)| 0＝1＋3＝4. 0
1 1. xdx＝________.
e 1
1 解析： xdx＝ln e－ln 1＝1.
e 1
答案： 1
2．求下列函数的定积分： (1)∫2(x2＋2x＋3)dx； 1 (2)∫π(sin x－cos x)dx； 0 1 ∫2x＋ dx. (3) 1

x
解：(1)∫2(x2＋2x＋3)dx 1



x
x
1 22 1 1 2 2 ＝ x |1＋ln x |1＝ ×2 － ×12＋ln 2－ln 1 2 2 2 3 ＝ ＋ln 2. 2
3．求下列定积分： (1) sin dx；(2) (2－x2)· (3－x)dx. 2 1－cos x 2x 解：(1)sin ＝ ， 2 2
1 1 x－ sin 而2 2 1 1 ′＝ － cos x 2 2
6 2 所以 a＝ ，b＝ ， 5 5 6 2 即 f(x)＝ x＋ . 5 5
求定积分的一些常用技巧：
(1)对被积函数，要先化简，再求积分． (2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的 性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值 符号后才能积分．
理解教材新知
第 四 章
§2
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1 2 已知函数f(x)＝x，F(x)＝ x . 2 问题1：f(x) 和F(x)有何关系？
Байду номын сангаас
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求 xdx的值． 3 2 ∫1xdx＝ . 提示： 2
2 1
2 0
2 0
2x
3 2
x，
xdx
∴

2 0
sin dx＝ 2
2x
1 1 － cos 2 2
1 1 x－ sin ＝2 2
x
2 0
π 1 π－2 ＝ － ＝ . 4 2 4
(2)原式＝ (6－2x－3x2＋x3)dx
1 4 3 2 3 ＝6x－x －x ＋4x |2 1 1 2 3 4 2 3 4 ＝6×3－3 －3 ＋4×3 －6×2－2 －2 ＋4×2
3 2
7 ＝－ . 4
[例 2]
π sin x，0≤x≤2 ， 已知函数 f(x)＝ π 1，2<x<2， x－1，2≤x≤4，
先画
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，