浅析洛必达法则求函数极限

用洛必达法则求未定式极限的方法
一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围
（一）洛必达法则定理
定理1[1] 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0
=+→x f a x 0)(lim 0
=+→x g a x
（3）A x g x f a x =+→)
(')('lim 0
则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')
('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）
定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0
x f a x ∞=+→)(lim 0
x g a x
（3）
A x g x f a x =+→)
(')('lim
则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')
('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）
此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：
-∞→+∞→∞→→→→-
+x x x x x x x x x ,,,,,000。

定理证明：作辅助函数
⎩⎨
⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,
0),
,(),()(δ
⎩
⎨
⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),
,(),()(δ
于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('
≠x G 今对()
δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得
).,(,)
(')
(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即
)
(')
(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即
A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)
(')('lim )()
(lim
0000
证毕。

关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。

当然，还有其他不同的证明方法。

（二）洛必达法则使用条件
只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。

连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。

例1：求x
x x
x x sin sin lim
+-∞→
分析：根据洛必达法则使用条件，此式为
∞
∞
型，所以可以使用洛必达法则，但是x
x
x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim
+-=+-∞→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，
而不能再进行第二次。

解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim
-=-=+-=+-∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim
=+
-
=+-∞→∞→x
x
x x
x x x x x x ，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

二、洛必达法则的应用
（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限
例2：求.cos 1lim
20x x
x
-→ 解： 这是0
待定型。

运用洛必达法则，我们有
x x
x x x x x x x 2sin lim )'
()'cos 1(lim cos 1lim
02020→→→=-=-
因为 1sin lim
0=→x x
x
从而 .21
sin lim 21cos 1lim 02
0==-→→x x x x x x
例4：求).0(ln lim φααx
x
x +∞→
解：上述极限是∞
∞
待定型，于是
01lim 1
lim ln lim 1===+∞→-∞→+∞→α
αααααx x x x x x x （二） 未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解
此外，除了型型或
∞
∞
这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。

譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞
∞
00，
因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。

关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为)
(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=
，这就转化为型型或∞∞00了。

此外对于0001∞∞
，，等
不定式，可以取对数化为∞⋅0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或∞
∞
00了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。

例5：).tan 1(
lim 2
20
x c x
x -→ 解：这是∞-∞型，设法化为
形式： x
x x x x x c x x x 2222202
20sin cos sin lim )tan 1(lim -=-→→ =x
x x
x x x x x x x sin cos sin sin cos sin lim 20-⋅+→ =x
x x
x x x sin cos sin lim )11(2-+∞→
=x
x x x x
x x cos sin 2sin lim 220+→
=.32
cos sin 21lim
20=+→x
x
x x
例6：求.)
2(lim 2
tan
1
x
x x π-→
解：这是型∞
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-→→)2ln(2tan lim exp )
2(lim 12
tan
1
x x x x x
x ππ
=exp ⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-→x x x 2cot )2ln(lim 1π
=exp ⎥
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
---→)2csc (212lim 21π
πx x =π2
e 例7：求x
x x x ln 1
2
)
1(lim +++∞
→
解:这是0∞待定型，经变形得x
x x x x
x e
x x ln 1ln ln 12
2
lim )
1(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞
→+∞
→=++，
而11lim 111
lim ln )1ln(lim 222=+=+=+++∞→+∞→+∞→x
x x
x x x x x x x
故 e x x x
x =+++∞
→ln 12
)
1(lim
例8：求x x x ln lim 0+
→
解：这是∞⋅0待定型，可变形为x
x x x 1ln ln =
，成了∞∞
待定型，于是 0)(lim 11
lim 1ln lim ln lim 02
000=-=-==+
→+→+→+→x x
x x x
x x x x x x
例9：求x
x x +→0lim
解：这是0
0待定型，由对数恒等式知，x
x x e x ln =，运用例8可得
1lim lim 0ln lim ln 000
====→+
→+
→e e e
x x
x x
x x x
x x
三、洛必达法则对于实值函数的失效问题
洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。

“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。

所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。

（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的
条件（3）[4] 例10：计算x
x x
x x sin sin lim
+-∞→
解：原式=1sin 1sin 1lim
=+
-
∞→x
x x x x （二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）
例11：计算)(lim 型∞∞
-+--∞→x x
x x x e e e e 解：原式=x
x
x e e 2211lim --∞→++=1
（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）
例12：计算)0
(lim
10型x e x
x -+
→ 解：令x
t 1
=，则原式=1lim 1lim
00==+→-+→t x t x e t t
e （四）求导后有零点，也就是不满足条件
例如
x e x e x x e x x x x sin sin )sin 2(cos lim 222-∞→++，
的极限是不存在的，事实上，取)(4
-
∞→∞→=n n x π
π，此时分母的导数是有零点的。

四、洛必达法则与其它求极限方法比较
使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。

对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。

（一）洛必达法则与无穷小代替法
应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当0→x 时，
,~)1ln(,~1~arcsin ,~tan ~sin x x x xe x x x x x x +-，
x x x x x ~112
~cos 12
--+-，
用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换[5]，下面举个例子作为比较。

例13 求2
22
0sin cos 1lim x x x x -→
解1：（运用无穷小量代替法）
2
121lim sin cos 1lim 440222
0==-→→x x
x x x x x 解2：（利用洛必达法则）
2220sin cos 1lim x x x x -→=2232
0sin cos 2sin 2lim x x x x x x +→ =2
222
0sin cos sin lim x x x x x +→
=22322
0cos 2sin 2cos 2cos 2lim x x x x x x x x x +-→
=2
222
0sin cos 2cos lim x x x x x -→
=
2
1
分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就可简化解题过程。

解：)1(sin lim 20--→x x e x x x =.61321lim 3cos 1lim sin lim 2202030==-=-→→→x x
x x x x x x x x （二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较[6]
利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。

一旦我们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比较常见、便捷的方法。

如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。

例14：求.16475
9lim
23848++-+-∞→n n n n n n 解1: .1
6475
9lim
23848++-+-∞→n n n n n n =7
1)
1647()591(lim
8658848=++-+-
∞→n n n n n n n n 这里运用到了01
lim 1lim 1lim 1lim 8654====+∞→+∞→+∞→+∞→n
n n n n n n n
解2：此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。

.1
6475
9lim
23848++-+-∞→n n n n n n =n
n n n n n 121256368lim 273
7+--∞→ （第一次运用洛必达法则）
=12
1256368lim 62
6+--∞→n n n n n
=123367248lim 55--∞→n n
n n （第二次运用洛必达法则）
=2
56128lim 55--∞→n n
n n
=4
455612
40lim n n n ⨯-∞→ （第三次运用洛必达法则）
=7
1
4556558lim 33=⨯⨯⨯⨯∞→n n n （第四次运用洛必达法则）
所以原式=
7
1。

单已例14为例，纵观用极限运算和已知极限来求函数极限同使用洛必达法则求极限，显而易见前者要显的简单的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。

（三）洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比较
夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。

定理内容：如果对于点0x 的某一零域内的一切x ，但0x 本身可以除以（或对于绝对值大于某一正数的一切x ）有不等式
)()()(x h x f x g ≤≤成立，且I x h x g ==)(lim )(lim ，则I x f =)(lim 。

使用两边夹法则
求函数极限，关于在于把)(0x f x 或适当放大或者缩小。

下面举个例子分别用洛必达法则和夹逼定理来求函数极限，以作比较。

例15：求x
x x
)11(lim +
∞
→ 解1：（运用两边夹定理）
对于任意1≥x ，当1+≤n x n π时，有
[][]
[][]1
1
111111111111++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++
=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x
x n
n x x x n ππ
且e n n n x n
x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞
→1
11lim 111lim
根据两边夹定理，则e x
x
x =+
∞
→)11(lim 解2：（利用洛必达法则）
分析：首先可以看出原式是属于∞1形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形式，但是这里，需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。

⎪⎭⎫
⎝⎛
+∞→∞→=+x x x x
x e x
11ln lim )11(lim （第一次转换） ⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∞
→=x x x e
11ln lim
先求x
x x x x x 111ln lim 11ln lim ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→∞→ （第二次转换）
=2
2
1
)
11(1lim
x x x x +∞→ =1)
11(1lim
=+∞
→x
x
综上：原式=e e =1
纵观这两种解法比较，若说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但是若说难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。

五、洛必达法则求极限注意事项小结
诚然，洛必达法则的内容简单，使用方便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可能造成运算出错。

（一）洛必达法则条件不可逆
洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。

因此，在
00型或∞
∞
型中，)()(lim x g x f ''存
在，并不能断言)
()(lim x g x f 不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他合适的解题方法，以下例子可以明显看出。

例16：求x
x x x sin lim -∞→ 分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于
∞∞型，此时若使用洛必达法则 则1
cos 1lim sin lim x x x x x x -=-∞→∞→，显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存在？答案是否定的，下面我们用其他方法来解此题。

解：
11
sin 1lim sin lim =-=-∞→∞→x x x x x x x
结果为1，所以原式的极限是存在的。

所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。

（二）使用洛必达法则时，应及时化简
使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、变量代换等……下面通过例子说明[7]。

例17：33201211lim x
x e x x x x --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→ 分析：此题若是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无穷小量代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。

解：330320332011lim 1211lim 1211lim x
x x e x x x x e x x x x x x x ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→→→ =33032021lim 211lim x x x
e x x e x x x x →-→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
=2
1211lim 320--+--→x e x x x x =2
131lim 20-++--→x e x x x =3
121612161lim 0-=-=---→x e x x 上题运用了无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、洛必达法则等几种方法，由这题可知，洛必达法则不可贸然使用，必要时应同其他方法结合使用，以化简解题过程。

（三）不定型转换 从上面洛必达法则介绍中可知，使用洛必达法则的只有
∞∞和00，对于其他不定型只有对其进行转换，变为
∞∞或00不定型，才能使用洛必达法则求解。

然，转换过程也有一定讲究。

对∞⋅0型进行转化时，谁放分子，谁放分母是有讲究的，如下例子说明。

例18：求x x xe -+∞→lim
分析：明显此题是属于∞⋅0不定型，若如下转换：
=--===+∞→-+∞→-∞→21lim 1lim lim x
e x e xe x x x x x x … 极限反倒变复杂了，所以替换应看清如何简便计算，以进行合适的替换。

解：
01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→x x x x x x e e x xe .
以上几点注意只能说明洛必达法则中常出现的几点，但是也不可能涵盖到出现的所有情况完全，在解题过程中，只有根据题目，灵活运用各种所学的知识，才能方便解题，提高解题效率。

参考文献
[1]欧阳光中.朱学炎.金福临.陈传璋.数学分析. [M] .北京.高等教育出版社.1997
[2]沈燮昌.邵品琮.数学分析纵横谈. [M] .北京：北京大学出版社，1991
[3]吴炯圻.陈跃辉.唐振松.高等数学及其思想方法与实验. [M] .厦门：厦门大学出版社.
[4]汪林.戴正德.杨富春.郑喜印.数学分析问题研究与评注.[M].北京：科学出版社.1995
[5]同济大学数学系.高等数学第六版[M] . 北京.高等教育出版社.2007
[6]魏少华.蒋晨宏.李敏.求极限各种方法总结极其推广[J] .学术交流.2010，42-43
[7]杨黎霞.使用洛必达法则求极限的几点注意[J] .科技文汇.2008，267。