离散数学第四章2

例4.2.4 设F={<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}，求 F F, F {a},F[{a}]. 解: F F={<{a},{a,{a}}>} F {a}={<a,{a}>} F [{a}]={{a}}
关系运算的性质
定理4.2.1 设F是任意的关系，则 (1) (F-1) -1 =F (2) domF-1=ranF，ranF-1=domF
定理4.2.7 设R是A上的关系，m,n∈N，则
(1)Rm
Rn=Rm+n
(2)(Rm)n=Rmn
4.3 关系的性质
一．关系的五种基本性质 定义4.3.1 设R为A上的关系，
1） 若 x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R在 A上是自反的. （2） 若 x(x∈A→<x,x> R)，则称R在 A上是反自反的.
关系幂
定义4.2.5 设R为A上的关系，n为自然数，则 R的n次幂定义为：
1） R0={<x,x>|x∈A}=IA
（2） Rn+1=Rn R
怎样计算Rn 呢？ 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1 次右复合计算得到Rn .如果R是用关系矩阵M 给出的，则Rn 的关系矩阵是Mn，即n个矩阵 M之积.与普通矩阵乘法不同的是，其中的相 加是逻辑加，即 1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图 G得到Rn 的关系图G'.G'的顶点集与G相同. 考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi 出发经 过n步长的路径到达顶点xj，则在G'中加一 条从xi 到xj 的边.当把所有这样的便都找到以 后，就得到图G'.
(2) (G∪H) F=G (3) F F∪H F
( G ∩H ) F G ∩F H
(4) (G∩H) F
G
F∩H F
定理4.2.5.5 设F为关系，A，B为集合，则 (1) F (A∪B)=F A∪F B (2) F[A∪B]=F[A]∪F[B]
(3) F (A∩B) F A∩F B
(4) F[A∩B] F[A]∩F[B]
例4.4.1 设A={a,b,c,d}， R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}，求r(R)， s(R)，t(R)以及它们的关系图和矩阵. 解: r(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>,<a,a>, 00 0 0 0 0 1 0 10 1 10 1 0 1 00 1 1 0 0 0 01 1 1 1 <b,b>,<c,c d,d >} 0 1 0 1 0 0 0 1 >,< 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 2 3 1 1 0 0 1 0 ' M M M M t M (R M)={< M a,b 0 0>,< >,< 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 >,< b,a >,< b,c c,b >,< c,d d,c >, ss 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 M< M>,< Eb,d >} 0 1 1 0 1 r d,b 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 10 00 0 00 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 3={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>, t(R)=R∪R ∪ R 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 <b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}
例4.2.2 设F={<3,3>,<6,2>},G={<2,3>}，则
F-1={<3,3>,<2,6>} F G={<6,3>} G F={<2,3>}
例4.2.3 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}，
则 R {1}={<1,2>,<1,3>} R = R {2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>} R[{1}]={2,3} R[ ]= R[{3}]={2}
例4.2.1 设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}，则
domR={1,2,4}
ranR={2,3,4}
fldR={1,2,3,4}
定义4.2.2 设R为二元关系，R的逆关系，简称R 的逆，记作R-1,其中 R-1={<x,y>|<y,x>∈R}
定义4.2.3 设F,G为二元关系，G对F的(左)复合 记作F G，其中 F G={<x,y>| t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)} 定义4.2.4 设R为二元关系，A是集合 (1) R在A上的限制记作R A，其中 R A={<x,y>|xRy∧x∈A} (2) A在R下的象记作R[A]，其中 R[A]=ran(R A)
=
因此M4=M2，即R4=R2.因此可以得到 R2=R4=R6=… R3=R5=R7=…
定理4.2.6 设A为n元集，R是A上的关系，则存 在自然数s和t,使得Rs=Rt. 证: R为A上的关系，对任何自然数k，Rk都是 2，|P(A×A)|= 2 ， 2 A×A的子集.又知 | A × A |= n n n 2 2 即A×A的不同子集仅 个.当列出R的各次幂 2 R0，R1，R22n， …， ，…，必存在自然数s R 和t使得Rs=Rt. 该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二 元关系.当t足够大时Rt必与某个Rs(s<t)相等.如 例4.2.5中的R4=R2.
3） 该关系是自反的但不是反自反的，因为每 个顶点都有环.它是反对称的但不是对称的，因 为图中只有单向边.但他不是传递的，因为2到1 有边，1到3有边，但2到3没有边.
关系的性质和运算之间的联系
例4.3.5 设A是集合，R1和R2是A上的关系， 证明：（1） 若R1，R2是自反的和对称的，则 R1∪R2也是自反的和对称的. （2） 若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是 传递的.
是反对称的.R2 注:A上的全域关系EA，恒等关系I 是对称的但不 A和空关 是反对称的 .R3 系 都是A上的对称关系.恒等关系 IA和空关系 是反对称的但 也是A上的反对称关系.但全域关系 EA一般不是 不是对称的.R4 A上的反对称关系，除非A为单元集或空集 . 既不是对称的 也不是反对称 的
证:（1） 由于R1和R2是A上的自反关系，故有 IA R1和IA R2 从而得到IA R1∪R2. .于是R1∪R2在A上 是自反的.
再由R1和R2的对称性有 R1=R1-1和R2=R2-1 (R1∪R2)-1=R1-1∪R2-1= R1∪R2 从而证明了R1∪R2也是A上对称的关系.
（2） 由R1和R2的传递性有 R1 R1 R1和R2 R2 R2 而 (R1∩R2) (R1∩R2) R1 R1∩R1 R2∩R2 R1∩R2 R2 (R1∩R2)∩R1 R2∩R2 R1 R1∩R2 从而证明了R1∩R2也是A上的传递关系.
定义4.3.3 设R为A上的关系，若
x y z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→
<x,z>∈R),
则称R是A上的传递关系.
例4.3.3 设A＝{1,2,3}，R1，R2，R3是A上的关 系，其中R1＝{<1,1>,<2,2>} R1和R3是A R2＝{<1,2>,<2,3>} 上的传递 R3＝{<1,3>} 关系，R2 说明R1，R2和R3是否为A上的传递关系. 不是A上的 传递关系
定理4.2.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(F G) H=F (G H) (2)(F G)-1=G-1 F-1
证: (1)任取<x,y>, <x,y>∈(F G) H
s(<x,s>∈F∧ t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G H) <x,y>∈F (G H) 所以(F G) H=F (G H)
若 x y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)， 则称R为A上的反对称关系.
例4.3.2 设A＝{1,2,3}，R1，R2，R3和R4都是A上 的关系，其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>} R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} 说明R1，R2，R3和R4是否为A上对称和反对称 的关系. R1既是对称也
关系闭包的求法
定理4.4.1 设R为A上的关系，则有 1）r(R)=R∪R0
（2）s(R)=R∪R-1
（3）t(R)=R∪R2∪R3∪…
关系矩阵和关系图求闭包的方法: 设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分 别为M，Mr，Ms和Mt Mr=M+E Ms=M+M' Mt=M+M2+M3+… 其中E是和M同阶的单位矩阵，M'是M的转 置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使 用逻辑加. 设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别 记为G，Gr，Gs，Gt，则Gr，Gs，Gt的顶点集与 G的顶点集相等.除了G的边以外，以下述方法 添加新的边.
t(<x,t>∈F G∧(t,y)∈H) t( s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)
定理4.2.3 设R为A上的关系，则 R IA=IA R=R
定理4.2.4 设F，G，H是任意关系，则
(1) F (G∪H)=F G∪F H
第四章 二元关系和函数(2/3)
4.2 关系的运算
关系的基本运算 定义4.2.1 设R是二元关系. (1) R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为 R的定义域，记为domR. domR={x| y(<x,y>∈R)} (2) R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R 的值域，记作ranR.形式化表示为 ranR={y| x(<x,y>∈R)} (3) R的定义域和值域的并集称为R的域，记作 fldR.形式化表示为 fldR=domR∪ranR
例4.2.5 设A={a,b,c,d} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}， 求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示. 解:用关系图的方法得到关系图 如下:
R0，即IA的关系矩阵是 M=
则R的关系矩阵分
M0=
则R2，R3，R4的关系矩阵分别是
M2=
=
M3=M2M=
=
M4=M3M=
矩阵是 对称矩 阵
R
关系矩 主对角线 阵 元素全是 1
对M2中1所在位 若rij＝1，且 置，M中相应 i≠j，则rji＝0 的位置都是1
关系图
每个顶点 都有环
每个顶点都 没有环
如果两 个顶点 之间有 如果两点之间 如果顶点xi到xj 边，一 有边，一定是 有边，xj到xk有 定是一 一条有向边(无 边，则从x 到x 对方向 i k 双向边) 也有边 相反的 边(无单 边)
例4.3.1 设A={1,2,3}，R1，R2，R3是A上的 关系，其中 R2是自 反的 R1＝{<1,1>,<2,2>} R3是反 自反的 R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R1两者 都不是 R3＝{<1,3>}
说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反 自反关系.
定义4.3.2 设R为A上的关系， 若 x y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上对称的关系.
注:A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关 系 都是A上的传递关系.小于等于关系，整 除关系和包含关系也是相应集合上的传递关 系.小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上 的传递关系
自反性 反自反性 对称性 关系性质的等价描述 集合表 达式
反对称性
传递性
IA
R R∩IA=
主对角线元 素全是0
R=R-1 R∩R-1 IA R R
例4.3.4 判断图中关系的性质，并说明理由.
1） 该关系是对称的，因为无单向边.它不是自 反的也不是反自反的.因为有的顶点有环，有的 顶点无环.它不是反对称的，因为图中有双向边. 它也不是传递的，因为图中有边<3,1>和<1,3>， 但没有从3到3的边，即通过3的环.
（2） 该关系是反自反的但不是自反的，因为 每个顶点都没有环.它是反对称的但不是对称的， 因为图中只有单向边.它也是传递的，因为不存 在顶点x,y,z，使得x到y有边，y到z有边，但x到z 没有边，其中x,y,z∈{1,2,3}.
考察G的每个顶点，如果没有环就加上一 个环.最终得到的是Gr . 考察G的每一条边，如果有一条xi到xj的单 向边，i≠j，则在G中加一条边xj到xi的反方向边. 最终得到Gs . 考察G的每个顶点xi，找除从xi出发的所有 2步，3步，…，n步长的路径（n为G中的顶点 数）,检查完所有的顶点后就得到图Gt .
一般起:
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R1-1 √ √ √ √ √
R1∩R2 R1∪R2 R1-R2
R1 R2
√Байду номын сангаас√ ×
√
√ √ √
×
√ √ √
×
√ × √
×
√ × ×
×
关系闭包定义
4.4 关系的闭包
定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反 （对称或传递）闭包是A上的关系R'，使得R' 满足以下条件： （1）R'是自反的（对称的或传递的） （2）R R' （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关 系R''有R' R''. 一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包s(R)，传 递闭包记作t(R).