2022届高三理科数学一轮复习(新高考)第12章 第2节 参数方程 课件
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)第二节 参数方程(课件)
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
·考向预测·
考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程 与极坐标方程的综合应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模_________α∈[0，2π)．
关键能力—考点突破
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参 数方程．
反思感悟 消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消 去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大 或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和 y的取值范围．
反思感悟 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求 解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角 坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，又x2 ＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
代入上式化简可得，x2＋y2－4y＝0， 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
反思感悟 椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距 离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程 转化为三角函数的最大值、最小值求解．
高考数学一轮总复习 第12章 坐标系与参数方程 第2节 参数方程课件 理 新人教版
答案：(－1,1)
3．在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆xy＝＝2c3ossinθ， θ (θ 为参数) 的右焦点，且与直线xy＝＝34－－t2t， (t 为参数)平行的直线截 椭圆所得的弦长为________．
解析
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价．
x＝cos α， y＝m＋sin α
(α 为 参 数 ) ， 直 线
l
的参数方程为
x＝1＋ 55t，
y＝4＋2
5
5 t
(t 为参数)，
(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|＝455，
求实数 m 的值．
解析
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常 用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数 方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
解析：由xy＝＝1－＋2s＋incθos θ，
得cos sin
θ＝x＋2， θ＝y－1，
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心坐标为(－2,1)，
故圆心到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝ 42＝2 2，
∴直线上的点到圆上的点的最近距离是 d－r＝2 2－1.
答案：2 2－1
2．直线xy＝＝b4t＋at， (t 为参数)与圆yx＝＝2＋3sin3θcos θ， (θ 为 参数)相切，则切线的倾斜角为________． 解析：直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为 (x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距 离为 3，从而有 3＝|2b－aa2·＋0－b24b|，即 3a2＋3b2＝4b2，所 以 b＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝ba，所以 tan α＝± 3，因此切线的倾斜角π3或23π. 答案：π3或23π
高考理科数学一轮选修参数方程
x2+y2=1
和������2
9
+y2=1.
当
α=π时 ,射线
4
l
与
C1 交点
A1 的横坐标为
x=
2,与
2
C2 交点
B1 的横坐标
为 x'=3 10. 当1α0=-π4时,射线 l 与 C1,C2的两个交点 A2,B2分别与 A1,B1关于 x 轴对称,
因此四边形 A1A2B2B1为梯形.
故四边形
A1A2B2B1
【解】(1)x2+y2=16.
(2)将
������ = ������ =
3+ 2+
1
2 3
t, 代入
t
x2+y2=16,并整理得
t2+3
3t-9=0.
2
设 A,B 对应的参数为 t1,t2,则 t1+t2=-3 3,t1t2=-9.
故|AB|=|t1-t2|= (������1 + ������2)2-4������1������2=3 7.
2.直线的参数方程
(1)过点
M0(x0,y0),倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为
x = x0 + t������������������α, y = y0 + t������������������α
(t 为参数).
(2)参数的几何意义
直线的参数方程中参数 t 的几何意义是参数 t 的绝对值表示 t 所对应
数方程化为普通方程
例 1 已知曲线
C1:
������ = -4 ������ = 3
+ +
高考数学一轮复习第12章选修4系列第2讲参数方程课件理
解 如图，圆的半径为12， 记圆心为 C12，0，连接 CP， 则∠PCx＝2θ，
答案
故 xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ， yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ 为参数)． 所以圆的参数方程为xy＝ ＝csionsθ2θco，sθ (θ 为参数)．
答案
条件探究
||M→0M2|＝|t1t2|，|M→1M2|＝|t2－t1|＝ t2＋t12－4t1t2. (2)若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1，M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，
t3，则 t3＝t1＋2 t2.
(3)若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0，y0)，则 t1＋t2＝0，t1t2<0. 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问 题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解． 提醒：对于形如xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (t 为参数)，当 a2＋b2≠1 时，应先化为标 准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
1．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点 O， 极轴为 x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x＝ 22t，
y＝3
5＋
2 2t
(t 为参数)．
(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
(2)已知曲线 W：yx＝＝2cosisnαα， (α 为参数)，若 M 为曲线 W 上任意一点， 求点 M 到直线 l 的最小距离．
解方程组xy＋ 2＝y2－－1x＝，0，
得 xy＝ ＝11＋ －22
5， 5
或 xy＝ ＝11－ ＋22
高考一轮复习理科数学课件极坐标方程与参数方程的综合应用
03
利用参数方程可以方便地解决直线与圆、圆与圆之间的位置关
系、交点坐标等问题。
复杂曲线在参数方程下绘制技巧
极坐标与参数方程的转换
对于某些复杂曲线，如螺旋线、摆线等，使用极坐标或参数方程表示更为方便。
利用计算机软件绘制参数曲线
利用数学软件或绘图软件，可以方便地绘制出各种参数曲线，有助于直观理解曲线的形状 和性质。
通过图形分析，可以更容易地 找到解题的突破口和思路。
在画图时，应注意准确性和规 范性，避免因为图形不清晰或 不准确而导致解题错误。
善于归纳总结，形成自己解题思路
在解题过程中，应及时总结归纳 同类问题的解题方法和思路。
通过归纳总结，可以形成自己的 解题思路和解题技巧，提高解题
效率。
同时，也应注意将归纳总结的结 果应用到实际解题中，以检验其
极坐标与直角坐标互化公式
x=ρcosθ，y=ρsinθ；ρ²=x²+y²，tanθ=y/x。
3
极坐标方程性质
如对称性、周期性等，可用于简化计算和解题过 程。
直线、圆在极坐标系下表示方法
直线在极坐标系下表示
通过直角坐标方程转化为极坐标方程 ，或利用极坐标与直角坐标互化公式 直接得出。
圆在极坐标系下表示
对于难以直接求解的极坐标方程，可将其 转换为直角坐标方程后进行求解。
求出解后，需结合实际问题背景进行检验， 确保解的合理性和正确性。
03
参数方程及其应用
参数方程表示形式及性质
01
一般形式
参数方程通常由两个函数式组成，分别表示x和y与参数t的关系，即
$x=f(t), y=g(t)$。
02
几何意义
参数方程在几何上表示一个点随着参数t的变化而在平面上移动的轨迹
高考数学一轮复习 第二节 参数方程课件 理 新人教A版选修44[1]
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M到C3的距离d＝
5 5 |4cos
θ－3sin
θ－13|
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
第二十四页，共44页。
从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d取得最小值
85 5.
【答案】
85 5
第二十五页，共44页。
1．从中看出椭圆的参数方程在解题(jiě tí)中的优越 性．本题易错点主要有：一是不能将椭圆参数方程化为普 通方程；二是对于绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ ＋φ)＝－1时取最小值，从而得出错误结论．
参数方程
x＝－1－t， y＝2＋3t
(t为参数)所表示的图形分别是
________．
【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，
∴x2＋y2＝x，即x2－x＋y2＝0表示圆，
∵
x＝－1－t， y＝2＋3t，
消t后，得3x＋y＋1＝0，表示直
线．
【答案(dáàn)】 圆与直线
第九页，共44页。
3．(2013·汕头质检)在平面直角坐标系xOy中，直
y的取值范围的影响．
第十四页，共44页。
(2013·佛山模拟)已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cos
y＝sin θ
θ，(0≤θ＜π)和x＝54t2，(t∈R)，它们的
y＝t
交点坐标为________．
【解析】 由xy＝＝sin5coθs θ，(0≤θ＜π)得x52＋y2
＝1(y≥0)． 由xy＝＝t54t2，(t∈R)得x＝54y2，
【答案】 2
第十页，共44页。
4．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲
线C1和C2的参数方程分别为
x＝t， y＝ t
高考数学一轮复习 第2节 参数方程课件 理 苏教版选修4-4
【 典 例 1 】 (2014·福 建 高 考 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝a－2t， y＝－4t
(t 为参数)，圆 C 的参数方程为yx＝＝44scionsθθ，
(θ 为参
数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
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2．参数方程与普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地， 可以通过消去 参数 从参数方程得到普通方程；如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出 另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝fgtt 就是曲线的参数 方程．
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[解] (1)因为直线 l 的参数方程为xy＝＝a－－42t t， (t 为参数)， 由 x＝a－2t，得 t＝a－2 x，代入 y＝－4t，得到直线 l 的普通方 程为 2x－y－2a＝0. 同理可得曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
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(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5.
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[解析] 曲线 C 的普通方程为 y＝x2，把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入得 ρsin θ＝ρ2cos2 θ，整理得 ρcos2 θ＝sin θ，故曲线 C 的极坐标 方程为 ρcos2 θ＝sin θ.
[答案] ρcos2 θ＝sin θ
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考向 1 参数方程与普通方程的互化
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2022年高考数学(理)一轮复习教师用书： 第十二章 坐标系与参数方程 Word版含解析
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立： ⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)考点一 极坐标与直角坐标的互化例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 答案：3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4， 由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)考点一 参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12， 记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数． 解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况： (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1. 而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0.由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。
2022届高考数学统考一轮复习第12章选修44坐标系与参数方程第2节参数方程教师用书教案理新人教版
学习资料2022届高考数学统考一轮复习第12章选修44坐标系与参数方程第2节参数方程教师用书教案理新人教版班级：科目：参数方程［考试要求] 1。
了解参数方程，了解参数的意义。
2。
能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M （x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数,简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程 参数方程 直线y －y 0＝ta n α（x －x 0) 错误!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2 错误!（θ为参数) 椭圆错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0) 错误!(φ为参数） 错误!根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1,t 2.（1）弦长l ＝｜t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0;（3)｜M 0M 1｜｜M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、易错易误辨析（正确的打“√"，错误的打“×”）（1）参数方程错误!中的x ，y 都是参数t 的函数． ( ） （2)过M 0(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为错误!(t 为参数）．参数t 的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段错误!的数量．()（3）方程错误!表示以点(0,1）为圆心，以2为半径的圆．(）(4）已知椭圆的参数方程错误!(t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝错误!，点O 为原点,则直线OM的斜率为错误!。
()［答案](1)√(2)√（3)√(4)×二、教材习题衍生1．曲线错误!(θ为参数)的对称中心(）A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上B［由错误!得错误!所以（x＋1)2＋(y－2）2＝1。
数学高考第一轮复习参数方程课件
2k 1 k2
3 . 3
3 3
,即 3k =1,
2
解得 k=±
答案:±
5.给出下列命题: ①曲线的参数方程中的参数都有实际意义; ②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的; ③圆的参数方程中的参数θ 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同; ④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一. 其中正确的是 .(写出所有正确命题的序号) 解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何意 义,也可以没有明显的实际意义. ②正确.两方程互化后所表示的曲线相同. ③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中的 参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角. ④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得的 曲线的参数方程的形式就不同.
答案:②④
考点突破
考点一 参数方程与普通方程的互化
剖典例
找规律
1 x t sin , t 【例 1】 已知参数方程: (t≠0) y t 1 cos . t
(1)若 t 为常数,θ 为参数,判断方程表示什么曲线? (2)若θ 为常数,t 为参数,方程表示什么曲线?
x cos , 2.已知☉O 的参数方程为 (θ 为参数),则☉O 上的点到直线 y sin
4 x 2 t, 5 (t 为参数)的距离最大值为( y 1 3t 5
C )
(A)2 (B)1 (C)3 (D)5
解析:圆 O 的普通方程为 x2+y2=1. 直线的普通方程为 3x+4y-10=0, 圆心 O(0,0)到该直线的距离为
第2节
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1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)；
x＝12＋t2t2， (3)y＝41－＋2tt22
(t 为参数)．
[解]
(1)∵1t 2＋1t
2
t2－1 ＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
(φ 为参数)
[常用结论] 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的 参数分别为 t1，t2. (1)弦长 l＝|t1－t2|； (2)弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； (3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
椭圆
C：xy＝＝32csions
φ， φ
(φ 为参数)的右顶点，则 a＝
.
3 [直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，椭圆 C 的普通方程为x92＋
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0，
∴a＝3.]
1234
02
细研考点·突破题型
考点一 参数方程与普通方程的互化 考点二 参数方程的应用 考点三 极坐标、参数方程的综合应用
()
二、教材习题衍生
x＝－1＋cos θ，
1．曲线y＝2＋sin θ
(θ 为参数)的对称中心( )
A．在直线 y＝2x 上
B．在直线 y＝－2x 上
C．在直线 y＝x－1 上
D．在直线 y＝x＋1 上
1234
B
[由xy＝＝－2＋1＋sincθo，s θ，
得cos sin
θ＝x＋1， θ＝y－2，
2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt， y＝sinkt (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.
∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
(3)因为 x＝12＋t2t2， y＝41－＋2tt22＝41＋1＋t2t－2 6t2＝4－3×12＋t2t2＝4－3x.
又 x＝12＋t2t2＝21＋ 1＋t2t2－2＝2－1＋2 t2∈[0,2)， 所以所求的普通方程为 3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1 为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线 y＝－2x 上．]
1234
2．直线x＝1＋12t， y＝－3 3＋
23t
(t 为参数)和圆 x2＋y2＝16 交于 Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
两点，则线段 AB 的中点坐标为( )
A．(3，－3)
B．(－ 3，3)
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
x＝acos φ ， y＝bsin φ
第十二章 选修4-4 坐标系与 参数方程
第二节 参数方程
[考试要求] 1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能
1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变数 t 的函数xy＝＝fgtt， 并且对于 t 的每一个允许值，由 这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就 叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简 称 参数 ．
考点一 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征， 选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、 平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关 系式消参，如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不 要出现增解．
C．( 3，－3)
D．(3，－ 3)
1234
D [将直线方程代入圆的方程，得1＋12t2＋－3 3＋ 23t2＝16， 整理，得 t2－8t＋12＝0，则 t1＋t2＝8，t1＋2 t2＝4，故其中点坐标满足
x＝1＋12×4，
y＝－3 3＋ 23×4，
解得xy＝＝3－， 3. ]
1234
3．曲线
M(x，y)为终点的有向线段M→0M的数量．
()
(3)方程xy＝ ＝21＋cos2sθi，n θ 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆．
()
(4)已知椭圆的参数方程xy＝ ＝24csionstt， (t 为参数)，点 M 在椭圆上，
对应参数 t＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3. [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
C
的参数方程为xy＝＝scions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C 的
普通方程为
．
y＝2－2x2(－1≤x≤1)
[由xy＝＝scions
θ， 2θ＋1
(θ
为参数)消去参数
θ，得 y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]
1234
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参数)过
又 x＝1t ，∴x≠0.
当 t≥1 时，0＜x≤1；
当 t≤－1 时，－1≤x＜0， ∴所求普通方程为 x2＋y2＝1， 其中00＜≤xy≤≤11， 或－－11≤＜xy＜≤00，.
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝fgtt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数．
()
(2)过
M0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点