第4讲(1)矩阵序列与矩阵函数

21
sin
z
=
z
−
1 3!
z3
+
1 5!
z5
+L
+
(−1)k (2k + 1)!
z 2k+1
+L
sin
A
=
A−
1 3!
A3
+
1 5!
A5
+L+
(−1)k (2k + 1)!
A 2k +1
+L
cos
z
=
1
−
1 2!
z2
+
1 4!
z4
+L
+
(−1)k (2k )!
z 2k
+L
cos
A
=
E
−
1 2!
A2
+
1 (− At )k k!
∑ ∴ d e − At = ∞
1 (− A)kt k−1
dt
k =1 (k − 1)!
∑∞
=
1 (− At )k −1 (− A)
k =1 (k − 1)!
∑ =
− ⎜⎜⎝⎛
∞ k=0
1 k!
(−
At
)k
⎟⎟⎠⎞
A
= − e − At A
23
24
4
一些简单性质： (4) eiA = cosA + isinA; (5) cosA =(eiA+e-iA)/2; (6) sinA = (eiA-e-iA)/(2i); (7) cos(-A) = cosA，sin(-A) = sinA;
5
2. 矩阵级数
∞
∑ 矩阵级数 A(k) 收敛到S，是指它的部分和序列 N k=0
∑ SN = A(k) 收敛，且极限为S. k=0
显然矩阵级数收敛指每个元素对应的数项级数收敛.
如果每个元素对应的数项级数都是绝对收敛的，则 称矩阵级数是绝对收敛的.
6
1
性质3：若矩阵级数是绝对收敛的，则它一定是收敛 的，并且任意调换其项的顺序所得到的级数仍然是 收敛的，且其和不变.
35
(b) 数项级数求和法 给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0. (特征多项式或最小多项式均可)
Am + b1 Am−1 + L + bm−1 A + bm I = 0.
这表明Am可以用Am-1,…, I线性表出. A的更高次幂也可以用Am-1,…, I线性表出.
36
6
(c) 对角形法
−1 1
⎟ ⎟⎟⎠
求矩阵函数 e A , sin A, e At
⎛λ −2 0 0 ⎞
λ
E
−
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −1
λ−3 −1
λ−−11⎟⎟⎟⎠
⎛1
0
0⎞
→
⎜ ⎜
0
λ 2 − 3λ + 2
−λ
+
2
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 −λ + 2 λ − 2 ⎟⎠
⎛1
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 λ−2
0
0⎞
0
⎟ ⎟
(λ − 2)2 ⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 1
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
sin 2 0
cos sin
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 1
−01⎟⎟⎟⎠
⎛ sin 2
0
0⎞
=
⎜ ⎜⎜⎝
cos cos
2 2
sin 2 + cos 2 cos 2
− cos 2 sin 2 − cos
2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 0 1⎞ ⎛ e2t 0 0 ⎞ ⎛ 0 −1 1 ⎞
⎛ 0 −1 1 ⎞
P −1
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 1 1 −1⎟⎠
29
f1( A) = e A , f2 ( A) = sin A, f3 ( A) = e At f1(z) = ez , f2 (z) = sin z, f3 (z) = ezt
⎛ 1 0 1⎞ ⎛ e2 0 0 ⎞ ⎛ 0 −1 1 ⎞
∴ e At
=
PeJt P −1
=
⎜ ⎝⎜⎜
0 1
1 1
0 0
⎟ ⎠⎟⎟
⎜ ⎜ ⎝⎜
0 0
e2t 0
te2t e2t
⎟ ⎟ ⎠⎟
⎜ ⎝⎜⎜
0 1
1 1
0 −1
⎟ ⎠⎟⎟
⎛1 0 0 ⎞
=
e
2t
⎜ ⎝⎜⎜
t t
1+ t −t
−t 1−
t
⎟ ⎠⎟⎟
31
32
例设
求eA和etA.
⎡2 0 0⎤ A = ⎢1 1 1⎥,
( ) lim A(k) −1 = A−1.
k→∞
4
定理1：设A(k)∈Cm×n，则
(1) A(k)趋于0的充要条件是||A(k)||趋于0； (2) A(k)趋于A的充要条件是||A(k)-A||趋于0.
设A为方阵，且当k趋于无穷时，Ak趋于0，则称A为 收敛矩阵.
定理2：A是收敛矩阵的充要条件是ρ(A)<1. 定理3：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵范 数满足||A||<1.
4—1 矩阵序列、矩阵级数与矩阵函数
矩阵序列 矩阵级数 H矩阵 若当块幂级数的收敛定理 矩阵幂级数的收敛定理 矩阵函数 附录：矩阵函数值的求法
1
2
1. 矩阵序列
设有矩阵序列{A(k)=(aij(k))}，若对所有的i和j，当k趋 于无穷时，aij(k)趋于aij，则称{A(k)}收敛，并称矩阵 A=(aij)是{A(k)}的极限，记做
∞
∑ 性质4：矩阵级数 A(k) 是绝对收敛的充要条件
∞
k=0
∑ 是 A(k) 收敛.
k=0
7
∞
∑ 性质5：若矩阵级数 A(k) 是收敛(绝对收敛)的， k=0
∞
∑ 那么 PA(k)Q 也是收敛(绝对收敛)的，且 k=0
∑ ∑ ∞
PA(k )Q
=
P
⎛ ⎜
∞
A(
k
)
⎞ ⎟
Q.
k=0
⎝ k=0
⎠
性质6：若两个矩阵级数都绝对收敛，分别收敛到 A, B，则其乘积也绝对收敛，且收敛到AB.
k=0
k=0
∞
∑ 则称 ak Ak 的和为矩阵函数 , 记作 k=0
∞
∑ f ( A) = ak Ak k=0
∞
∑ 特别的，f (Ji ) =
ak
J
k i
k=0
19
20
例：
Qez
=
1+
z
+
1 2!
z2
+L+
1 zk k!
+L
∴eA
=
E
+
A
+
1 2!
A2
+L
+
1 k!
Ak
+L
特别的 , e O = E
⎢⎣1 −1 3⎥⎦
⎡ 4 6 0⎤
例 设 A = ⎢−3 −5 0⎥ ,
⎢⎣−3 −6 1⎥⎦
求eA，etA和cosA.
33
34
附录：矩阵函数值的求法
(a) 待定系数法 给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0. (特征多项式或最小多项式均可) 设f(l)=g(l)q(l)+r(l)，利用待定系数法确定r(l). 则 f(A)=r(A) .
假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得
P −1AP
=
⎡λ1 ⎢
O
⎤ ⎥,
⎢⎣
λn ⎥⎦
则
f ( A)
=
⎡ P⎢
f
(λ1 )
O
⎤ ⎥ P −1.
⎢⎣
f (λn )⎥⎦
37
(d) Jordan标准型法
一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在
非奇异矩阵P，使得
P −1 AP = J
⎡J1 =⎢
O
⎤ ⎥,
n 阶矩阵 A的谱半径为 ρ ( A)，P −1 AP = J
∞
∑ 则当 ρ( A) < R 时，幂级数 ak Ak 收敛, 且 k=0
∑⎡
⎢
∞
源自文库
a
k
J
k 1
⎤ ⎥
∑∞
ak Ak
=
⎢k=0 P⎢
O
⎥ ⎥
P
−1
k=0
⎢
⎢⎣
∑∞
k=0
ak
J
k s
⎥ ⎥⎦
17
18
3
⎡J1
⎤
P −1 AP
=
J
=
⎢ ⎢
O
⎥ ⎥
1 4!
A4
+L+
(−1)k (2k )!
A2k
+L
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，且 AB = BA, 则 (1) d e − At = − e − At A dt (2) e AeB = eBe A = e A+B
(3) (e A )−1 = e − A
∑ Q e − At
=
∞ k=0
a
k
J
k i
收敛,
且
k=0
13
14
∞
∑ ak
J
k i
=
k=0
⎡ ⎢
f
(λi
)
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
f ′(λi ) O
1 2!
f ′′(λi )
O
L O
1 ( r −1)!
f
(r
M
−1)
(λi
)⎤ ⎥ ⎥
O
O
1 2!
f ′′(λi )
⎥ ⎥
O
f ′(λi ) ⎥
f (λi ) ⎥⎦
Q
J
k i
= (λi E + H )k
8
∞
定理4：方阵A的幂级数 ∑ Ak 收敛的充要条件是 k=0
ρ(A)<1，且收敛时的和为(I–A)-1.
定理5：若方阵A对某一矩阵范数有||A||<1，则部 分和I+A+…+AN与和(I–A)-1之间的误差为：
( ) ∑ I − A −1 − N Ak
≤
A N +1 .
k=0
1− A
9
∞
定理6：设幂级数 ∑ ck zk 的收敛半径为r. 如果方
=
⎢ ⎢ ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
∑ ∑ ∞
λ C a1
k −1
kk i
L
λ ∞
Ckr −1ak
⎤ k − r +1 i⎥
k =1
k = r −1
⎥
M
⎥
∞
⎥
∑ λ C a1
k −1
kk i
k =1
∞
∑ ak
λ
k
i
k=0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
∞
∑ 定理 2：设解析函数 f (z) = ak zk的收敛半径为 R, k=0
⎢⎣
J s ⎥⎦
∑ ∑ ∑ ∞ ak Ak
k=0
=
∞
ak ( PJP −1 )k
k =0
=
P
⎜⎜⎝⎛
∞ k=0
ak
J
k
⎟⎟⎠⎞
P
−1
∑⎡
⎢
∞
ak
J
k 1
⎤ ⎥
=
⎢k=0 P⎢
O
⎥ ⎥
P
−1
⎢ ⎢⎣
∑∞
k=0
a
k
J
k s
⎥ ⎥⎦
矩阵函数
∞
∞
∑ ∑ 定义 ：设解析函数 f (z) = ak zk , 幂级数 ak Ak收敛，
∴eA
=
Pe J
P −1
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
e2
e
2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎝⎜ 1 1 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 e2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 1 −1⎠⎟
⎛1 0 0 ⎞
=
e
2
⎜ ⎜
1
2
−1
⎟ ⎟
⎜⎝ 1 1 0 ⎟⎠
30
5
∴ sin A = P sin JP −1
⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ sin 2 0 0 ⎞ ⎛ 0 −1 1 ⎞
lim A(k ) = A.
k→∞
若对某一组i和j，aij(k)不收敛，则称{A(k)}发散.
3
性质1：设A(k)和B(k)分别收敛到A和B，则 limα A(k) + β B(k) = α A + β B,
k→∞
lim A(k )B(k ) = AB.
k→∞
性质2：设A(k)收敛到A，且A(k)和A都可逆，则
=
λik
E
+
C
1 k
λik
−1
H
+
L
+
C
k k
λ −1 i
H
k −1
+
Hk
⎡⎢λik
=
⎢ ⎢
⎢
⎢⎣
λ C1 k−1 ki O
L O
Ckr
λ −1 k i M
−r
+1
⎤ ⎥ ⎥
O
λ C1 k−1 ki λik
⎥ ⎥ ⎥⎦
15
16
矩阵幂级数的收敛定理
∑⎡
⎢
∞
ak
λ
k
i
⎢ k=0
∞
⎢
∑ ∴
ak
J
k i
k=0
k=0
∞
阵A满足ρ(A)<r，则矩阵幂级数 ∑ ck Ak 绝对收敛；
k=0
若ρ(A)>r，则矩阵幂级数发散.
10
H 矩阵
引理 1：设 r 阶方阵 H 为
⎡0 1
⎤
⎢
H
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
OO
⎥ ⎥
O 1⎥ 0⎥⎦
则当 k ≥ r 时, H k = O, 当 k < r 时,
⎡0 L
⎢ ⎢
O
0
1⎤ OO1⎥⎥
Hk = ⎢ ⎢ ⎢
O
0⎥
O
M
⎥ ⎥
k
⎢⎣
0⎥⎦
由引理 1 可得，矩阵级数
⎡a0
∞
⎢
∑ ak H k
k=0
=
⎢ ⎢ ⎢
⎣
a1 L OO
O
ar−1 ⎤
M
⎥ ⎥
a1
⎥ ⎥
a0 ⎦
11
12
2
∞
∑ 引理 2：设解析函数 f (z) = ak zk , 则 k=0
∑ 1
s!
f (s) (z)
z=λ
=
∞
Cks ak λ k −s
(8) eAe–A=e –AeA=I，(eA)–1=e–A；
(9) (eA)m=emA；
(10) 一般的，eAeB≠eA+B；如
A
=
⎡1 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
,
B
=
⎡1 ⎢⎣0
−1⎤ 0 ⎥⎦
.
(11) 若AB=BA，则eAeB=eBeA=eA+B.
25
26
例：设
⎛2 0 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
3 1
⎢⎣
Js ⎥⎦
则
f ( A)
=
⎡ P⎢
f (J1)
O
⎤ ⎥ P−1.
⎢⎣
f (Js )⎥⎦
38
7
27
28
⎛2 0 0⎞
∴
J
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
1 2
⎟ ⎟⎟⎠
P −1 AP = J , P = ( p1 , p2 , p3 )
( A − 2E ) p1 = 0, ( A − 2E) p2 = 0, ( A − 2E ) p2 = p3
⎛1 0 1⎞
∴
P
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 1
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
k=s
其中
C
s k
=
k(k
− 1)L(k s!
−
s + 1)
=
k! s!(k − s)!
若当块幂级数的收敛定理
∞
∑ 定理 1：设解析函数 f (z) = ak zk的收敛半径为 R, k=0
r 阶若当块
⎡λi 1
⎤
⎢
Ji
=
⎢ ⎢
OO
⎥ ⎥
O 1⎥
⎢ ⎣
λ
i
⎥ ⎦
∞
∑ 则当 | λ | < R 时，幂级数