沪教版高中一年级数学第二学期：反函数的概念
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反函数恒等式：
f f 1x x, x A.
f 1 f x x, x D.
求反函数的步骤：
(1)由y f x f 1y f 1 f x x
即x f 1y；
(2)x、y互换，得到y f 1x；
(3)求原函数的值域从而得到反函数的值域。
x
x
图像上所有的点都是它 们的交点。
例3：已知函数 f x log 2 x 1 的反函数为 y f 1x,则 f 13 4 。
问题6：
y f x a与y f 1x a互为反函数吗？
它们的图像有何关系？
答：不是。f 1x a的反函数是y f x a。 f 1 x a与f x a图像关于y x a对称。
反函数的概念
1、反函数的概念。 （1）能否将圆周长y表示成关于圆半径 x的函数？ （2）能否将圆半径x表示成关于圆周长y的函数？
问题1：
任何函数都可以x与y互换变作一个新函数吗？ 如：y x2
函数:
在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x在某个实数集合D内的每一个 确定的值，按照某个对应法则f , y都有 唯一确定的实数值与它对应，那么
（5）原函数与反函数图像的交点不一定在直线y x上，例如：y 1 。 x
（6）y f 1 x a的反函数不是y f x a，用反函数恒等式求，
它们图像关于y x a对称。 （7）偶函数没有反函数，奇函数的反函数也是奇函数。 （8）原函数与反函数单调性一致。 (9)解x涉及到开偶次根时，一定要考虑取正根还是取负根。 (10)求受限二次函数的反函数需配方解出x。
结ห้องสมุดไป่ตู้：
(1)函数y f x与它的反函数y f 1x图像
关于直线y x对称。
(2)若点(x, y)在y f x图像上， 那么点( y, x)就在y f 1x图像上。
问题5：原函数与反函数的交点一定在直线
y x 上吗？
不一定。如 f x 1 ,其反函数 f 1x 1 ,图像重合，
例4：已知f x 1 x ,求f 1x 1。
x 1
例5：设函数 f (x) 1 2x ，函数 y g(x) x 1
的图像与 f 1(x 1) 的图像关于直线 y x
B 对称，则 g(2) ………………（ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 4 5
(D) 2 5
问题7：反函数与原函数的奇偶性是否一致？
答：偶函数没有反函数； 奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。
证明：若y f x为奇函数，则y f x图像上任意一点x, y 关于原点的对称点 x, y也在y f x图像上。 y f 1x图像上图像上任意一点y, x关于原点的对称点 y,x 也在y f 1x图像上。 y f 1x图像也关于原点对称。
使得f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 , f 1 x2 D ,
原函数y f x在定义域D上单调递增,
f f 1 x1 f f 1 x2 ,即x1 x2与x1 x2矛盾。
y f 1 x在对应区间A上也单调递增。
（A）有且只有一个实根 （B）至多有一个实根 （C）至少有一个实根 （D）不同于以上结论
问题3： 在定义域上单调的函数是否一定有反函数？ 具有反函数的函数是否一定是单调函数？
单调函数 有反函数
问题4： f f 1x ?, x ?
f 1 f x ?, x ?
5、小结：
(1)只有一一对应的函数才有反函数。 （2）单调函数一定有反函数，有反函数的函数未必单调。 (3)求反函数一定要写定义域（原函数的值域）。
（4）原函数与反函数图像关于直线y x对称; 若点(x, y)在y f x图像上， 那么点( y, x)就在y f 1 x图像上。
4x 2
(7) f (x) 2 x 2, x ,3 ( 8) y x2 x 1, x 1
3
2
注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。 (2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接
由反函数解析式求得。
例2：（1）求函数y x3的反函数； （2）在同一坐标系中作出原函数及其反函数的图像。
y就是x的函数。记作：y f x, x D
结论：
一一对应的函数，若自变量x与因变量y 互换就产生一个新函数，新函数的定义域为 原函数的值域，新函数的值域为原函数的定义域。
反函数：
一般的，对于函数y f x, x D, y A.
如果对A中任意一个值y，在D中都有唯一确定的值
问题8：反函数与原函数的单调性是否一致？ 答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x在定义域D上单调递增， 求证其反函数y f 1x在对应区间A上也单调递增。
证明：假设y f 1 x在对应区间A上不单调递增。 即存在x1 x2 x1, x2 A,
与它对应，且满足y f x，这样得到的x关于y的 函数叫做y f x的反函数，记作：x f 1 y。
但在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，
所以把它改写为y f 1 x, x A。
注意：
f 1x
1
f x
问题2：已知函数 y f (x) 有反函数，则方程 f (x) a (a 为常数）………………（ B ）
例1：判断下列函数是否有反函数，
若有，求其反函数：
(1) y x2 x 1 ; ( 2) y x2 x 1;
(3) y 4x 2; ( 4) y x3 1;
(5) y x2 1 x 0 ; ( 6) y 3x 1 ;
f f 1x x, x A.
f 1 f x x, x D.
求反函数的步骤：
(1)由y f x f 1y f 1 f x x
即x f 1y；
(2)x、y互换，得到y f 1x；
(3)求原函数的值域从而得到反函数的值域。
x
x
图像上所有的点都是它 们的交点。
例3：已知函数 f x log 2 x 1 的反函数为 y f 1x,则 f 13 4 。
问题6：
y f x a与y f 1x a互为反函数吗？
它们的图像有何关系？
答：不是。f 1x a的反函数是y f x a。 f 1 x a与f x a图像关于y x a对称。
反函数的概念
1、反函数的概念。 （1）能否将圆周长y表示成关于圆半径 x的函数？ （2）能否将圆半径x表示成关于圆周长y的函数？
问题1：
任何函数都可以x与y互换变作一个新函数吗？ 如：y x2
函数:
在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x在某个实数集合D内的每一个 确定的值，按照某个对应法则f , y都有 唯一确定的实数值与它对应，那么
（5）原函数与反函数图像的交点不一定在直线y x上，例如：y 1 。 x
（6）y f 1 x a的反函数不是y f x a，用反函数恒等式求，
它们图像关于y x a对称。 （7）偶函数没有反函数，奇函数的反函数也是奇函数。 （8）原函数与反函数单调性一致。 (9)解x涉及到开偶次根时，一定要考虑取正根还是取负根。 (10)求受限二次函数的反函数需配方解出x。
结ห้องสมุดไป่ตู้：
(1)函数y f x与它的反函数y f 1x图像
关于直线y x对称。
(2)若点(x, y)在y f x图像上， 那么点( y, x)就在y f 1x图像上。
问题5：原函数与反函数的交点一定在直线
y x 上吗？
不一定。如 f x 1 ,其反函数 f 1x 1 ,图像重合，
例4：已知f x 1 x ,求f 1x 1。
x 1
例5：设函数 f (x) 1 2x ，函数 y g(x) x 1
的图像与 f 1(x 1) 的图像关于直线 y x
B 对称，则 g(2) ………………（ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 4 5
(D) 2 5
问题7：反函数与原函数的奇偶性是否一致？
答：偶函数没有反函数； 奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。
证明：若y f x为奇函数，则y f x图像上任意一点x, y 关于原点的对称点 x, y也在y f x图像上。 y f 1x图像上图像上任意一点y, x关于原点的对称点 y,x 也在y f 1x图像上。 y f 1x图像也关于原点对称。
使得f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 , f 1 x2 D ,
原函数y f x在定义域D上单调递增,
f f 1 x1 f f 1 x2 ,即x1 x2与x1 x2矛盾。
y f 1 x在对应区间A上也单调递增。
（A）有且只有一个实根 （B）至多有一个实根 （C）至少有一个实根 （D）不同于以上结论
问题3： 在定义域上单调的函数是否一定有反函数？ 具有反函数的函数是否一定是单调函数？
单调函数 有反函数
问题4： f f 1x ?, x ?
f 1 f x ?, x ?
5、小结：
(1)只有一一对应的函数才有反函数。 （2）单调函数一定有反函数，有反函数的函数未必单调。 (3)求反函数一定要写定义域（原函数的值域）。
（4）原函数与反函数图像关于直线y x对称; 若点(x, y)在y f x图像上， 那么点( y, x)就在y f 1 x图像上。
4x 2
(7) f (x) 2 x 2, x ,3 ( 8) y x2 x 1, x 1
3
2
注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。 (2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接
由反函数解析式求得。
例2：（1）求函数y x3的反函数； （2）在同一坐标系中作出原函数及其反函数的图像。
y就是x的函数。记作：y f x, x D
结论：
一一对应的函数，若自变量x与因变量y 互换就产生一个新函数，新函数的定义域为 原函数的值域，新函数的值域为原函数的定义域。
反函数：
一般的，对于函数y f x, x D, y A.
如果对A中任意一个值y，在D中都有唯一确定的值
问题8：反函数与原函数的单调性是否一致？ 答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x在定义域D上单调递增， 求证其反函数y f 1x在对应区间A上也单调递增。
证明：假设y f 1 x在对应区间A上不单调递增。 即存在x1 x2 x1, x2 A,
与它对应，且满足y f x，这样得到的x关于y的 函数叫做y f x的反函数，记作：x f 1 y。
但在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，
所以把它改写为y f 1 x, x A。
注意：
f 1x
1
f x
问题2：已知函数 y f (x) 有反函数，则方程 f (x) a (a 为常数）………………（ B ）
例1：判断下列函数是否有反函数，
若有，求其反函数：
(1) y x2 x 1 ; ( 2) y x2 x 1;
(3) y 4x 2; ( 4) y x3 1;
(5) y x2 1 x 0 ; ( 6) y 3x 1 ;