浅析洛必达法则求函数极限

用洛必达法则求未定式极限的方法

一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围

（一）洛必达法则定理

定理1[1] 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0

=+→x f a x 0)(lim 0

=+→x g a x

（3）A x g x f a x =+→)

(')('lim 0

则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')

('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）

定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0

x f a x ∞=+→)(lim 0

x g a x

（3）

A x g x f a x =+→)

(')('lim

则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')

('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）

此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：

-∞→+∞→∞→→→→-

+x x x x x x x x x ,,,,,000。

定理证明：作辅助函数

⎩⎨

⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,

0),

,(),()(δ

⎩

⎨

⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),

,(),()(δ

于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('

≠x G 今对()

δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得

).,(,)

(')

(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即

)

(')

(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即

A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)

(')('lim )()

(lim

0000

证毕。

关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。

（二）洛必达法则使用条件

只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。 连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。 例1：求x

x x

x x sin sin lim

+-∞→

分析：根据洛必达法则使用条件，此式为

∞

∞

型，所以可以使用洛必达法则，但是x

x

x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim

+-=+-∞→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，

而不能再进行第二次。 解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim

-=-=+-=+-∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim

=+

-

=+-∞→∞→x

x

x x

x x x x x x ，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

二、洛必达法则的应用

（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限

例2：求.cos 1lim

20x x

x

-→ 解： 这是0

待定型。运用洛必达法则，我们有

x x

x x x x x x x 2sin lim )'

()'cos 1(lim cos 1lim

02020→→→=-=-

因为 1sin lim

0=→x x

x

从而 .21

sin lim 21cos 1lim 02

0==-→→x x x x x x

例4：求).0(ln lim φααx

x

x +∞→

解：上述极限是∞

∞

待定型，于是

01lim 1

lim ln lim 1===+∞→-∞→+∞→α

αααααx x x x x x x （二） 未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解

此外，除了型型或

∞

∞

这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞

∞

00，

因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。

关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为)

(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=

，这就转化为型型或∞∞00了。此外对于0001∞∞

，，等