第2课时 矩形的判定

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15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D(不与点 B 重合)在 BC 上， 点 E 是 AB 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 DE 延长线于点 F，连接 AD， BF．
(1)求证：△AEF≌△BED； (2)若 BD＝CD，求证：四边形 AFBD 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO． ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴OE＝OF＝OG＝OH．
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∴四边形 EFGH 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四 边形)．
∵OE＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH， ∴平行四边形 EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
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易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错 10．(2019·重庆)下列命题正确的是(A ) A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
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02 中档题
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证明：(1)∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDB． ∵E 为 AB 的中点，∴EA＝EB． 在△AEF 和△BED 中，
∠AFE＝∠BDE，
∠AEF＝∠BED， EA＝EB， ∴△AEF≌△BED(AAS)．
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(2)∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD． 又∵AF∥BD，∴四边形 AFBD 是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD． ∴四边形 AFBD 是矩形．
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2．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋．若改 变框架的形状，则∠α 也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当 ∠α＝ 90° 时，两条对角线的长度相等．
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3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，四边 形 ADBE 是平行四边形，求证：四边形 ADBE 是矩形．
14．(2018·新疆建设兵团)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交 于点 O．E，F 是 AC 上的两点，并且 AE＝CF，连接 DE，BF．
(1)求证：△DOE≌△BOF； (2)若 BD＝EF，连接 EB，DF，判断四边形 EBFD 的形状，并说 明理由．
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11．(2019·临沂)如图，在▱ABCD 中，M，N 是 BD 上两点，BM＝ DN，连接 AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是 矩形，这个条件是( A )
A．OM＝12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
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12．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，点 E，F， G，H 分别为边 AD，AB，BC，CD 的中点．若 AC＝8，BD＝6，则 四边形 EFGH 的面积为 12 ．
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证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB＋∠ADC ＝180°． ∵AF，DF 分别平分∠DAB，∠ADC， ∴∠FAD＝∠BAF＝21∠DAB，
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∠ADF＝∠CDF＝21∠ADC． ∴∠FAD＋∠ADF＝90°．∴∠AFD＝90°． 同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°． ∴四边形 EFGH 是矩形．
数学 第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
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18．2．1 矩形
第2课时 矩形的判定
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01 基础题
知识点 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使▱ABCD 成为矩形，需要添加的条件是(C )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180° C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵AE＝CF， ∴OE＝OF．
OD＝OB，
在△DOE 和△BOF 中，∠DOE＝∠BOF， OE＝OF，
∴△DOE≌△BOF(SAS)．
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(2)结论：四边形 EBFD 是矩形． 理由：∵OD＝OB，OE＝OF， ∴四边形 EBFD 是平行四边形． ∵BD＝EF，∴四边形 EBFD 是矩形．
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解：(1)证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE． ∵CE 平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠OCE． ∴∠OEC＝∠OCE． ∴EO＝CO．同理：FO＝CO，∴EO＝FO．
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(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 CEAF 是矩形．理由如下： 由(1)得：EO＝FO． 又∵O 是 AC 的中点，∴AO＝CO． ∴四边形 CEAF 是平行四边形． ∵EO＝FO＝CO， ∴EO＝FO＝AO＝CO．∴EF＝AC． ∴四边形 CEAF 是矩形．
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13．(2019·安顺)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，且 BA＝3， AC＝4，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM⊥AB 于点
12 M，DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 5 ．
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5．(2019·商丘柘城县期中)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，OA＝3．若要使平行四边形 ABCD 为矩形，则 OB 的长 度为( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
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6．(2019·江西)如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，对 角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OD．求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∴AC＝2AO，BD＝2OD． ∵OA＝OD， ∴AC＝BD． ∴四边形 ABCD 是矩形．
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7．已知，如图，AC，BD 是矩形 ABCD 的两条对角线，AE＝CG ＝BF＝DH．求证：四边形 EFGH 是矩形．
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03 综合题
16．如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作 BC 的平行线交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．
(1)求证：EO＝FO； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 CEAF 是矩形？请证明你的结论． (3)在第(2)问的结论下，若 AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13， 请直接写出四边形 ABCE 的面积为 24 ．
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知识点 3 有三个角是直角的四边形是矩形 8．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条 件，就能推出四边形 ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ∠A＝90° (写 出一种情况即可)．
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9．已知：如图，在▱ABCD 中，AF，BH，CH，DF 分别是∠BAD， ∠ABC，∠BCD，∠ADC 的平分线．求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC． ∴∠ADB＝90°． 又∵四边形 ADBE 是平行四边形， ∴四边形 ADBE 是矩形．
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知识点 2 对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，需 要添加的条件是 AC＝BD(答案不唯一) ．